2022年数学建模-教学楼人流优化可用 .pdf

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1、论文题目：三教课间学生流控制的数学模型论文作者 1：吴永辉在现阶段建模中你善长：写作程序设计数学思维，好突发奇想构建模型的应用能力强论文作者 2：王卫阳在现阶段建模中你善长：写作程序设计数学思维，好突发奇想构建模型的应用能力强论文作者 3：刘玉洋在现阶段建模中你善长：写作程序设计数学思维，好突发奇想构建模型的应用能力强名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 32 页 -第三教学楼课间学生流控制的数学模型.3一、问题重述 .4二、基本假设 .4三、问题分析与参数说明.43.1 问题分析.43.2 参数说明.5四、模型建立 .54.1 模型一：.54.1.1 问题分析 .54

2、.1.2 通过每层楼道人数优化.64.1.3 电梯运载人数确立.84.1.4 通过楼道的人数的简化与确定.84.1.5 通过没层楼单位长度上的人数：.84.1.6 各层（1-3层）南，北，中楼经过各楼道的比例.94.1.7模型的结果与分析.11 4.2 模型二.12 4.2.1 基本假设:.12 4.2.2 问题分析：.12 4.2.3 模型建立 .13 4.2.4 模型结果及分析.14 五、模型评价 .14 六、具体方案的提出 .15名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 32 页 -第三教学楼课间学生流控制的数学模型摘要第三教学楼（三教）作为全校本科生上课的主要地点，

3、起着至关重要的作用，但同时毫无疑问也承担着巨大的人流压力。在上午第一和第二节的课间，楼道口学生流的拥挤问题就显得尤为突出，给大家的进出带来了很多麻烦，也造成了时间上的浪费，因此这成为亟待解决的一个十分重要的问题。由于在上午九点四十五下课后，下课离三教与上课入三教的人叠加在一块，造成拥堵，而正确地指导学生入楼、出楼是解决三教拥堵的关键，因为三教现有资源已经固定。针对三教人流拥挤的特殊情况，我们实地进行调研，测量记录了相关数据，并建立数学模型对人流拥挤问题提出了优化解决方案。对于该问题，我们从生活实际出发，通过将人的出入转化为全出，将人的移动比作流体，建立起模型，实现三教学生出入在各个楼道的合理分

4、布，从而改善三教的拥堵状况。此模型从人流密度等不确定性的量入手，使得三教的人流密度最小化，即 min条件。而又通过简化避开复杂的调研和许多不确定性的量，充分利用已有的资源与数据，实现学生出入方案的优化，结果更有可靠性与精确性。最终，得出了各层学生通过各个楼道的人数与比例，例如星期一的比例为：实现在定性地指导基础上的量化，直观又准确。关键词：出入方案上下楼道模型秩序 数学模型名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 32 页 -4 一、问题重述第三教学楼（三教）在上午九点四十五下课后，下课离开三教的人流和来三教上课的人流叠加在一起，使得楼内比较堵塞，楼内的交通十分混乱，人流拥

5、挤的问题亟待解决。（1）调研三教各楼层教室的分布和楼梯、电梯的分布。（2）根据各教室容量和课表等估算出下课人数和上课人数。（3）利用三教现有的资源，制定出一个下课学生出楼，上课学生入楼的方案，改善三教内秩序。二、基本假设1）疏散总时间固定，最多15 分钟 2）三教各层楼道长度相同，同层楼道人是同时疏散完毕。3）各层楼人员流动连续不间断，看成流体。4）进出人员都看成是出，总人数为两者的线性叠加。5）拥挤的地方出现在楼道口，走廊不拥挤。6）三教北楼 5-8 层有电梯，走楼道的人数为定值。7）三教北楼的 4-8 层楼道走的人少，可纳入 3 层同时进行考虑。8）三教人员总人数固定，每层、每教室上、下课

6、人数固定。三、问题分析与参数说明 3.1问题分析分析问题包括出入人员对拥挤程度的影响的简化与量化，衡量拥挤程度的指标，以及如何实现指标的优化。针对此问题：（1）在调研名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 32 页 -5 基础上，对出入学生流做出相应简化；（2）推导出衡量拥挤程度的指标或是实现优化的条件与前提；（3）提出指导学生出入的优化方案。最终使得三教的人流密度最小化，即 min时，所需要条件，即是要实现的方案。3.2参数说明i第i（,A BI)层的人群密度X楼道内的总人数A楼道面积0t常系数j大于 0 的常系数Q通过楼道的总人数in通过i（,A BI)层的人数idi

7、（,A BI)楼道的宽度im通过i(1,2,3)层楼道的单位宽度的人数iS南楼i(1,2,3,4,5)上、下课的总人数iN北楼i(1,2,3,4)层上、下课总人数iM中间楼i(1,2,3)层上、下课总人数T北楼 5-8 层通过楼道的总人数ij南楼j(1,2,3)层i（,A BI)楼道通过人数ij北楼 j(1,2,3)层i（,A BI)楼道通过人数ijr中楼j(1,2,3)层i（,A BI)楼道通过人数四、模型建立 4.1模型一：4.1.1 问题分析由实际情况可知，人群密度（单位面积上的人数）越大，则拥挤名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 32 页 -6 程度越大。人群

8、密度是指一定面积内的总人数与总面积的比值，因此人越多，在这个面积内就越拥挤。在三教的各楼道中，要使情况得以改善，则仅需要使人群密度最大的地方改变即可。根据假设（1）、（3），在固定的时间内通过每一层的人数固定，要使最拥挤的地方得以缓解，则要使个楼道的人流均匀。根据如图示的三教的教室分布及楼道分布看，拥挤的楼道一定出现在 1,2,3 楼层，因此，把南面 5,4楼纳入 3 楼考虑，北面 4-8 层纳入3 层考虑，由于此面 5-8 层有部分人乘坐电梯，因而由假设（6），走楼道的人数为T人。因此，只需考虑三教1-3 层各楼道的人员分布情况，即可得到问题的优化方案，与此同时，因为进和出的问题，使问题复杂

9、化，因而，根据假设（4），都可化为出的人流，这与实际情况是等效的。4.1.2 通过每层楼道人数优化根据假设与问题分析名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 32 页 -7 人群密度XA；为人群密度（2m人）；X 为楼道内总人数；A为楼道面积；根据假设（1）、（2）时间固定时，而且人数是连续的，因而X与通过楼道的总人数n成正比，S又与宽度成正比，因此：0ntd，也就是与nd成正比。0t为以常系数。同时，对不同的楼道，在同一层时，人群密度最大的地方即反映了该楼的秩序情况，即：max,ABCGHI;min时，对应的人流分布情况即为最优，因而min,ABHIABHInnnnddd

10、d时即为所求。由假设（8），对同层楼来说，经过各个楼道的人数之和相等，即：ABHInnnnc;c为常数，An为通过A楼道的人数；,ABHIdddd为定值，Ad为楼道宽度，所以：min,IIABHIABHIiiAAABHIABHInnnnnnnnnddddddddd即为通过同楼层楼道单位长度上的人数相等。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 32 页 -8 4.1.3 电梯运载人数确立根据对北面 5-8 楼的人员进行调查，上下课的人员大概在700左右，假定电梯每次运载13 人（满运），半分钟上下一次，每次都满载，设在十二分钟内完成，则经过楼梯口的人数T为大约 100 人。

11、4.1.4 通过楼道的人数的简化与确定根据分析和假设（4），通过楼道的人数即为进、出人数的线性叠加：0iQQjQ；Q为通过楼道的总人数；0Q为下楼道的总人数；iQ为上楼道的总人数；j为系数，由假设（4）可知，j的取值为 1。4.1.5 通过没层楼单位长度上的人数：IIiiAAmndm为单位宽度通过人数；in为某层通过i（,A BI)楼道的人数。id为i（,A BI)楼道宽度。因而：543333()GiiiAmSNTMd名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 32 页 -9 5432222()GiiiiAmSNTMd54312112()()iiiDABCHImSNTMmdd

12、dddd其中3m，2m,1m为 3,2,1 楼楼道单位长度通过人数。iS为南楼(1,2,3,4,5)i上、下课的总人数；iN为北楼(1,2,3,4)i上、下课的总人数；iM为北楼(1,2,3)i上、下课的总人数；T为北楼 5-8 层走楼道的人数；id为(,)i A BG HI楼道宽度。4.1.6 各层（1-3 层）南，北，中楼经过各楼道的比例为了使各个楼道的通过人数较为合理、均匀，因此，需要根据每层楼单位长度上通过的人数求出一个比例值，或r,因而可比较直观的反映人的走向。根据同层每个楼道通过的总人数为m d，假设在第二、三层时，南边的人走 A,B,C 三个出楼道口，中间楼的走C，D，G楼道，北

13、边的人走 E，F，G楼道，若求出比例值为负，则是反向通过的人数所占的比例。对第三层而言：在南楼，3，4，5 层同时纳入考虑，总人数为345SSS，A楼道 所 占 的 比 例 为3A，故A 楼 道 在 第 三 层 通 过 的 人 数 为3453()ASSS，同时，其总人数等于3Amd，故：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 32 页 -10 3453()ASSS=3Amd，同理得 B出口：3453()ASSS=3Amd，且3331ABC综合得：3453334533333()()1AABBABCSSSdmdSSSdmdddd同理得北楼和中间楼层的方程：3433343333

14、3()()1EEFFEFGNNTmdNNT dmd和3334533333433333()()1CCCGGGCGDmrSSSdmdmrNNmdrrr对于第二层：在南楼，第二层A 楼道内在第三层基础上新增的人数为22AS，也可以表示为23()Ammd，故可得2223()ASmmd，依次可得：南楼：22232223222()()1AABBABCSdmmdSdmmd北楼：22232223222()()1EEFFABCNmmdNmmd名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 32 页 -11 中间：222223222223222()()1CAEGGGCGDMrSdmmdMrNmmd

15、rrr在第一层：由于北边的 E，F出口封住，故人流只能通过H和 I，而南边A，B，C依旧可以，中间可以，中间大教室由于与大厅相接，可以不加以考虑。因此可得：11121112111()()1AABBABCSmmdSmmdQQQ和121111()1EFGIIIHNmdddmd最终可得出向量：333333333332222222232211111111311ABCEFGHICDGABCEFGHICDGABCEFGHICDGrrrrrrrrr4.1.7 模型的结果与分析运用 lingo软件，输入相关的参数可得到最优化的数据，限于篇幅，现以星期一的数据为例进行分析：优化后每层楼楼道单位宽度上的人流量为：

16、1m=969.178 2m=691.026 3m=485.449 优化后的比例向量组为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 32 页 -12 00.000.000.055.045.000.000.000.044.028.028.048.042.000.000.0036.032.032.042.029.029.024.117.240.200.000.000.004.048.064.018.018.0根据数据可知，三楼C楼梯口的人员有负的，是-2.40，因此，意味着南边三楼及以上楼层的人员要转移很大一部分到（几乎是四楼的所有人数）到 D和 G出口以缓解南面的严重拥挤现象

17、。这个值也恰恰反映了现实中为什么总是南面的一、二、三层楼梯口拥挤，而 D楼梯口却没多少人的原因：由于各种原因不往北边走，造成人员在南边堆积。然而，根据1m和2m巨大的差距，可以看出，D 出口还可以进一步分掉一部分流往一楼的人员以减小拥挤。因此建立以下模型。4.2 模型二4.2.1 基本假设:1）人员流动总时间固定，最多15分钟（课间休息）。2）各层人员流动连续，看成流体。3）各楼道长度相等。4）进出人员看成出，总人数看成线性叠加，两者无影响，进行直接相加。4.2.2 问题分析：三教的秩序最差的地方出现在人流量最大的地方，因此，要使秩序得到改善，即即使楼道单位长度上最大人流量最小化即可解决问题。

18、和上个模型一样，将4-8 层纳入 3 层来考虑：南、北、中楼的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 32 页 -13 学生走各个楼道的楼道口不变，在 2,3 层南边通过 A，B，C；北边 E，F，G；中间为 C，D，G，其中在 1 层，中间的教室（106,105）不纳入考虑范围，北边出口只有H，I。在考虑最大流量口时，只考虑通向外界的出口处，即A，B，C，D，E，F，H，I 口。4.2.3 模型建立由于各楼在每层通过各楼道人数之和不变：比如在南楼的 3 楼，根据问题分析，通过A，B，C楼道口的比例之和为 1，即3331ABC。同样对其他楼和其他层列式为：3332221

19、11111ABCABCABC且33322211EFGEFG且33322211CDGCDGrrrrrr且11111IHIHIHdd定义函数a，a即是三教各楼道单位宽度上最大的人流量。3333311222max,AiiABiiBEiiBFiiFEiiDaSdSdNdNdrMd,333312121(,iGiiCiiCiiCHINrMSrMdddmin a时，,ijijijr即为所求值，而min a即为单位长度上通过的最小人数，此时秩序最好。为了形式好看直观，将3S、3N的值定义为 3 层以上所有楼层人数之名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 32 页 -14 和。4.2.4

20、 模型结果及分析运用 Matlab 的 fminimax 函数。可得输出的向量为：min a=947.21，因此，从中可以看出，运用此模型之后，楼道的拥挤程度在模型一的方法上有了一定的减小，但幅度不是很大，这也在预料之中，因为楼道口数目较多，D出口分担的人流量也相对说来不是很大。楼道单位长度的人流减少率为：%100min11mmaW%27.2W0.340.340.320.330.330.34001110010.330.330.34001110010000.550.45000由 W的值可知，两者的相对误差较小，因此对应三教的人员流动的优化方案，两者结果相差不多。五、模型评价模型一反映三教一贯南边

21、拥挤的原因，同时也给出了解决方案：南变 3-5 层的人往北边走，同时也使得各层楼道单位长度的人流量相等，很有实用性。模型二实现三教总的秩序最优，但是其内部人员分布很不均匀，因此可以作为理想值考虑来检验其他模型是否合理。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 32 页 -15 这样又发挥了模型一使三教内部人流分布均匀的优越性。六、具体方案的提出根据课表可知，工作日大部分时间里。同层楼教室里上下课总人数相差不大，故由星期一的结果可看出：1）出入南边三四五层人员应尽量通过北边，D,G楼道口；2）通过 A，B出口的人应该相等，且总和占南楼总人数的百分之六十左右。名师资料总结-精

22、品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 32 页 -16 附录一：三教各层人员分布情况楼层南楼中间北楼一层1447 596 1120 二层1287 760 1160 三层1635 744 1189 四层1749 0 548 五层1608 0 157 八层0 0 488（上表数据人数为进出人数之和）附录二：程序输入输出情况模型一一、输入程序model:min=abs(1635+1749+1608)*x-485.449*1.8)+abs(1635+1749+1608)*y-485.449*1.8)+abs(x+y+z-1);free(x);free(y);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名

23、师精心整理-第 16 页，共 32 页 -17 free(z);End 运行结果Linearization components added:Constraints:12 Variables:12 Integers:3 Global optimal solution found.Objective value:0.000000 Objective bound:0.000000 Infeasibilities:0.000000 Extended solver steps:0 Total solver iterations:0 Variable Value Reduced Cost X 0.175

24、0417 0.000000 Y 0.1750417 0.000000 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 32 页 -18 Z 0.6499166 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000 二、输入程序:model:min=abs(1189+548+100)*x-485.449*1.8)+abs(1189+548+100)*y-485.449*1.8)+abs(x+y+z-1);free(x);free(y);free(z);End 输出结果：Linearization compone

25、nts added:Constraints:12 Variables:12 Integers:3 Global optimal solution found.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 32 页 -19 Objective value:0.000000 Objective bound:0.000000 Infeasibilities:0.000000 Extended solver steps:0 Total solver iterations:0 Variable Value Reduced Cost X 0.4756713 0.000000 Y 0.47

26、56713 0.000000 Z 0.4865738E-010.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000 三、输入程序model:名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 32 页 -20 min=abs(1635+1749+1608)*0.6499166+744*x-485.449*3)+abs(1189+1608)*0.04865738+744*y-485.449*3.6)+abs(x+y+z-1);free(x);free(y);free(z);End 输出结果：Linearization

27、 components added:Constraints:12 Variables:12 Integers:3 Global optimal solution found.Objective value:0.000000 Objective bound:0.000000 Infeasibilities:0.000000 Extended solver steps:0 Total solver iterations:0 Variable Value Reduced Cost 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 32 页 -21 X-2.403275 0.000000

28、 Y 2.166024 0.000000 Z 1.237251 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000 四、输入程序model:min=abs(1287*x-(691.026-485.449)*1.8)+abs(1287*y-(691.026-485.449)*1.8)+abs(x+y+z-1);free(x);free(y);free(z);End 输出结果：Linearization components added:Constraints:12 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，

29、共 32 页 -22 Variables:12 Integers:3 Global optimal solution found.Objective value:0.000000 Objective bound:0.000000 Infeasibilities:0.000000 Extended solver steps:0 Total solver iterations:0 Variable Value Reduced Cost X 0.2875203 0.000000 Y 0.2875203 0.000000 Z 0.4249594 0.000000 Row Slack or Surplu

30、s Dual Price 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 32 页 -23 1 0.000000 -1.000000 五、程序输入：model:min=abs(1160*x-(691.026-485.449)*1.8)+abs(1160*y-(691.026-485.449)*1.8)+abs(x+y+z-1);free(x);free(y);free(z);End 输出结果 Linearization components added:Constraints:12 Variables:12 Integers:3 Global optimal solution

31、found.Objective value:0.000000 Objective bound:0.000000 Infeasibilities:0.000000 Extended solver steps:0 Total solver iterations:0 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 32 页 -24 Variable Value Reduced Cost X 0.3189988 0.000000 Y 0.3189988 0.000000 Z 0.3620024 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.0

32、00000 -1.000000 六、程序输入model:min=abs(760*x-(691.026-485.449)*3+1287*0.4249594)+abs(760*y-(691.026-485.449)*3.6+1160*0.3620024)+abs(x+y+z-1);free(x);free(y);free(z);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 32 页 -25 end 结果输出 Linearization components added:Constraints:12 Variables:12 Integers:3 Global optimal so

33、lution found.Objective value:0.000000 Objective bound:0.000000 Infeasibilities:0.5551115E-16 Extended solver steps:0 Total solver iterations:0 Variable Value Reduced Cost X 0.9185296E-01 0.000000 Y 0.4212558 0.000000 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 32 页 -26 Z 0.4868912 0.000000 Row Slack or Surplus

34、Dual Price 1 0.000000 -1.000000 七、程序输入model:min=abs(1477*x-(919.178-691.026)*1.8)+abs(1477*y-(919.178-691.026)*1.8 )+abs(x+y+z-1);free(x);free(y);free(z);end 结果输出 Linearization components added:Constraints:12 Variables:12 Integers:3 Global optimal solution found.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 26 页，共 32 页

35、-27 Objective value:0.000000 Objective bound:0.000000 Infeasibilities:0.000000 Extended solver steps:0 Total solver iterations:0 Variable Value Reduced Cost X 0.2780458 0.000000 Y 0.2780458 0.000000 Z 0.4439085 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000 八、程序输入model:名师资料总结-精品资料欢迎下载

36、-名师精心整理-第 27 页，共 32 页 -28 min=abs(1120+691.026*(1.8+1.8+3.6)*x-919.178*3)+abs(x+y-1);free(x);free(y);end 结果输出 Linearization components added:Constraints:8 Variables:8 Integers:2 Global optimal solution found.Objective value:0.000000 Objective bound:0.000000 Infeasibilities:0.000000 Extended solver s

37、teps:0 Total solver iterations:0 Variable Value Reduced Cost X 0.4523969 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 28 页，共 32 页 -29 0.000000 Y 0.5476031 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000 模型二function f=myfun(x)f(1)=821*x(7)+715*x(4)+2773*x(1);f(2)=821*x(8)+715*x(5)+2773*x(2);f(3)=624+115*x(

38、21)+124*x(18);f(4)=492*x(9)+1664*x(3)+429*x(6)+253*x(19)+248*x(16);f(5)=644*x(13)+971*x(10);f(6)=644*x(14)+971*x(11);f(7)=422*x(20)+413*x(17);Warning:Length of lower bounds is length(x);ignoring extra bounds.In checkbounds at 27 In fminimax at 246 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 29 页，共 32 页 -30 In minmax a

39、t 7 Warning:Length of upper bounds is length(x);ignoring extra bounds.In checkbounds at 37 In fminimax at 246 In minmax at 7 Local minimum possible.Constraints satisfied.fminimax stopped because the size of the current search direction is less than twice the default value of the step size tolerance

40、and constraints were satisfied to within the default value of the constraint tolerance.x=名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 30 页，共 32 页 -31 0.3416 0.3416 0.3168 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0.3343 0.3314 0.3343 0.3320 0.3340 0.3340 -1.0000 1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 1.0000 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 31 页，共 32 页 -32 feval=947.2106 947.2106 863.0000 947.2106 538.4479 536.8463 835.0000 maxfval=947.2106 exitflag=4 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 32 页，共 32 页 -