2022年《高等数学》各章知识点总结第章 .pdf
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1、第 9 章多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续1、n维空间2R为二元数组),(yx的全体,称为二维空间。3R为三元数组),(zyx的全体,称为三维空间。nR为n元数组),(21nxxx的全体,称为n维空间。n维空间中两点1212(,),(,)nnP x xxQ yyy间的距离:2221122|()()()nnPQyxyxyx邻域:设0P是nR的一个点,是某一正数,与点0P距离小于的点P的全体称为点0P的邻域,记为),(0PU,即00(,)R|nU PPPP空 心 邻 域:0P的邻 域 去 掉 中 心 点0P就 成 为0P的空 心 邻 域,记 为0(,)U P=00|PPP。内点与
2、边界点:设E为n维空间中的点集,nPR是一个点。如果存在点P的某个邻域),(PU,使得EPU),(,则称点P为集合E的内点。如果点P的任何邻域内都既有属于E的点又有不属于E的点,则称P为集合E的边界点,E的边界点的全体称为E的边界聚点:设E为n维空间中的点集,nPR是一个点。如果点P的任何空心邻域内都包含E中的无穷多个点,则称P为集合E的聚点。开集与闭集:若点集E的点都是内点,则称E是开集。设点集nER,如果E的补集nER是开集,则称E为闭集。区域与闭区域:设D为开集,如果对于D内任意两点,都可以用D内的折线(其上的点都属于D)连接起来,则称开集D是连通 的连通的开集称为区域 或开区域 开区域
3、与其边界的并集称为 闭区域 有界集与无界集:对于点集E,若存在0M,使得(,)EU O M,即E中所有点到原点的距离都不超过M,则称点集E为有界集,否则称为无界集如果D是区域而且有界,则称D为有界区域 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页,共 5 页 -有界闭区域的直径:设D是nR中的有界闭区域,则称1212,()max|P PDd DPP为D的直径。二、多元函数n元函数就是nR的一个子集D到R的一个函数,即对任意的PD,都存在唯一的yR,使得()yf P。习惯上,我们用()yf x表示一元函数,用),(yxfz表示二元函数,用(,)wfx y z表示三元函数.一般用(),
4、Rnyf PP或12(,)nyf x xx表示n元函数三、多元函数的极限设多元函数)(Pfz在D有定义,0P是D的一个聚点,A为常数。如果对任意给定的0,都存在0,当00(,)PDPU时,有()f PA则 称A为P趋 于0P时 函 数)(Pfz在D上 的 极 限,记 为0PPlim(P)fA或0(P),(PP)fA。四、多元函数的连续性设多元函数)(Pfz在D有定义,0P是D的一个聚点。如果00PPlim(P)(P)ff,则称)(Pfz在0P点连续。如果)(Pfz在区域D上各点都连续,就称)(Pfz在D上连续如果函数)(Pfz在 点0P处不连续,则称函数)(Pfz在点0P处间断,也称0P是函数
5、),(yxfz的间断点。五、偏导数设二元函数),(yxfz,),(000yxP为平面上一点。如果0(,)zf x y在0 x的某一邻域内有定义且在0 x点可导,即极限000000(,)(,)limlimxxf xx yf xyzxx存在,则称),(yxfz在点),(000yxP处对x可偏导,称此极限值为函数),(yxfz在点),(000yxP处对x的偏导数,记为000000(,)(,)(,),xxyxyxyzfzxx或00(,)xfxy六、高阶偏导数2222xxzfffxxxx,22xyzfffx yx yyx,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页,共 5 页 -22yxz
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