2022年2022年柯西不等式与排序不等式及其应用 .pdf

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1、柯西不等式与排序不等式及其应用编稿：周尚达审稿：张扬责编；辛文升目标认知学习目标：1、认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义，掌握它们之间的关系2、认识柯西不等式的一般形式，理解它的几何意义，能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值.3、了解排序不等式，会利用排序不等式证明有关的问题并掌握一些简单应用重点：柯西不等式及排序不等式的应用.难点：利用柯西不等式求最值和排序不等式证明不等式学习策略：这部分内容是新增内容，是数学竞赛中的热点考点，随着数学素养的提高，高考可能会涉及。学习时掌握好二维形式的柯西不等式的数组特点，理解好有序的数组的构造方法。知识要点梳理知识

2、点一：柯西不等式1二维形式的柯西不等式：（1）向量形式：设是两个向量，则（当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立）。（2）代数形式：若 a、b、c、d 都是实数，则（当且仅当ad=bc 时，等号成立）若 a、b、c、d 都是正实数，则（当且仅当ad=bc 时，等号成立）若 a、b、c、d 都是实数，则（当且仅当ad=bc 时，等号成立）注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；（3）三角形式：设，则。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 3 页 -2.三维形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。3.一般

3、形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。知识点二：排序不等式（又称排序原理）设为两组实数，是的任一排 列，称为 这 两 个 实 数 组 的 顺 序 积 之 和 简 称 顺 序 和；称为 这 两 个 实 数 组 的 反 序 积 之 和 简 称 反 序 和 或 逆 序 和；称为这两个实数组的乱序积之和简称乱序和；则即：反序和乱序和顺序和当且仅当时，反序和等于顺序和。注意：学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序

4、列规律方法指导（1）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。（2）使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。（3）利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 3 页 -（4）排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 3 页 -