2022年2022年解析函数的级数表示 .pdf

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1、第四章解析函数的级数表示一.目的要求1.理解（专科了解）复数项级数收敛，发散及绝对收敛概念。2.了解幂级数收敛概念，知道幂级数收敛圆内的一些基本性质，会求幂函数收敛半径。3.理解泰勒定理和sincos0zezzz、在的泰勒展式，能将简单函数展成幂级数。4.理解洛朗定理，会用间接法求简单函数的洛朗展式。二.主要内容1.复数项级数，复函项级数收敛、发散的简单情况。2.幂级数，阿贝尔定理，和函数的解析性。3.泰勒定理（不证），解析函数的泰勒展式。4.洛朗级数及其收敛域。重点：解析函数的幂级数展式与洛朗展式。难点：洛朗展式概念，求简单函数在奇点的圆环区域内的洛朗展式。本章的主要内容是：复数项级数和复变

2、函数项级数的一些基本概念和性质；重点介绍复变函数项级数中的幂级数和由正、负整次幂项所组成的洛朗级数.关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念和定理都是实数范围内的相应的内容在复数范围内的直接推广，因此，在学习中结合高等数学中无穷级数部分的复习，并在对此中进行学习4.1 复数项级数4.2 复变函数项级数4.3 泰勒级数4.4 洛朗级数本章小结思考题第一节复数项级数一、复数列极限定义：设(1,2,)nnnzxiyn为一复数列,又000zxiy为一确定复数如果对任意给定0,相应地能找到一个正数()0N,当nN时,有0nzz成立,则称0z为复数列nz当 n时的极限,记做:0limnnzz,或称复数列n

3、z收敛于z.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 22 页 -定理 1：复数列nz收敛于0z,即0limnnzz的充要条件是00limlimnnnnxxyy.证明：必要性已知0limnnzz,0,NN,当nN时,有00()()nnxiyxiy.0000()()nnnnxxzzxxi yy0limnnxx,同 理 可 得0l i mnnyy.充分性已知00lim,limnnnnxxyy,0,NN当n N时,都有00,()22nnxxyy00000()()()nnnnnzzxxi yyxxyy0limnnzz.例 1 下列复数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.(1)1(1)

4、innzen(2)cosnznin(3)13()6nniz解:(1)1(1)innzen1(1)(cossin)innn11(1)cos,(1)sinnnxynnnnlim1,lim0nnnnxy1(1)innzen收敛,且有lim1nnz.(2)cosnznin1()2nnn eecoshnn21()(1)22nnnnneenee21limlim(1)2nnnnnznee,所以复数列nz发散.(3)13()(cossin)6nninnnizr ernin而1310166ir,lim0nnr,limcos0,limsin0nnnnrnrnlim0nnz.(若 lim0lim(cossin)0n

5、nnnzzi，,即:lim0nnz,反之也成立)二、复数项级数的概念定义:(1)设复数列nnnzxiy,称1nnz为无穷级数;(2)12nnSzzz为复数项级数的部分和;(3)若部分和数列nS收敛,则称级数1nnz收敛,且limnnSS称为级数的和,如果名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 22 页 -数列nS不收敛,则称级数1nnz发散.例 1.当|1z时,判断级数21nzzz是否收敛?解:部分和11211()111nnnnzzSzzzzzzz11|limlim01|1|nnnnzzzz1lim01nnzz111limlim()111nnnnzSzzz,1z.定理 2

6、:复数项级数1nnz收敛的充分必要条件是实数项级数1nnx和1nny都收敛.证明:121212()()nnnnnnSzzzxxxi yyyi,n和n分别为实数项级数1nnx和1nny的部分和,由定理1可知数列nS有极限的充分条件是 nn，有极限存在,即1nnx和1nny都收敛.说明:定理2将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题,1nnx由实数级数1nnx和1nny收敛必要条件lim0,lim0nnnnxy.即可得下面定理3.定理 3:复数项级数收敛的必要条件是lim0nnz.定理3:如果级数1nnz收敛,则级数1nnz也收敛,且不等式11nnnnzz成立.(此时称1nnz为绝对收敛,

7、非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛)证明:因为2211nnnnnzxy收敛,而2222,nnnnnnxxyyxy,由实数项正项级数的比较准则,可知级数1nnx和1nny都收敛,从而级数1nnx和1nny也都收敛,由定理2可知复级数1nnz也是收敛.又对于级数1nnz和名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 22 页 -1nnz的部分和成立的不等式:11nnnnkkzz11limlimnnkknnkkzz,即:11kkkkzz.说明:(1)1nnz绝对收敛1nnx与1nny均绝对收敛.(2)因为1nnz各项为非负实数,所以它的敛散性可用正项级数判定法来判定.(3)若1nnz收

8、敛,而1nnz不一定收敛,即1nnz是条件收敛.例 2.下列级数是否收敛？是否绝对收敛？(1)11(1)ninn(2)1(8)!nnin(3)1(1)12nnnin解：(1)11(1)ninn的实部11nn发散11(1)ninn发散.(2)(8)8|!nnniznn,由正项级数比较判别法:18!8limlim01(1)!81nnnnnnn1(8)!nnin为绝对收敛.(3)因为1(1)nnn和112nn都收敛1(1)12nnnin收敛,但1(1)nnn为条件收敛,所以1(1)12nnnin为条件收敛.第二节复变函数项级数一、复变函数项级数定义:设给定在区域D上有定义的一列函数列12(),(),

9、(),nfzfzfz,称表达式:121()()()()nnnfzfzfzfz为区域D内的复变函数项级数.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 22 页 -该级数的前n 项之和:12()()()()nnSzfzfzfz称为级数的部分和对任一0zD,若00lim()()nnSzS z,则称级数1()nnfz在0z处是收敛的,0()S z就是它的和,即001()()nnfzS z.若级数1()nnfz在D内处处收敛,则1()nnfz的和是D内的一个函数()S z,即:1()()nnfzS z,(和函数).二、幂级数1.幂级数概念定义:形如20102000()()()()nnn

10、nnCzaCCzzCzzCzz的级数,称为0()zz的幂级数(其中0,nCz为复常数).形 如:0nnnC z的 级 数,称 为z的 幂 级数,其 中nC为 复 常 数.以后 主 要讨 论 形 如0nnnC z的级数,而另一种令0zzt即可.定理1:(阿贝尔定理)(1)如果幂级数1nnnCz在00(0)zzz收敛,则对满足0zz的一切z,幂级数1nnnC z必绝对收敛;(2)如果幂级数1nnnC z在11(0)zzz发散,则对满足1zz 的一切z,幂级数必发散.阿贝尔定理告诉我们:(1)若幂级数在00zz处收敛,则在以0为中心,0|z为半径的圆周的任何点z幂级数绝对收敛.(2)若幂级数在1zz

11、处发散,则在以0为中心,1|z为半径的圆周外的任何点z幂级数都发散.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 22 页 -证明:必要性幂级数00nnnC z收敛0lim0nnnC z0M,使得0|nnC zM,由于0zzq,使得01zqz00nnnnnzC zC zM qz,由于级数0nnM q是公比小于1的等比级数,故收敛.0nnnC z收敛级数0nnnC z绝对收敛.充分性用反证可以证明.(略)2.收敛圆与收敛半径定义:若存在实数0R,当 zR 时,幂级数0nnnC z绝对收敛;当 zR 时,幂级数0nnnCz发散,则称以R为半径的圆周为幂级数0nnnC z的收敛圆,R

12、称为收敛半径.注意:在圆周zR 上,幂级数0nnnC z可能收敛也可能发散,不能作一般结论,要对具体幂级数进行具体分析.例 1.求幂级数0nnz的收敛范围及和函数.解:幂级数的部分和2111,(1)1nnnzSzzzzz(1)当1z时,lim0nnz1lim1nnSz,即当1z时,幂级数0nnz收敛,其和函数为11Sz.(2)当1z时,lim0nnz,故级数发散.由以上讨论可知:复数幂级数0nnz:,1,1zz绝 对 收 敛发 散3.收敛半径的求法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 22 页 -定理2:(比值法)设幂级数0nnnC z系数有:1lim0nnnCC则幂级

13、数0nnnC z的收敛半径为1R.证明:由于111li mli mnnnnnnnnCzCzzCCz1z,级数0nnnCz收敛,故级 数0nnnC z在 圆 域1z内 收 敛.假 设 在 圆1z外 有 一 点0z,使 得00nnnC z收敛,在圆外在取一点1z,使10zz,由阿贝尔定理,10nnnCz必定收敛.然而,11z,所以111li m1nnnnnCzzCz,这与级数10nnnCz收敛矛盾,所以假设不成立,因而0nnnC z在圆域1z外发散.定理3:(根值法)设幂函数0nnnC z系数有lim0nnnC,则幂级数0nnnC z的收敛半径为1R.例 1.求下列幂级数的收敛半径(1)31nnz

14、n,(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)1(1)nnzn,(讨论0,2zz时情形)(3)0(cos)nninz(4)1210(21)()2nnnnniz解:(1)31limlim()11nnnnCnCn,所以收敛半径为1R,故幂级数31nnzn在圆周1z内收敛,在1z外发散,在圆周1z上,幂级数33111nnnznn收敛.(2)1limlim11nnnnCnCn,所以收敛半径为1R,在收敛圆周11z上,当0z时,级数1(1)nnn发散,当2z时,级数11nn发散,因此在收敛圆周上名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 22 页 -即有幂级数的收敛点又有发散点.(3)1cos

15、cosh()2nnnCinnee1(1)2112limlimlim1nnnnnnnnnnnCeeeeeCeee,故幂级数的收敛半径为1e.(4)1221(21)0,()2nnnnnCCi,所以不能直接用公式.用比较审敛法:由于121(21)()()2nnnnnfziz,则2121211()(21)21limlim()(21)22nnnnnnnnzfznzfznz即当2z时,幂级数绝对收敛,当2z时,幂级数发散.4.幂级数的运算和性质(1)幂级数的代数运算设幂函数00()()nnnnnnf za zg zb z，的收敛半径分别为12,RR,令12min(,)RRR,则当 zR时,有:000()(

16、)()nnnnnnnnnnfzgza zb zabz00()()()()nnnnnnfz gza xb x2000110021120()()a ba ba bxa ba ba bx0110()nnnna ba ba bx说明:有时两个幂级数经过运算后所得幂级数的收敛半径大于1R与2R中较小的一个.如:幂级数0nnz与01(01)1nnnzaa,收敛半径均为1,但是000111nnnnnnnnnazzzaa的收敛半径怎样?这里111111limlim1(1)1nnnnnnnnaaaRaaaaa名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 22 页 -表明幂级数01nnnnaza的

17、收敛半径大于1,但要注意的是:使等式000111nnnnnnnnnazzzaa成立的收敛圆域仍为1z,不能扩大.(2)复合运算如果当zr 时,0()nnnfza z,又设在zR 内函数()g z解析,且满足()g zr,则当 zR 时,有0()()nnnfgzagz.这个运算具有广泛的应用，常用来将函数展为幂级数.例 2.把函数1zb表示成形如0()nnnCza的幂级数,其中 a 与b是不相等的复常数.解：1111()()1zazbzabababa,当1zaba时,10011()()1nnnnnzazazabazbbaba,111limlimnnnnCCbaba收敛半径:Rba.(3)幂级数和

18、函数的性质定理 4：设幂级数0()()nnnCzafz的收敛半径为R,则和函数具有下列性质:(1)和函数1()()nnnfzCza在收敛圆zaR 内解析,且可逐项求导:11()()nnnfznCza(2)和函数1()()nnnfzCza在收敛圆zaR 内是可积函数,且可逐项积名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 22 页 -分:0()(),nnCCnfz dzCzadz CzaR或10()()1znnanCfdzan逐项求导、逐项积分例 3 试求给定幂级数在收敛圆内的和函数(1)11(1)nnnnz(2)111(1)nnnzn解:(1)求得收敛半径为1R,1z时,令11

19、1()(1)nnnS znzz,则1110011()(1)(1)1zznnnnnnS zzdznzdzzzz2()()1(1)zzS zzzz(2)求 得 收 敛 半 径 为1R,令111()(1)nnnS zzn,则 当1z时,111()(1)1nnnS zzz,01()ln(1)1zS zd zzz(主值).第三节泰勒级数前面已讨论了已知幂级数，如何求收敛圆、和函数，并且知道和函数在它的收敛圆内是一个解析函数，下面研究与此相反的问题：即任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？设:(1)函数()fz在区域D内解析;(2)在D内任一点0zD为圆心,R为半径的圆周k(取正向):0zzR 对任何zk

20、,有柯西积分公式1()()2()kffzdiz(*),由于zk内,k上,所以有001zzz,则:000001111()()1zzzzzzzz名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 22 页 -00100000()1()()nnnnnzzzzzzz将其代入(*)式中,得:0100()1()()2()nnknzzfzfdiz100110001()1()()()2()2()NnnnnkknnNfdfzzzzdiziz由高阶导数公式得:()1000()()()()(*)!nNnNnfzfzzzRzn其中0101()()()2()nNnknNfRzzzdiz.下面证明lim()0

21、NNRz.令0001zzzzqzr,而函数()fz在kD内解析,从而在k上连续,于是在k上有界,即存在一个0M,在k上()fM,由()NRz表达式得:001000()1()1()()2()2nnNnkknNnNfzzfRzzzdsdszzz112221NnnknNnNMMMqq dsqrrrq因为1limlim011NqNNxM qMqqq,所以在k内lim()0NNRz.从而在k内有:()000()()()!nnnfzfzzzn.称为函数()fz在0z的泰勒展开式,右端的级数称为函数()fz在0z的泰勒级数.定理5:设函数()fz在区域D内解析,0z为D内一点,R为0z到D的边界上各点的最短

22、距离,则当0zzR 时,函数()fz可展开为幂级数:00()()nnnfzCzz,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 22 页 -其中()01()0,1,2,!nnCfznn，.0zzR 内,00()()nnnfzCzz说明:(1)若函数()fz有有限个奇点,那么()fz在0z的泰勒展开式成立的R就等于从0z到()fz的最近一个奇点之间的距离,即0Rz.(2)由上面定理及幂级数性质可以得到一个重要性质,即函数在一点解析的充分必要条件是它在这一点的邻域内可以展开为幂级数.(3)利用泰勒级数可把函数展开成幂级数,但这种展开式是否唯一呢?假设函数()fz在0z用另外的方法

23、展开成幂级数为:2010200()()()()nnfzaazzazzazz()000101(),(),(),!nnfzafzaafzn由此可见解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数，即展开式是唯一的一、利用直接法将函数展开成幂级数直接通过计算系数:()01(),0,1,2,3,!nnCfznn,把函数展开成幂级数.例 1.将函数:(1)ze;(2)sin z;在00z处展开为泰勒级数.解:(1)因为()()0(),()|1,0,1,2,znzznzeeen,()(0)1!nnfCnn因此函数ze的泰勒展开式为:0!nznzen,|z.(2)将函数sin z展开为泰勒级数为:213511sin(

24、1)3!5!(21)!nnzzzzzn因为函数sin z在整个复平面内处处解析,所以收敛圆为|z.二、利用间接展开法将函数展开成幂级数借助于已知函数的展开式，利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为理论依据得到函数的泰勒展开式.(1)01,11nnzzz(2)0,!nznzezn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 22 页 -(3)210sin(1),(21)!nnnzzzn(4)20cos(1),(2)!nnnzzzn例 2.把函数21(1)z展开成z的幂级数.解:由于函数21(1)z在1z内处处解析,所以在1z内可展开成z的幂级数,又因为有01,11nnzzz

25、上式两边逐项求导得:1211(1)nnnzz,1z.例 3.求对数函数的主值ln(1)z在0z处的泰勒展开式.解:因为函数ln(1)z在1z内处处解析,所以在1z内可展开成z的幂级数,又因为:01ln(1)(1)1nnnzzz所以在1z内任一条从0到z的积分路线C,上式两端逐项积分得:10(1)ln(1),11nnnzzzn.例 4.将函数coszez及sinzez展开成z的幂级数.解:因为4(1)(2)(cossin)izzizizezezizeeee,442(2)12!ninninezezn(1)同理4(1)(2)(cossin)izzizizezezizeeee,442(2)12!nin

26、ninezezn(2)(1)(2)2得:coszez2(2)cos412 cos4!nnnnzzn,z.(1)(2)2得:sinzez2(2)sin412 sin4!nnnnzzn,z.三、将函数展成的幂级数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 22 页 -例 5:求函数1()2fzz在1z的邻域内的泰勒展开式.解:因为函数1()2fzz只有奇点2z,其收敛半径|2(1)|3R,所以函数在圆域|1|3z内可以展开为1z的幂级数.11111213313zzz2311111133333nzzzz101(1)3nnnz,|1|3z.例 6.求函数21()(1)fzz展开为z

27、i的幂函数.解:函 数()fz只 有 一 个 起 点1z,其 收 敛 半 径 为|1|2Ri,所 以 函 数 在|2zi内可以展开为zi的幂级数.211111()(1)11()111fzzizziziii211()()1111nziziziiiii1112()()111111nzinziiiiiii12112()()(1)11nziziniii,|2zi例 7.将函数11()zfze展开为z的幂级数解:因为函数11()zfze有一个奇点1z,所以收敛半径|10|1R,所以函数在圆域|1z内可以展开为z的幂级数.1121()(1)zfzez,即:2(1)()()0zfzfz名师资料总结-精品资料

28、欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 22 页 -将上式逐项求导得:2(1)()(23)()0zfzzfz3(1)()(45)()2()0zfzzfzfz由于(0)fe,由2(1)()()0zfzf z得:(0)fe,同理得:(0)3fe,(0)13fe1231313()12!3!zfzeezzz,|1z(1)幂级数00()nnnCzz在收敛圆0zzR 内的和函数是解析函数.(2)在圆域0zzR 内的解析函数()fz必能在0z展为幂级数00()nnnCzz.第四节洛朗级数泰勒级数是解析函数()fz在区域D内任一解析点的展开式,但在实际问题中常需将级数在奇点附近展开;即在环形区域内将函数展开

29、成幂级数,此时要引入一个新的级数,即洛朗级数.考察幂级数:10010()()()nnnnnCzzCzzCzz0100()()nnCCzzCzz0010()()nnnnnnCzzCzz(1)负幂项部分正幂项部分正幂项部分:00()nnnCzz(2)是一般的幂级数,设收敛半径为2R,则当02zzR 时级数收敛,02zzR 时级数发散.负幂项部分:01()nnnCzz(3)令01()tzz,则011()nnnnnnCzzCt(4)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 22 页 -(4)是一般的幂级数,设收敛半径为R,则当 tR 时,级数收敛,当 tR 时,级数发散.又因为0

30、1()tzz,故当01zzR时,级数收敛,令11RR时,则当01zzR 时,级数收敛.对级数0()nnnCzz收敛作如下规定:当且仅当00()nnnCzz与01()nnnCzz都收敛时,级数0()nnnCzz才收敛.因此:(1)12RR时,级数发散;(2)12RR时,级 数 的 收 敛 范 围 是 圆 环 域102RzzR,级 数 在 圆 环 域 外 发 散;在 圆 环 域 边 界10Rzz和02zzR 上可能有些点级数收敛,有些点发散.问题提出:在圆环域内解析函数是否一定能展开成级数?引例:函数1()(1)fzzz在0z及1z处都不解析,但是在圆环域01z及圆环域 011z内是处处解析的.(

31、1)当 01z时,有2111()11nfzzzzzzz由此可见函数()fz在圆环域 01z内可以展开为级数.(2)当 011z时,有2111()1(1)(1)(1)11(1)1nfzzzzzzz2111(1)(1)(1)1nzzzz含有负幂的项,据此可想:从上面讨论可以看出函数()fz可以展开为幂级数,只是幂级数在环域102RzzR内处处解析函数()fz可展为0()nnnCzz的级数,事实也是这样,于是有下列定理:一、直接展开法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 22 页 -定理 6（洛朗定理）设函数()fz在圆环域102RzzR 内处处解析,则函数()fz一定能在

32、环形域102RzzR 中展开为0()()nnnfzCzz101()(0,1,2,)2()nnCfCdniz其 中这里C为圆环域内环绕0z的任何一条正向简单闭曲线.证明:设z为圆环域内任何一点,在圆环域内作以0z为中心的正向圆周1k与2k,2k的半径R大于1k的半径r,且使z在1k与2k之间,于是由多连通的柯西积分公式,有:211()1()()22kkfffzddiziz(1)对于上式右端的第一个积分公式:21()2kfdiz,积分变量取在2k上,点z在2k内部,所以001zzz,又由于()f在2k上连续,因此存在一个常数M,使()fM,与 泰 勒 公 式 的 展 开 证 明 一 样,可 得:2

33、001()()2nnknfdCzziz,其 中2101()0,1,2,2()nnkfCdniz，注:此时21()2kfdiz不能应用高阶导数公式,因为函数()fz在2k不是处处解析.(2)对于上式右端的第二个积分式:11()2kfdiz,由于取在1k上,点z在1k外部,所以001zzz,因此有:100100000()1111()()1nnnzzzzzzzzzzzz名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 22 页 -01101()()nnnzzz所以11101101()1()()()22()NnNnkknffddzzRziziz其中1100()()1()2()nNnknN

34、zfRzdizz.下面证明在1k外部有lim()0NNRz.令000zrqzzzz与 积分 变量 无关,且01q,又 因为 点z在1k外 部,及()f在1k上连续,因此存在10M,使1()fM,于是有:101100()11()2221nNnnknNnNfzMMqRzdqrizzzrq因为 lim0NNq,所以lim()0NNRz.从而有:110011101()1()()()22()nnnnkknnffddzzCzziziz综上所述,有:00000()()()()nnnnnnnnnfzCzzCzzCzz其中2101(),0,1,2,2()nnkfCdniz,1101(),1,2,2()nnkfC

35、dniz.将nC与nC合在一起得:如果圆环域内取绕0z的任何一条正向简单闭曲线C,那么根据闭路变形原理,可用一个式子表示为:101(),(0,1,2,)2()nnCfCdniz,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 22 页 -称0()()nnnfzCzz为函数()fz在圆环域102RzzR内的洛朗展开式,而称0()nnnCzz为函数()fz在圆环域102RzzR 内的洛朗级数.说明:(1)在许多应用中,往往需要把在某点0z不解析,但在0z去心邻域内解析的函数()fz展开成幂级数,那么就利用洛朗级数展开,即:0001()()()nnnnnnfzCzzCzz为 级 数

36、解 析 部 分主 要 部 分(2)幂级数在收敛圆环域内所具有的所有性质,洛朗级数在收敛圆环域内同样具有.例 1.把函数2()zefzz在以00z为中心的圆环域0z内展开成洛朗级数.解:计算系数nC,312nnCeCdi,其中C为圆环域内任何一条正向简单闭曲线,(1)当30n时,函数3()znfze z在 0z内解析,所以0nC.(2)当2n时,由高阶导数公式,(2)03111()|2(2)!(2)!nnnCeCdeinn于是函数的洛朗级数展开式为:222211111(2)!2!3!4!znnezzzznzz-直接展开法在圆环域内的解析函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是函数()

37、fz的洛朗级数.证明:设函数()fz在圆环域102RzzR内展开的级数是0()()nnnfzazz其 中C为 圆 环 域 内 任 何 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线,为C上 任 何 一 点,则0()()nnnfaz,以10()pz去乘上式两边,并沿曲线C积分,得:(p名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 22 页 -为整数)1010()()2()npnppCCnfazdiaz因为0,0,pnpnpanp函 数 解 析由 高 阶 导 数 公 式由 柯 西 积 分 公 式从而,101(),(0,1,2,)2()ppCfadpiz.二、间接展开法根据由正、负整次幂项组成

38、的级数的唯一性，可通过代数运算、变量代换、函数求导、积分等方法将函数展开，这种方法称为间接展开法.如:2342211111(1)2!3!4!znezzzzzzzn2221111112!3!4!nzzzzzn.例 2.把函数13()zfzz e 在区域 0z内展开洛朗级数.解:因为函数13()zfzz e 在区域 0z内处处解析,而且21112!znezzzn133211111(1()()2!nzz ezzznz321112!3!4!zzzz例 3.函数1()(1)(2)fzzz在下列圆环域内处处解析,试把函数()fz在这些区域内展开成幂级数.(1)01z(2)12z(3)2z解:(1)11()

39、12fzzz在 01z内,有1z及12z,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 22 页 -2111nzzzz231111(1()()()222222212nzzzzzz2231()(1)(1()()()22222nnzzzzfzzzz2137248zz不含z的负幂项,因此函数()fz在0z处解析.(2)在区域 12z内,有11z及12z,21111111(1)111nzzzzzzz231111(1()()()222222212nzzzzzz23211111()(1)(1()()()22222nnzzzzfzzzzz21231111222nnzzzzz(3)在区域 2

40、z内,有211,1zz,22111111124()(1)(1)211fzzzzzzzzzz234137zzz.例 4.将函数()1zefzz在环形域 01z上展开为洛朗级数.解:1 1111111zzzeeeezzz2(1)(1)1(1)112!zneezzzzzn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 22 页 -11(1)(1)112!nzzezn例 5.试求函数21()1fzz在zi处的洛朗级数.解:函数21()1fzz在复平面上有两个奇点zi,因此复平面被分成两个不相交的函数()fz的解析区域:(1)02zi(2)2zi21111()1()()fzzzizizi zi(1)在区域 02zi内,2111111121()2zizzi ziziii1110011()()222nnnnnnziiziziii(2)在2zi内,2111111211()izzi zizi zizi220012(2)()()()nnnnniizizizi名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 22 页 -