2022年数学建模饮酒驾车问题参照 .pdf

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1、1 饮酒驾车的数学模型摘要本文解决的是一个司机安全驾车与饮酒的问题，目的是通过建立一个数学模型（结合新的国家驾驶员饮酒标准）分析司机如何适量饮酒不会影响正常的安全驾驶。根据一定合理的假设，建立人体内酒精浓度随时间变化的微分方程模型，并通过拟合曲线对数据进行分析。在不同饮酒方式下进行分类讨论，得出体内酒精浓度随时间的变化函数。在讨论过程中，我们得到两个结论：在短时间喝酒形式下，达到最大值的时间为1.23小时，与喝酒量无关；在长时间喝酒形式下，喝酒结束时酒精含量最高。最后，我们讨论了模型的优缺点，并结合新的国家标准写一篇关于司机如果何适量饮酒的一篇短文。关键词：微分方程、模型、房室系统。名师资料总

2、结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -2 一、问题重述饮酒驾车问题主要是分析驾驶员在喝过一定量的酒后，酒精在体内被吸收后，血液中酒精含量上升，影响司机驾车，所以司机饮酒后需经过一段时间后才能安全驾车，国家标准新规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20 毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中酒精含量大于或等于80 毫克/百毫升为醉酒驾车，司机大李在中午 12 点喝下一瓶啤酒，6 小时后检查符合新标准，晚饭地其又喝了一瓶啤酒，他到凌晨 2 点驾车，被检查时定为饮酒驾车，为什么喝相同量的酒，两次结果不一样？讨论问题：1、对大李碰到的情况做出合理解释；2

3、、在喝三瓶啤酒或半斤白酒后多长时间内驾车会违反标准，喝酒时间长短不同情况会怎样？3、分析当司机喝酒后何时血液中的酒精含量最高；4、如果该司机想天天喝酒还能否开车；5、结合模型和国家新标准写一篇关天司机如何驾车的忠告。二、模型假设1、酒精从胃转移到体液的速率与胃中的酒精浓度成正比。2、酒精从体液转移到体外的速率与体液中的酒精浓度成正比。3、酒精从胃转移到体液的过程中没有损失。4、测量设备完善，不考虑不同因素所造成的误差。5、酒精在体液中均匀分布。三、符号说明k0:酒精从体外进入胃的速率；f1(t):酒精从胃转移到体液的速率；f2(t):酒精从体液转移到体外的速率；X(t):胃里的酒精含量；Y(t

4、)：体液中酒精含量；V0:体液的容积；K1:酒精从胃转移到体液的转移速率系数；K2:酒精从体液转移到体外的转移速率系数；C(t):体液中的酒精浓度。0D：短时间喝酒情况下进入胃中的初始酒精量。T：较长时间喝酒所用的时间或达到浓度最大值所需时间。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -3 四、模型的分析与建立（一）、模型分析：假设酒精先以速率0k 进入胃中，然后以速率)(1tf从胃进入体液，再以速率f2(t)从体液中排到体外。根据假设可以建立如图一所示的带有吸收室的单房室系统，其中胃为吸收室，体液为中心室。图一（二）模型建立：用 x(t)与 y(t)分别表示酒精

5、在胃、体液中的酒精量，c(t)表示酒精在体液中的浓度。根据酒精从胃进入体液的速度f1(t)与胃中的酒精量成正比，速率系数为 K1；酒精从血液中排出的速率f2(t)与血液中的酒精量y(t)成正比，速率系数为K2，可以建立方程如下：)()(11txktf（1）)()(22tyktf（2）)()(10tfkdttdx（3）将（1）式代入（3）式可得：)()(10txkkdttdx（4）通过移项，上式可以转化为；01)()(ktxkdttdx（5）利用一阶线性常微分方程的常数变易法对（5）式求解，可以得到；01110111)0()(1xxAckkAAectxtk（6）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名

6、师精心整理-第 3 页，共 14 页 -4 又因为)()(11txktf，联合（6）式可得：111111)(AkecktftK（7）0111kecktk00011)(kekxktk又对中心室（即体液）可建立方程组如下；021)0()()()(yytftfdttdy（8）将（2）式代入（8）式可得；)()()(21tyktfdttdy将上式转化为：)()()(12tftykdttdy因为000111)()(kekxktftk，将其代入上式可得到：000121)()()(kekxktykdttdytk（9）求解（11）式可得；tktktktkeBAecekkkxkkkecty12122221200

7、1202)(（10）（其中202kkA，120012kkkxkB，0222)0(yycBA）又酒精浓度为酒精量与体液容积之比，0)()(vtytc，即：tktkeBAectc12333)(（11）（其中023vcc，0203vkkA，0120013)(vkkkxkB，0333)0(ccCBA）。（三）模型的讨论：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -5 1、当酒是在较短时间内喝时此时有00)0(xDx，00k，00c。因为有0203vkkA，0120013)(vkkkxkB，023vcc所以经计算整理后可得：03A，012013)(vkkDkB，33Bc将

8、A3，B3，C3代入式（11）可以得到：酒在较短时间内喝下去时，体液中的酒精浓度与时间的函数关系式如下所示：333121212)()(tktktktktktkeeAeeBeBeBtc（12）（其中021013)(vkkDkBA）当 t 比较大时，显然 K1K2,因此可认为：tkAetc2)(tKAtc2ln)(ln利用数表一：时间(小时)0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 酒精含量15 34 37.5 41 41 38.5 34 34 29 25.5 25 20.5 时间(小时)6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 酒精含量19

9、17.5 14 12.5 9 7.5 6 5 3.5 3.5 2（表一）通过 Matlab 进行曲线拟合可得：5459.118A，1940.02k根据查阅资料可知：一瓶啤酒的酒精量一般为640ml，密度为 810mg/ml酒精浓度为 84.5%所以两瓶啤酒的酒精总量mgD46656%5.481064020由于体重为70kg,体重的 65%左右，体液密度为1.05mg/ml，所以可得体液的总体积为33.43310005.110%657030v毫克/百毫升。由02101)(vkkDkA可求得：114.21k。可得短时间内喝下两瓶啤酒时血液中的酒精含量与时间的关系式如下；5459.118)(114.

10、21940.0tteetc（13）用 Matlab 软件画出图形为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -6（图二：拟合曲线）2、当酒是在较长时间内喝时我们可将其进行分段讨论。当t，T0时，同样可以得到：)()()()()(2210tyktfdttdytxkkdttdx（14）但此时TDk00，x（0）=0，y（0）=0 可得：tktkeBAecty12222)(（其中 A2=20kk，120012kkkxkB，0222)0(yyCBA）根据上式可得到：tktkeBAectc12333)(名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页

11、 -7（其中023xcc，A3=020ykk，0120013)(vkkkxkB）即：)()1()()(12223313333tktktktktkeeBeAeBAeBAtc可以求得：A3=5025909.27732.4331940.0246656020020vTkDvkk B33.433)114.21940.0(246656)()(012001203vkkTDvkkk=28.0386772 所以可得 :TkTkTkTkTktkBeeeBeeBeATc212122)()1()(33当 tT时，则此时血液中的浓度与时间关系式如下：)(2)(1)(20211)()()()(TtkTtkTtkeTCee

12、vkkTxktc其中11)(110011001TkTkekkkkekkxkTx)(1)(212102020TkTkTkeekkkeykkTc综上所述，可得，当Tt时1)(1)()()()()(212121221002010)()()(0211TkTktkTkTtkTtkTtkeekkkeykkTcekkTxeTCeevkkTxktc（17）五、问题的解答问题一：假设大李第一次喝酒是在短时间内喝的，根据所建立模型，可知人体中血液中的酒精含量与时间的函数关系式如下；0)21(01)(12tktkeevkkDktc名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -8 根据求解

13、可得，114.21k，1940.02k，mgD233280，33.4330v。所以可求得，27295.59)(114.21940.0tteetc当6t时，可以求得百毫升/2778.18)(mgtc，小于国家规定的新标准，所以第一次遭遇检查时没有被认定为是饮酒驾驶，见图二图三接着，大李在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，此时大李体内还留有第一次喝后残留酒精，所以第二次体内的酒精含量，应该是二喝酒后体内酒精的叠加，此时我们认为大李是在较长时间内喝的，根据所建模型，有：)()()(1212TtkTtktktkeeAeeAtc已知，A=59.27295,k2=0.1940,k1=2.114,T=6.所以可以求出

14、当t=14 时，mlmgtc100/3618.20)(大于国家新规定的20mg/100ml,所以第二次虽然迟了二个小时，但检查出来时，酒精还是超标的，见下图：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -9 图四所以从以上分析可知，虽然大李是喝相同量的酒，且第二次检查时离喝酒时间比第一次延长了二个小时，但由于第一次喝后体内还留有第一次剩余的酒精，并且第二次是较长时间内喝的比第一次短时间内喝的达到标准所需时间要大，所以第二次会被认定是饮酒驾车，大李的这种遭遇我们可知，一个人人体内血液中的酒精含量不仅与所喝的酒量有关，而且还与喝酒所用的时间快慢及体内血液中原来的酒精含量

15、也有关。问题二（1）当酒是在较短时间内喝时，根据已建立的基本模型，可知，人体血液中的酒精含量与时间的函数关系式为：0200210112)()(vkkevkkxkcetctktk（18）因为是短时间喝，此时，00Dx，00k，所以上式可转化为：tktkevkkDkcetc1202101)()(（19）由于0)0(c，所以)()(1202101tktkeevkkDktc（20）因为喝了三瓶啤酒，则有mgD69984%5.481064030，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 14 页 -10 百毫升33.43310005.110%657030v，1915.02k，114.

16、21k。所以：81885.177)(114.21940.0tteetc当百毫升毫克/20)(tc时，可求得小时261.11t。所以当驾驶员在较短时间内喝下三瓶啤酒时，必须经过11.261 小时后开车才不会被认为是饮酒驾车。（2）当酒是在较长时间内喝时，根据模型可知，人体中血液内洒精的含量与时间的关系式为：020021012)()(vkkevkkkcetctktk且此时0)0(x，TDk00，0)0(c，所以上式可转化为：)()1()(2120210020tktktkeeTvkkDeTvkDtc因为已知mgD699800，114.21k，1940.02k，33.4330v百毫升，当百毫升毫克/2

17、0)(tc时，可以求出407.13t小时，所以当驾驶员在较长时间（如二个小时）喝下三瓶啤酒后，必须经过13.407 小时后开车才不被认为是饮酒驾车。问题三：（1）短时间内喝酒时根据所建立模型可知：)()(1202101tktkeeVKKDktc当)(tc的导数等于 0 时，可解得：23.1212ln1lnkkkkT（21）所以当23.1lnln2121kkkkTt时，)(tc取得最大值，因为T 只与 k1,k2 有关，从表达式可知当在较短时间内喝酒时浓度达到最大值的时间与喝酒量无关。（2）、当酒是在较长时间内喝时当Tt0时，)()1()(2120210020tktktkeevkkkevkktc

18、名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -11 求导得：)()()(12212021102102100220tktktktktkeevkkkkekekvkkkevkkktc由 K1大于 K2知，0)(tc体液中酒精浓度不可能在（0，T）内达到最大值。当Tt时，)(2)(1)(20211)()()()(TtkTtkTtkeTceevkkTxktc其中1)(2101011001TkTkekkkkekkxkTx当 T 比较大时，)(TX趋向于10kk，)(Tc趋向于020vkk，)(2)(1)(20211)()()()(TtkTtkTtkeTceevkkTxktc现

19、对)(tc求导得：)(0210)(02211022)()()(TtkTtkevkkkevkkkkktc可以由上式推出：)(02110)(0211012)()()(TtkTtkevkkkkevkkkktc)()()()(0211021TtkTtkeevkkkktc由 K1大于 K2知，0)(tc体液中酒精浓度不可能在tT 时达到最大值。综上所述，长时间喝酒时，血液中的酒精含量当喝酒结束时达到最大值。所以当喝酒时间是二个小时时，在第二小时时含量最高。问题四:假设天天喝酒,每次喝酒的量为均匀的,每隔 T时间喝一次酒;当喝酒 n次后,则时间t=nT,T1.23 小时.所以将根据所建的模型,可以进行 n

20、 次模型叠加,即表示为:nTknTkTknTkTkTkTnkTkTkeeeAeeeAAeAeAenTc2222222221)1()(.)(.)(2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -12 当 n时,上式可近似为TkTkeeAnTc221)(如 果 要 使 驾 驶 员,天 天 喝 酒 还 能 开 车 不 被 认 定 为 是 引 饮 酒 驾 车,则 必将 之 代 入 上 式 得.20)(nTc:A=BBvkkDk1)(0210120所以33.433)1(20)()1(201210BBkkkBBD所以可设啤酒瓶数为 a瓶7.17297297.1124683.2

21、340。综上所述,如果驾驶员想天天喝酒,天天开车的话,那么必需每天饮酒数量不超过1.7 瓶.模型的评价及推广1、所建立的模型简洁、明了，便于使用数学工具，如Matlab LINDO等，降低了编程求解的难度，缩短了运行时间，提高了工作效率。2、易于推广，模型是根据酒精在血液里的变化消耗减小规律得出了酒精在血液中的浓度变化类似药物，进入人体内起药里作用的浓度变化，所以该模型可进一步的推广到药物在人体中的浓度随时间的变化，对医学和临床的治疗，给药等提供了很好的参考价值。3、不足之处，受到的限制的条件太多，实际情况时人的主观因素影响很大。给司机朋友的忠告对于喜爱饮酒的司机朋友来说，只要在饮酒时把握住适

22、量的尺度，便不会出现饮酒驾车的尴尬场面，在现实生活中由于酒后驾车而造成的事故占总交通事故的一半以上，另据统计,我国道路交通事故死亡人数在全国总死亡人数居第七位.世界卫生组织认为,交通事故的“魁首”是酒后驾车，因此道路交通的执法人员对此很重视。为此我们建立一个数学模型，通过该模型让广大司机朋友能对自己的饮酒情况有所了解，并作出判断自己是否能够驾车。酒精在血液中的含量随时间的变化而减少，从而可以推算出当一名司机在饮酒后，经过多长时间后驾车不影响其正常驾驶，也就是当司机饮酒后血液中的酒精浓度经过t时间后，要小于 20 毫克/百毫升。当以题中的大李为例，当他在中午12 点喝酒后其身体内血液中酒精含量升

23、高，经过 6 小时，血液中的酒精大部分已排出体外，即血液中酒精含量低于20毫克/百毫升，符合新的驾车标准，但其体血液中仍存在部分酒精，当其晚上再次喝酒时，血液中的酒精浓度又一次升高，使二次进入血液中的酒精相叠加，再经过8 小时，血液中酒精浓度便高于 20 毫克/百毫升超过国家标准。第二种情况，如果该司机想天天喝酒又能正常开名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 14 页 -13 车，假设该司机每次喝酒的量都是一定的，则我们经计算可得出，只要该司机喝啤酒的总数不超过 1.7 瓶，他便可以天天喝酒，也不会影响开车。根据人体科学验证,科学家指出适量饮酒有益于身心健康!但是如果

24、饮酒过量或长期酗酒,会导致麻痹脑部神经,影响视觉,听觉,使人反应迟钝,肥肉失去控制能力,口齿不清等,酒精能破坏肝脏功能,易造成胃发炎,严重时可造成胃溃疡和十二指肠溃疡。尤其是我们的司机朋友，更要引起高度的重视与关注。下面我们就以提问的形式阐述饮酒驾车的危害。为什么不能酒后驾车？从科学理论上说，酒精在人体血液内达到一定的浓度。人对外界的反应能力及控制能力会下降，尤其是处理紧急情况的能力下降。一名驾驶员血液中酒精含量达 0.064（每 100 毫升的血液中含有64 毫克酒精）水平时，发生交通事故的机会较零点水平高3.5 倍；达 0.08 水平时，发生交通事故的机会较零点水平3.5 倍；达 0.12

25、 水平时，发生交通事故的机会较零点水平高26 倍。对于青年驾驶员而言，血液含量相同的酒精，发生交通事故的机会更高，交通安全埋下了隐患，极有可能发生交通事故，既不利于架车者自身的交通安全，也对周围的交通安全构成了威胁，因此酒后不能架车。我们结合所建立的数学模型和最新颁布的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家标准,给出下面一些特别针对车辆驾驶人员的忠告:(1)养成良好的生活习惯,经常锻炼身体,增强体质,不酗酒驾车.(2)过多地、长时间、长期地饮酒对身体的不利影响很大，使体质减弱，体内器官（特别是肝、胆囊、胃、心脏等）的破坏很大，影响器官的机能。(3)对车辆的驾驶人员,出车前应不能饮酒.(4

26、)如果你是一个天天要喝一点酒的驾驶员,喝一瓶啤酒,则你只能呆到 5.3 小时后,你血液中的酒精浓度才不会高于国家标准.(5)在你感觉身体不舒服时,不能喝酒.希望广大的司机朋友们看了这篇文章后能有所启示，正确，科学，适量的饮酒，既有益于身心健康，也有益于社会。参考文献1 杨启帆 方道元，数学建模，杭州：浙江大学出版社，1999 年；2 姜启源 谢金星，数学建模，北京：高等教育出版社，2003 年；3 李涛 贺勇军，应用数学篇，北京：电子工业出版社，2000 年。附录本程序是对图二曲线的拟合Matlab 程序：t=1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 1

27、3 14 15 16;y1=82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4;y2=log(y1);polyfit(t,y2,1);ans=名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -14 -0.1940 4.7753 短时间内喝下二瓶酒时的酒精浓度与时间关系曲线图的程序 t=0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16;y1=30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4;a=118.5459;k1=2.114;k2=0.1940;x=0:20;y=a*(exp(-k2*t)-exp(-k1*t);plot(t,y1,+,t,y,r)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -