2022年添中点辅助线 .pdf

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1、浅谈怎样添中点问题的辅助线1、构造全等三角形（1）对于题设中有三角形中线的问题，常将中线延长一倍，构成全等三角形，使问题能在充分的条件下得以解决，如图1，AD是 ABC的中线，延长AD到 E，使 DE=AD，连结 EC，则ABDECD。（2）对于题设中有一条线段平分另一条线段的题目，可将第一条线段加倍延长，构成全等三角形，如图 2，CD平分 AB，可延长 DC到 E，使 CE=CD，连结 BE，则 ACD BCE。2、构造中位线若三角形一边（或梯形一腰）的中点，往往取另一边（或另一腰）的中点，连结成中位线，然后利用中位线性质进行证明或求解。3、构造直角三有形斜边上的中线当题设中出现或隐含着直角

2、三角形斜边上的中点的条件，可通过作辅助线构造斜边上的中线，利用直角三角形的性质探求解题方法。例 1 证明：三角形中，如果一个角的平分线是它对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形。已知：如图3，在 ABC中，AD平分BAC，且 BD=DC，求证：AB=AC。思路分析：因为AB、AC分别是 ABD、ACD的边，根据题设这两个三角形全等的条件不全，由于AD是ABC的中线，不妨加倍延长中线试一试，容易证明ABDECD，则 AB=CE，要证AB=AC，再证EC=AC 即可。证明：延长AD到 E，使 DE=AD，连接 EC 在 ABD和 ECD中，ABD ECD AB=EC，1=E 1=2，2=E AC

3、=EC AB=AC 题末点评:对于中线问题，常将中线延长一倍，构成全等三角形，将边、角转移到新的三角形中，从CDBD43EDAD图 1 图 2 图 3 EBCADEDCBAEDCBA4321名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -而为证题创造条件。例 2 已知：如图4，在 ABC与CBA，AB=BA，AC=CA，AD、DA分别是BC 及CB上的中线，且AD=DA。求证：ABCACB。思路分析：要证ABC ABC，因为这两个三角形中已有两边对应相等，需证BAC=BAC。由于 BAC=1+2，BAC=1+2故需证 1=1，2=2。注意到题中中线相等的条件可设法利用这

4、一条件来证。证明：分别延长AD、AD到 E、E，使 DE=AD，DE=AD，连接BE、BE。则 AE=2AD，AE=2AD，AD=AD AE=AE在BDE和CDA中，BDE CDA BE=AC，E=2 同理 BE=AC，E=2 AC，CAEBBE在ABE和EBA中，ABE。EBAEE，1122，2121在ABC和CBA中，ABC ABC。例 3 已知：如图5，AD平分 BAC，M是 BC的中点，MF/AD 交 CA的延长线于F，求证：BECF思路分析：因为BE、CF分别是钝角三角形、锐角三角形的DADECDABDECDBDEAAEEBBEBAABCAACCABBACBAAB图 4 图 5 ED

5、CBAEDCBAGMDCBAEF名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -边，因此不能用直接证明两个三角形全等的方法来证BE=CF，题设中M是 BC的中点，即EM平分线段BC，故考虑用加倍延长EM，构成全等三角形来证。证明：延长EM到 G，使 MG=EM，连接 GC，在 BEM 和CGM 中，GMEMCMGBMECMBMBEM CGM。BE=CG，BEM=G MF/AD BEM=BAD，F=DAC BAD=DAC BEM=F F=G CF=CG BE=CF 题末点评：当直接证明两条线段相等比较困难时，常证这两条线段都等于第三条线段，而第三条线段往往是构造全等三角形

6、得到的，构造全等三角形时，要特别注意题中的中点、中线的条件。例 4、已知：如图6，四边形ABCD 中，ACBD且交于 E，设 M、N 分别为 AB、CD的中点，MN 交AC于 P、交 BD于 Q，求证：EPQ=EQP 思路分析：要证 EPQ=EQP，考虑找到与它们相等的角。不妨从两个中点着眼考虑。取 AD的中点 F，则 EQP=FMN，EOQ=FNM。需证 FMN=FNM。由中位线的性质可得FM=FN，从而 EPQ=EQP。证明：取 AD的中点 F，连接 MF、NF 是MF，ABD 的中位线BD，MF/EQPFMN同理 FNM=EPQ，AC=BD FM=FN FNMFMNEQPEPQ。题末点评

7、：添作中位线后，即可得到平行线，又可得到与已知线段的一半相等的线段，使题中原来比较隐蔽的条件变得充分和明显，问题易于获解。例 5 已知：如图7，ABD和ACE是直角三角形，M为 DE的中点，求证：MB=M。证明：延长BM交 CE于 F BD21MFAC21FN图 6 图 7 PQNMEFDCBAMFEDCBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -90ECBABD，例 6、已知：如图8，五边形ABCDE 中，AED=ABC=90，BAC=DAE，P是 CD的中点，求证：PB=PE。思路分析：要证PB=PE，图形中缺少条件，需引辅助线，因P是 CD的中点，ABC与

8、AED是直角三角形，取 AC、AD的中点 M、N，利用三角形的中位线定理及直角三角形的性质证明BMPPNE，使问题得以解决。证明：分别取AC、AD的中点 M、N，连接 BM、MP、NE、NP ABC=90 BM=BMC=2 BAC NP是 ACD的中位线AC21PN，PN AC PND=CAD，PN=BM 同理 DNE=2 DAE，CMP=CAD，NE=MP BAC=DAE BMC=DNE且 CMP=PND BMP=PNE BMP PNE PB=PE 题末点评：本题解题的关键是取AC、AD的中点，构造三角形的中位线，直角三角形斜边上的中线。由三角形中位线定理及直角三角形斜边上的中线性质，证出结

9、论中两条线段所在的三角形全等，从而结论成立。专题训练：1、已知：ABC中，90ACB，CD是中线，求证：AB.2CD2、已知：如图9，在ABC中，AB AC，M为 BC的中点，过M点引直线垂直于A的平分线，分别交AB、AC于 D、E。求证：BD=CE。3、已知：如图10，。，CM，BCFRt顺利获解本题能突破了这一点斜边上的中线关键是构造题末点评：本题解题的BF。MCMB，BCFMF。MFEM，BDMFME。BMDEM，DMFEMBDMCE。BD2190B/又AC21图 8 图 9 图 10 PNMEDCBAEFDCBANMEDCBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共

10、 5 页 -在ABC中，AD是 BC上的中线，E为 AC上一点，BE交 AD于 F，若 AE=EF，求证：AC=BF 4、已知：如图11，过 ABC的 BC边的中点 M，作直线平行于A的平分线AN，而交 BA的延长线AC于 E、F，求证：2CFAB+AC。5、已知：如图12，四边形ABCD中，E、F 分别为 AB、DC的中点，求证：BCAD21EF6、已知：如图 13，四边形 ABCD，ABC=ADC=90 M、N分别是对角线AC、BD的中点，求证:MNBD。7、已知：如图14，ABC的 C 的平分线 CE与 BC边的中线AD垂直 且 相 等，相 交 于F，CE的三条边求ABC，AD4长。8、已知：如图15，ABC中，以 AB、AC为斜边向形外作等腰ABM和等腰 CAN，P 是 BC的中点，求证：（1）PM=PN (2)PM PN 9、已知：如图16，在 ABC中，BAC=120，以 AB、AC为边，分别向形外作正三角形ABD和正三角形 ACE，M为 AD中点，N为 AE中点，P为 BC中点，试求 MPN 的度数。图 11 图 12 图 13 图 14 图 15 图 16 FEDCBANMFECBAFEDBACNMDCBAENMPCBDAPNCBAM名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -