2022年2022年集合知识点汇总与练习 .pdf

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1、1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示一 集合与元素1.集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C，表示，元素常用小写字母a、b、c，表示。2.集合中元素的属性（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。3.元素与集合的关系（1）元素 a 是集合 A中的元素，记做aA，读作“a 属于集合A”；（2）元素 a 不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a 不属于集合A”。4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的

2、排列顺序无关。二 集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做?.三 集合的表示方法1.常用数集（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0 的集合，记做N+或 N；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R 3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2 且小于等于8 的偶数构成的集合。（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合

3、的方法，一般适用于元名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 7 页 -素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。注意事项：元素间用逗号隔开；元素不能重复；元素之间不用考虑先后顺序；元素较多且有规律的集合的表示：0,1,2,3，100表示不大于100 的自然数构成的集合。（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是xI|p(x).注意事项：写清楚该集合中元素的代号；说明该集合中元素的性质；不能出现未被说明的字母；多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；所有描述的内容都要写在集合符号内；语句力求简明、准确。（4）图示法：主要包括

4、Venn 图（韦恩图）、数轴上的区间等。韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，常用于直观表示集合间的关系。4.列举法和描述法之间的相互转换（1）列举法转换为描述法：找出集合中元素的共同特征，用描述法来表示。（2）描述法转换为列举法：一般为方程的解集、特殊不等式的解集等。【随堂练一练】一 选择题1.下列每组对象可构成一个集合的是（）（A）中国漂亮的工艺品（B）与 1 非常接近的数（C）高一数学第一张的所有难题（D）不等式 2x+31 的解2.下列说法正确的是（）（A）1,2 ，2,1 是两个不同的集合（B）0 与 0表示同一个集合（C）x Q|bx?是有限集（D）x|x Q

5、且x2+x+2=0是空集 3.已知 a=3，A=x|x 2，则（）（A）a?A（B）a A（C）a=A（D）a?a4.已知集合S中含有三个元素且为ABC的三边长，那么ABC一定不是（）（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等腰三角形 5.下列各组集合中，表示同一集合的是（）（A）M=(3,2),N=(2,3)（B）M=2,3,N=3,2（C）M=(x,y)|x+y=1,N=y|x+y=1 （D）M=(3,2),N=(2,4)6.用列举法表示集合x|x2-3x+2=0为（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 7 页 -（A）(1,2)（B）(2,1)（C

6、）1,2 （D）x2-3x+2=0 7.由大于-3 且小于 11 的偶数组成的集合是（）（A）x|-3?11，x?（B）x|-3?11（C）x|-3?11，x=2k，k?（D）x|-3?4（2）5 x|x=n2+1，x?+（-1,1）y|y=x2 （-1,1）(x,y)|y=x2 三 解答题 13.已知 M=2,a,b,N=2a,a,b2,且 M=N，试求 a 和 b 的值.14.已知集合M=-2，3x2+3x-4，x2+x-4，若 2M，求 x.15.已知集合 A=x|ax2-3x+2=0.若 A是单元素集合，求a 的值及集合A.1.1.2 集合间的基本关系一 子集 1.子集定义的三种语言文

7、字语言：对于两个集合A和 B，如果集合 A中的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合 B 的子集，记作A?B（或 A?B），读作集合B含于集合 A（或集合 B包含集合 A）。符号语言：对于任意a A，都有 a B，则称集合A是集合 B 的子集。图形语言：Venn图若集合 A是集合 B 的子集，可用右图来表示两个集合之间的关系。任何一个集合是它本身的子集。B A 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 7 页 -2.集合相等如果集合A 中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A 中的元素，则称集合A等于集合B，记作 A=B。（A?B且

8、B?A?A=B）3.真子集如果集合A是集合 B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A为集合 B的真子集，记作AB或 BA（若 A?B，且 A B，则集合 A 是集合 B 的真子集）4.子集的性质A?A，即任何一个集合都是它本身的子集如果 A?B，B?A，那么 A=B 如果 A?B，B?C，那么 A?C 如果 AB，BC，那么 AC 二 空集 1.不含任何元素的集合叫做空集，记作?.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3.0、0、?与?之间的关系 00?0 0?0?三 有限集合的子集的个数 1.n个元素的集合有2n个子集 2.n个元素的集合有2n-1个真子集 3.n个元

9、素的集合有2n-1个非空子集 4.n个元素的集合有2n-2个非空真子集【随堂练一练】一 选择题 1.下列命题中，正确的有（）空集是任何集合的真子集若 AB，B C，则 AC 任何一个集合均有两个或两个以上的真子集如果凡不属于B的元素也不属于A，则 A?B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 7 页 -（A）（B）（C）（D）2.集合 M=1,2,3的真子集的个数是（）（A）6 （B）7 （C）8 （D）9 3.已知 1,2?M1,2,3,4，则符合条件的集合M的个数是（）（A）3 （B）4 （C）6 （D）8 4.已知 M=y?|?=|?|，N=x?|x=N2，则下列

10、关系中正确的是（）（A）NM（B）M=N（C）M N （D）MN 5.下列六个关系式中：a，b=b，a；a，b?b，a；?=?；0=?；?0；00，其中正确的个数是（）（A）1 （B）3 （C）4 （D）6 二 填空题 6.已知集合 2x,x2-x 有且只有 4 个子集，则实数x 的取值范围为 7.设A=x|1?2，B=x|x-a 0，若 AB，则 a 的取值范围为8.若集合 A=x2+ax+3=0为空集，则实数a 的取值范围为三 解答题 9.设集合 A=1,2,3,B=x|x?A,求集合 B.10.已知集合 A=x|x2-3x+2=0，B=x|x2-mx+m-1=0，若 B?A，求实数 m的

11、取值范围.11.设集合 A=1,a,b,B=a,a2,ab,且 A=B，求实数 a、b 的值.1.1.3 集合的基本运算一 并集 1.并集定义的三种语言文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A和 B的并集，记作A B.符号语言：A B=x|x A，或 x B图形语言：Venn图A B A A A B B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 7 页 -2.“或”的含义：有三种情况：x A 但 x?B；x B 但 x?A；x A 且 x B3.并集不是两个集合所有元素的简单拼凑，必须要满足集合元素的互异性，相同元素只能出现一次。4.并集的运算性质：A?

12、(A?B)；B?(A?B)；A?A=A；A?=A；A B=B A；(A B)?B?A?B(A B)?A?B?A二 交集1.交集定义的三种语言文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫做A和 B的交集，记作 A B.符号语言：A B=x|x A，且 x B.图形语言：Venn图2.“所有”的含义：A B中的任一元素都是A和 B的公共元素，A和 B的公共元素都属于A B.3.当 A和 B没有公共元素时，不能说A和 B没有交集，而是A B=?4.交集的运算性质：(A B)?A；(A B)?B；A A=A；A?=?；A?B=B?A；A?B=B?A?B；A?B=A?B?A三 补集1.全集：

13、如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全集，一般用字母U 表示。全集是相对的，因研究问题而异。2.补集定义的三种语言：文字语言：对于一个集合A，由全集 U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。符号语言:?u A=x|x U，且 x?A图形语言：Venn图 3.补集是相对于全集存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集。4.若x U，则 x A和x?u A二者必居其一。B A A B A U?u A名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 7 页 -5.补集运算性质：A(?u A)=U；A?u

14、A=?；?U?u A=A；?U (AB)=?u A?u B；?U (AB)=?u A?u B【随堂练一练】一 选择题 1.已知集合 A=x|(x-1)?(x+2)=0，集合 B=x|(x+2)?(x-3)=0，则集合 A B是（）（A）-1,2,3 （B）-1,-2,3 （C）1,-2,3 （D）1,-2,-3 2.设集合 M=m?|-3?2,N=n?|-1 n 3，则 M N=()（A）0,1 （B）-1,0,1 （C）0,1,2 （D）-1,0,1,2 3.若集合 A=1,3,x,B=1,x2,A B=1,3,x，则满足条件的实数x 有（）（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个4

15、.已知集合 M=y|y=x2+1，x?，N=y|y=x+1，x?，则 M N等于（）（A）(0,1),(1,2)（B）(0,1),(1,2)（C）y|y=1或 y=2 （D）y|y 1 5.已知全集U=2,5,8，且?U A=2,则集合 A的真子集的个数为（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 6.已知全集U=2,3,5，集合 A=2，|a-5|，若?U A=3，则 a 的值为（）（A）0 （B）10 （C）0 或 10 （D）0 或-10 二 填空题 1.设集合 A=1,2，则满足 A B=1,2,3的集合 B的个数为2.设集合 A=(x,y)|x+2y=7,集合 B=(x,y)|x-y

16、=-1，则 A B=3.已知(1,2)A B，A=(x,y)|y2=ax+b，B=(x,y)|x2-ax-b=0，则 a=，b=4.已知集合U=1,2,3,4,5，A=2,3,4，B=4,5，则 A?U B=三 解答题 1.设全集 U=R，集合 A=x|x 2，集合 B=x|x -3，或 x 1，求 A B,A B,?R A,?R B 2.设集合 A=x|-2?1，集合 B=x|x2+ax+b 0，已知 A B=x|x -2，A B=x|1?3，试求 a，b 的值.3.已知 A=0,1,2，?U A=-3，-2，-1，?U B=-3，-2,0，用列举法写出集合B.4.设全集 I=2,3，x2+2x-3，A=5，?I A=2,y，求 x，y 的值.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 7 页 -