2022年《平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示》导学案 .pdf

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1、第 5 课时平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示1.会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算.2.根据向量坐标运算解决平面几何中的共线、平行问题.3.会根据向量的坐标,判断向量是否共线.在平面直角坐标系中,已知A(1,0)、B(2,3)、C(-1,2),以A、B、C为平行四边形的三个顶点作平行四边形,动手画图,探究第四个顶点的坐标.问题 1:设第四个顶点为D(x,y),(1)若AB、AC为平行四边形的邻边,则?=?,因为?=(1,3),?=(x+1,y-2),所以?+1=1,?-2=3,解得?=0,?=5,所以第四个顶点D的坐标为.(2)若BA、BC为平行四边形的邻边,同上可求得D的坐标为.

2、(3)若CA、CB为平行四边形的邻边,同上可求得D的坐标为.问题 2:平面向量线性运算的坐标如何表示?名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -(1)加法的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a+b=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j=.这就是说两个向量之和的坐标等于这两个向量对应的坐标之和.(2)向量减法的坐标表示:a-b=.(3)向量数乘的坐标表示:a=.问题 3:向量坐标与其起点、终点坐标有什么关系?如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),则?=?-?=(x2

3、,y2)-(x1,y1)=.这就是说:一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.问题 4:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),当且仅当时,向量a,b(b 0)共线.通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示;反过来,任一有序数对就表示一个向量.这就是说,一个平面向量就是一个有序实数对.向量的坐标表示法将向量的加法、减法、数乘运算都统一起来,使得向量运算代数化,将数与形紧密结合起来,这样许多几何问题的解决,就可以转化为我们熟知的数量运算.1.向量a=(x+3,x2-3x-4)与?相等,已知A(1,2)和B(8,2),则x的值为().A.-1B.-1 或 4 C.

4、4 D.1 或-4 2.若a=(2,3),b=(4,m-1),且ab,则m等于().A.5B.6C.7D.8 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -3.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则x的值为.4.已知向量?=(4,3),?=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标;(2)若点P(2,y)满足?=?(R),求y与的值.平面向量的坐标运算平面上三个点分别为A(2,-5),B(3,4),C(-1,-3),若D为向量?的中点,则向量?的坐标为.平面向量共线的坐标运算已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时

5、,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?平面向量共线的应用已知四边形ABCD的顶点依次为A(0,-x),B(x2,3),C(x,3),D(3x,x+4),若ABCD,求x的值.已知点A(-1,2),B(2,8)及?=13?,?=-13?,求点C,D和?的坐标.已知向量?=(m,12),?=(4,5),?=(-m,10),且A、B、C三点共线,求m的值.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -已知梯形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-1,1),B(m2,m-1),C(3,2),D(m2,m+2),试求m的值.1.若向量a=(x+3,x2-3x-4)与

6、?相等,i是坐标系中与x轴正方向同向的单位向量.已知?=2i,则x的值为().A.-1B.-1 或 4C.4D.1 或-4 2.已知点A(-1,5),向量a=(2,3),?=3a,则点B的坐标为().A.(14,5)B.(5,14)C.(6,9)D.(9,6)3.已知e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),试以e1,e2为基底,将a分解为1e1+2e2的形式为.4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,求向量d.(2013 年重庆卷)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若

7、c=a+b(,R),则?=.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -第 5 课时平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示知识体系梳理问题 1:(1)(0,5).(2)(-2,-1).(3)(4,1).问题 2:(1)(x1+x2,y1+y2)(2)(x1-x2,y1-y2).(3)(x1,y1).问题 3:(x2-x1,y2-y1).问题 4:x1y2-x2y1=0基础学习交流1【解析】由a=?,得(x+3,x2-3x-4)=(8-1,2-2)=(7,0),所以?+3=7,?2-3x-4=0,解得x=4.【答案】C 2.【解析】因为ab,所以 2(m-1)-

8、43=0,解得m=7,选 C.【答案】C 3.【解析】由已知得?=(x-1,-4),?=(1,2),又A,B,C三点共线,所以?,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -所以(x-1)2-1(-4)=0,解得x=-1.【答案】-1 4.【解析】(1)设B(m,n).A(-1,-2),?=(m+1,n+2)=(4,3),?+1=4,?+2=3,?=3,?=1.即B(3,1).同理可得D(-4,-3).线段BD的中点M的坐标为(3-42,1-32),即M(-12,-1).(2)?=(1,1-y),?=(-7,-4),由?=?得(1,1-y)=(-7,-4),1=-

9、7?,1-?=-4?,解得y=37,=-17.重点难点探究探究一:【方法指导】可由中点坐标公式求出点D的坐标,然后利用A,D两点的坐标求出?的坐标.【解析】因为D为向量?的中点,由中点坐标公式x=?1+?22,y=?1+?22可以求得D(1,12),所以再由向量的坐标公式得?=(2,-5)-(1,12)=(1,-112).【答案】(1,-112)【小结】向量?的坐标等于点A的坐标减去点D的坐标,在解题时要特别注意这个法则.探究二:【方法指导】本题可有两种方法:可利用向量共线的坐标表示来求,也可用向量共线定理来解.【解析】(法一)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3

10、b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).(ka+b)(a-3b),名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-13.此时ka+b=(-13-3,-23+2)=(-103,43)=-13(10,-4)=-13(a-3b).k=-13,且此时ka+b与a-3b平行,并且反向.(法二)由法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数,使ka+b=(a-3b),由(k-3,2k+2)=(10,-4),?-3=10?,2?+2=-4?,解得?=-13,?=-

11、13,当k=-13时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-13(a-3b).=-130,它们的方向相反.k=-13,此时ka+b与a-3b平行,并且反向.【小结】(1)利用向量坐标关系解决两个向量平行问题时要正确使用“x1y2-x2y1=0”这一结论.(2)方程思想是一种重要的数学思想和方法,在解决数学问题时,点共线问题常常转化为有公共点的向量共线问题来解决.探究三:【方法指导】因ABCD,因此?且AB,CD不重合,据此可得到它们之间的坐标关系,从而得到x的值.【解析】ABCD,?,又?=(x2,x+3),?=(2x,x+1),x2(x+1)-2x(x+3)=0,名师资料总结-精品资料欢迎

12、下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -解得x=-2 或x=0 或x=3.问题 上述解法正确吗?结论 不正确,错误一:没有注意四边形ABCD顶点的顺序,需满足?,?反向才行;错误二:没有注意向量的平行与线段平行的不同,?时,AB与CD可能平行也可能重合.于是正确的解答为:?=(x2,x+3),?=(2x,x+1),因为在四边形ABCD中,ABCD,?与?平行且反向.于是?2(x+1)-2x(x+3)=0,?2 2x 0 且(x+3)(x+1)0,解得x=-2.经检验,x=-2 满足题意.【小结】两个向量平行包括它们对应的有向线段可以不共线,也可以共线,但在含有几何背景的向量平行中就要排

13、除共线的情况,如本题中要保证ABCD是四边形就要注意向量?,?不能在一条直线上且反向平行.思维拓展应用：应用一：【解析】设C(x1,y1),D(x2,y2),由题意可得?=(x1+1,y1-2),?=(3,6),?=(-1-x2,2-y2),?=(-3,-6).?=13?,?=-13?,(x1+1,y1-2)=13(3,6)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=-13(-3,-6)=(1,2),则有?1+1=1,?1-2=2和-1-?2=1,2-?2=2,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -解得?1=0,?1=4和?2=-2,?2=0.C,D的坐标分别为

14、(0,4),(-2,0),因此?=(-2,-4).应用二：【解析】由A、B、C三点共线,得?与?共线,即?.又?=?-?=(m-4,7),?=?-?=(-m-4,5),由?可得(m-4)5-7(-m-4)=0.即 12m+8=0,m=-23.应用三：【解析】?=(m2+1,m-2),?=(3-m2,3-m),?=(3-m2,-m),?=(m2+1,m+1).(1)若梯形ABCD的上、下底边为AB、CD,则?、?同向且?,由?得-m(m2+1)=(m-2)(3-m2),解得m=1 或-3.当m=1 时,?=(2,-1),?=(2,-1),?=?,不符合.当m=-3 时,?=(10,-5),?=(

15、-6,3),?=-53?,所以?、?反向,不符合.(2)若梯形ABCD的上、下底边为BC、AD,则?、?同向且?,由?得(3-m2)(m+1)=(m2+1)(3-m),解得m=0 或 1.当m=1 时,由(1)知不符合.当m=0 时,?=(3,3),?=(1,1),?=3?,符合.综上m=0.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -基础智能检测1.【解析】?=a,则由向量相等的概念知?+3=2,?2-3x-4=0,解之得x=-1.【答案】A 2.【解析】a=(2,3),而?=3a,?=3(2,3)=(6,9).设B(x,y),则?=(x+1,y-5)=(6,9

16、),则x=5,y=14,B(5,14).【答案】B 3.【解析】设a=1e1+2e2(1,2 R),则(-1,2)=1(1,2)+2(-2,3)=(1-22,21+32),-1=?1-2?2,2=2?1+3?2,解得?1=17,?2=47,a=17e1+47e2.【答案】a=17e1+47e24.【解析】设d=(x,y),因为 4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),依题意,有 4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,即(2+x,6+y)=(0,0),解得x=-2,y=-6.所以d=(-2,-6).全新视觉拓展：【解析】以向量a和b的交点为原点,水平方向和竖直方向分别为x轴和y轴建立直角坐标系,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),则-1=-?+6?,-3=?+2?,解得?=-2,?=-12,所以?=4.【答案】4 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -