2022年2022年解析函数与调和函数的关系 .pdf

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1、工程数学 II课程教案授课时间：第周周第节课时安排课次_ 授课方式（请打）：理论课讨论课实验课习题课综合课其他授课题目（教学章、节或主题）：3.7 解析函数与调和函数的关系教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1理解调和函数与解析函数的关系教学重点及难点：重点：调和函数与解析函数的关系难点：调和函数与解析函数的关系教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：3.7 解析函数与调和函数的关系一、调和函数的定义定义(,)x yD如 果 二 元 实 变 函 数在 区 域内 具,有 二 阶 连 续 偏 导 数并 且 满 足拉 普 拉 斯 方 程22220,xy(,).x yD那 末 称为 区 域内

2、 的 调 和 函 数调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.二、解析函数与调和函数的关系定理任何在区域D 内解析的函数,它的实部和虚部都是D 内的调和函数.证(),wfzui vD设为内 的 一 个 解 析 函 数,.uvuvxyyx那 末222222,.uvuvxy xyx y从 而根据解析函数高阶导数定理,uv与具 有 任 意 阶 的 连 续偏 导 数22,vvy xx y从 而22220,uuxy22220,vvxy同 理.uv因 此与都 是 调 和 函 数证毕 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -2.共轭调和函数的定义(,),u x

3、 yD设为 区 域内 给 定 的 调 和 函 数我uiv们 把 使(,)(,).Dv x yu x y在内 构 成 解 析 函 数 的 调 和 函 数称 为的 共 轭 调 和 函 数换 句 话,说,uvuvDxyyx在内 满 足 方 程,的 两 个 调 和 函 数 中 vu称 为的 共轭.调 和 函 数区域 D 内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.3.偏积分法如果已知一个调和函数u,那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi.这种方法称为偏积分法.例 1 32(,)3,u x yyx y证 明为 调 和 函 数并 求(,)v x y其 共 轭 调 和 函

4、 数和.由 它 们 构 成 的 解 析 函 数解6,uxyx因 为226,uyx2233,uyxy226,uyy于 是22220,uuxy(,).u x y故为 调 和 函 数6,vuxyyx因 为6dvxy y23(),xygx23(),vygxxvuxy又 因 为2233,yx23()ygx2233,yx()c 为 任 意 常 数2()3dgxxx故3,xc32(,)3,v x yxxyc得一个解析函数32323(3).wyx yi xxyc这个函数可以化为3()().wfzi zc课堂练习3223(,)632,.uxyxxyx yy证 明为 调 和 函 数并 求 其 共 轭 调 和 函

5、数答案2233(,)362.vxyxyx yyxc()c 为 任 意 常 数。例 2(,)(c o ss i n)xvxyeyyxyxy已 知为 调,和 函 数求 一 解析 函 数(),(0)0fzuivf使名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -解(cossinsin)1,xveyyxyyx(cossincos)1,xveyyyxyyuvxy由(cossincos)1,xeyyyxy得(cossincos)1dxueyyyxyx(cossin)(),xexyyyxgy,vuxy由得(cossinsin)1xeyyxyy(sincossin)(),xexyyyy

6、gy(),gyyc故(cossin),xuexyyyxyc于 是()fzuiv(1)(1)xiyxiyxe eiye exiiyic(1),zzei zc(0)0,f由0,c得所求解析函数为()(1).zfzzei z4.不定积分法(,)(,),u x yv x y已 知 调 和 函 数或用 不 定 积 分 求 解 析 函 数 的 方 法 称 为 不 定 积.分 法不定积分法的实施过程:()(),fzuivfz解 析 函 数的 导 数仍 为 解 析 函 数且()xxfzuivxyuiuyxviv,xyyxuiuvivz把与用来 表 示()(),xyfzuiuUz()(),yxfzvivVz将上

7、两式积分,得()()d,fzUzzc()()d,fzVzzc(),ufz适 用 于 已 知 实 部求(),vfz适 用 于 已 知 虚 部求例 3 22,.,()kuxkyvfzuiv求值使为 调 和 函 数再 求使为 解 析 函,数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -()1().fifz并 求的解2,uxx因 为222,ux2,ukyy222,uky根 据 调 和 函 数 的 定 义 可 得1,k因 为()()xyfzUzuiu22xkyi22xkyi22xyi2,z()2 dfzz z根 据 不 定 积 分 法2,zc()1,f i由0,c得所求解析函数

8、为222()2.fzxyxyiz例 4 用不定积分法求解例1 中的解析函数()fz32(,)3.u xyyx y实 部解()()xyfzUzuiu223(2)i xxyiy23,iz2()3dfzizz31,izc(),fz因 为的 实 部 为 已 知 函 数不 可 能 包 含,实 的 任 意 常 数所 以1c常 数为)任 意 纯 虚 数，故3()().fzi zc()c 为 任 意 实 常 数例 5 用不定积分法求解例2 中的解析函数()fz虚 部(,)(c o ss i n)xvxyeyyxyxy解()()yxfzVzviv(c o ss i nc o s)xeyyyxy(cossinsi

9、n)1xi eyyxyy(cossin)()sin()cos1xxxeyiyi xiy eyxiyeyi(cossin)()cossin1xxeyiyxiy eyiyi()1xiyxiyexiyei1,zzezei()()dfzVzz(1)dzzezeiz(1).zzei zc()c 为 任 意 实 常 数例 6 22()(4)2(),().uvxyxxyyxyfzuiv已 知试 确 定 解 析 函 数解两边同时求导数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -22(4)()(24)2,xxuvxxyyxyxy22(4)()(42)2,yyuvxxyyxyxy,uvuvxyyx且所以上面两式分别相加减可得22332,yvxy6,xvxy()yxfzviv223326xyxyi232,z2()(32)dfzzz32.zzc()c 为 任意 实 常 数作业和思考题：第三章习题23；302)课后小结：本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应注意的是:1.任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数.2.满足柯西黎曼方程ux=vy,vx=uy,的v称为u的共轭调和函数,u与v注意的是地位不能颠倒.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -