2022年上海高考试题汇编-数列 .pdf

《2022年上海高考试题汇编-数列 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年上海高考试题汇编-数列 .pdf（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数列知识点 1、等差数列的性质（2018 秋 6）记等差数列na的前n项和为nS，若30a，6714aa，则7S答案：14（2018 春 5）已知 na是等差数列，若2810aa，则357aaa_答案：1知识点 2：等差数列的判定（2017 秋 15）已知数列*2,Nncbnanxn，使得100200300,kkkxxx成等差数列的必要条件是（）A.0a B.0b C.0c D.02cba答案：A 知识点 3：等差数列的递推关系式（2013 年文 22）已知函数，无穷数列满足，（1）若，求；（2）若，且成等比数列，求的值；（3）是否存在，使得12,naaaLL成等差数列？若存在，求出所有这样的

2、1a；若不存在，说明理由解：（1）22a，30a，42a（2）21122aaa，321222aaa 当102a时，31122aaa，所以22112aa，得11a 当12a时，311224aaa，所以211142aaa，得122a（舍去）或122a综合 得11a或122a（3）假设这样的等差数列存在，那么212aa，3122aa由2132aaa得111222aaa（）以下分情况讨论：()2f xxna1()nnaf a*nN10a234,a a a10a123,a a a1a1a名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 15 页 -当12a时，由（）得10a，与12a矛盾；当

3、102a时，由（）得11a，从而1na1,2,nL，所以na是一个等差数列；当10a时，则公差2111220daaaa，因此存在2m使得1212maam此时120mmmmdaaaa，矛盾综合 可知，当且仅当11a时，123,aaa L构成等差数列（2013 理 23）给定常数，定义函数数列123,aaaL满足，（1）若，求及；（2）求证：对任意，；（3）是否存在，使得12,naaaLL成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由解：（1）232,10aac（2）8,33+8,8,xcf xxcxc,4,4.xccxcxc当nac时，18nnaacc；当4ncac时，12382438n

4、nnaaacccc；当4nac时，128248nnnaaacccc0c()24f xxcxc1()nnaf a*nN12ac2a3a*nN1nnaac1a1a名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 15 页 -所以，对任意nN，1nnaac方法二：要证：24xcxcxc24xcxcxc当0 xc时，等式右边为0，不等式显然成立当0 xc时，等式化为242xcxc 显然（3）由（2），结合0c得1nnaa，即na为无穷递增数列又na为等差数列，所以存在正数M，当nM时，nac，从而，1()8nnnaf aac由于na为等差数列，因此其公差8dc 若14ac，则211()8a

5、faac，又2118aadac，故1188acac，即18ac，从而20a当2n时，由于na为递增数列，故20naac，所以，1()8nnnaf aac，而218aac，故当18ac时，na为无穷等差数列，符合要求；若14cac，则211()338af aac，又2118aadac，所以，113388acac，得1ac，舍去；若1ac，则由1naa得到1()8nnnaf aac，从而na为无穷等差数列，符合要求综上，1a的取值集合为,8ccU名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 15 页 -知识点 4：等比数列的性质（2015 理 17）记方程 ：2110 xa x，方

6、程 ：2220 xa x，方程 ：2340 xa x，其中123,aaa是正实数当123,aaa成等比数列时，下列选项中，能推出方程 无实根的是（）A方程 有实根，且 有实根B方程 有实根，且 无实根C方程 无实根，且 有实根D方程 无实根，且 无实根答案：B知识点 5：等比数列的判定（2011 理 18）设na是 各项 为 正数 的 无穷 数 列，iA是 边 长 为1,iiaa的 矩形面 积（1,2,iL），则nA为等比数列的充要条件为（）A na是等比数列B 1321,naaaLL或242,naaaLL是等比数列C 1321,naaaLL和242,naaaLL均是等比数列D 1321,na

7、aaLL和242,naaaLL均是等比数列，且公比相同答案：D 知识点 6：等差数列与等比数列综合（2016文22）对 于 无 穷 数 列na与 nb，记*|,nAx xa nN，*|,nBx xb nN，若同时满足条件：na，nb均单调递增；ABI且*ABNU，则称na与 nb是无穷互补数列（1）若21nan，42nbn，判断 na与nb是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若2nna且 na与nb是无穷互补数列，求数列nb的前 16 项的和；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 15 页 -（3）若na与 nb是无穷互补数列，na为等差数列，且1636a，求na与

8、nb的通项公式【解】（1）因为 4,4AB，所以4ABU，从而 na与nb不是无穷互补数列（2）因为416a，所以416 420b数列 nb的前16项的和为：2345120(1220)(2222)20(22)1802L（3）设na的公差为,d dN，则1611536aad由136 151ad，得1d或2若1d，则121a，20nan，与“na与 nb是无穷互补数列”矛盾；若2d，则16a，24nan，,525,5nnnbnn综上，24nan，,525,5nnnbnn（2014 年理 23）已知数列满足1133nnnaaa，*nN，11a（1）若2342,9aax a，求x的取值范围；（2）设n

9、a是公比为q的等比数列，12nnSaaaL 若1133nnnSSS，*nN，求q的取值范围；（3）若12,kaaaL成等差数列，且121000kaaaL，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列12,kaaaL的公差解：（1）由条件得263x且933xx，解得36x 所以x的取值范围是3,6x（2）由133nnaa，且110nnaaq，得0na，所以113nnSS又1133nnnaaa，所以133q当1q时，nSn，11nSn，由13nn得13nnSS成立当1q时，13nnSS即111311nnqqqq na名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 15 页 -若 13

10、q，则(3)2nqq由nqq，nN，得(3)2qq，所以 12q 若113q，则(3)2nqq由nqq，nN，得(3)2qq，所以113q综上，q的取值范围为1,23（3）设12,kaaaL的公差为d由1133nnnaaa，且11a，得11(1)131(1)3ndndnd，1,2,1nkL即(21)2,(23)2,ndnd1,2,1nkL当1n时，223d；当2,1nkL时，由222123nn，得221dn，所以22213dk所以111210002221k kk kkadkk，即2200010000kk，得1999k所以k的最大值为1999，1999k时，12,kaaaL的公差为11999（2

11、014 文 23）已知数列na满足1113,13nnnaaanNa（1）若1342,9aax a，求x的取值范围；（2）设na是等比数列，且11000ma，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应na的公比；（3）若12100,a aaL成等差数列，求数列12100,a aaL的公差的取值范围解：（1）由条件得263x且933xx，解得36x 所以x的取值范围是3,6x（2）设 na的公比为q由133nnaa，且110nnaaq，得0na因为1133nnnaaa，所以133q从而111111()10003mmma qq，131000m，解得8m8m时，711,310003q所以，m的最小值为8

12、，8m时，na的公比为741010名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 15 页 -（3）设 数 列12100,aaaL的 公 差 为d 由133nnnaada，223nnada，1,2,99nL 当0d时，999821aaaaL，所以102da，即02d 当0d时，999821aaaaL，符合条件 当0d时，999821aaaaL，所以9999223ada，2(198)2(198)3ddd，又0d，所以20199d综上，12100,a aaL的公差的取值范围为2,2199知识点 7：数列的递推关系式与函数（2012 文 14）已知，各项均为正数的数列满足，若，则的值是

13、答案：解：由，得，由，得，依次类推，得全体偶数项相等，所以（2017 春 21）已知函数21log1xfxx（1）解方程1f x；（2）设1,1,1,xa证明：11,1axax，且11axffxfaxa；1()1f xxna11a2()nnaf a20102012aa2011aa26513311a2()nnaf a312a579112358,35813aaaa2()nnaf a211nnaa20102012aa2010201220101111aaa2010512a20082010201011aaa22010aa2011851313 513226aa名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-

14、第 7 页，共 15 页 -（3）在数列nx中，11,1x，113113nnnnxxx，nN，求1x的取值范围，使得3nxx对任意 nN成立答案：（1）13x；（3）11,3；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 15 页 -知识点 8：数列的前n项和（2016 理 11）无穷数列na由 k 个不同的数组成，nS为na的前 n 项和.若对任意Nn，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 15 页 -3,2nS，则 k 的最大值为 _.答案：4知识点 9：数列的单调性和最值（2018 春 15）记nS 为数列na的前n项和“na是递增数列”是“nS

15、为递增数列”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件答案：D（2015 理 22 文 23）已知数列 an与bn满足 an+1an=2（bn+1bn），n N*（1）若 bn=3n+5，且 a1=1，求数列 an的通项公式；（2）设 an的第0n项是最大项，即0nnaa（n N*），求证：数列 bn的第0n项是最大项；（3）设 a1=0，bn=n（n N*），求 的取值范围，使得an有最大值M 与最小值m，且2,2Mm答案：（1）65n；（3）1,02知识点 10：数列的周期性（2016 年理 23）若无穷数列na满足：只要*(,)pqaap qN

16、，必有11pqaa，则称na具有性质P.（1）若na具有性质P，且12451,2,3,2aaaa，67821aaa，求3a；（2）若无穷数列nb是等差数列，无穷数列 nc是公比为正数的等比数列，151bc，5181bc，nnnabc判断na是否具有性质P，并说明理由；（3）设nb是无穷数列，已知*1sin()nnnaba nN.求证：“对任意1,na a都具有性质P”的充要条件为“nb是常数列”.答案：（1）316a；（2）由于15aa，但26aa，故na不具有性质P；（3）证明：必要性：若对于任意1a，na都具有性质P，则211sinaba，设函数1,sin,fxxb g xx由,fxg x

17、图像可得，对于 任意的1b，二者图像必有一个交点，所以一定能 找到1a，使得111sinaba，所以2111sinabaa，所以1nnaa，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 15 页 -故1211sinsinnnnnnnbaaaab，故nb是常数列知识点 11：数列的极限（2013 理 1）计算：20lim313nnn答案：13（2018 秋 10）设等比数列na的通项公式为1nnaq（*nN），前n项和为nS，若11lim2nnnSa，则q答案：3（2017 年春8）已知数列na的通项公式为3nna，则12limnnnaaaaL_答案：32（2015 理 18

18、文 18）设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（）A、B、C、D、解：当时，直线趋近于，与圆在第一象限的交点无限靠近，而可看成点与连线的斜率，其值会无限接近圆在点处的切线的斜率，其斜率为，（2013 文 18）记椭圆221441xnyn围成的区域（含边界）为(1,2,)nnL，当点(,)x y分别在12,L上时，xy的最大值分别是12,MML，则limnnM（）,nnnPxy2N1nxynn222xy1lim1nnnyx11212n21nxyn21xy221xy1,111nnyx,nnnPxy1,1222xy1,111lim11nnnyx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11

19、页，共 15 页 -A 0 B14C 2 D22答案：D知识点 12：无穷等比数列各项的和（2016 理 17）已知无穷等比数列na的公比为q，前 n 项和为nS，且SSnnlim.下列条件中，使得NnSSn2恒成立的是（）（A）7.06.0,01qa（B）6.07.0,01qa（C）8.07.0,01qa（D）7.08.0,01qa答案：B思考：1,a q需要满足 _ 答案：1210,00,22aqU（2014 理 8 文 10）设无穷等比数列na的公比为q，若134limnnaaaaL，则q_ 答案：512知识点 13：数列与函数的性质结合（2009文13）已 知 函 数 项 数 为27的

20、 等 差 数 列满 足且 公 差若，则 当=时答案：14知识点 14：数列与三角函数结合（2015 理 13）已知函数sinfxx若存在12,mx xxL满足1206mxxxL，且12231122,mmfxfxfxfxfxfxmmNL，则m的最小值为答案：8（2012 文 18）若（），则在中，正数的个数是（）xxxftansin)(na22，na0d0)()()(2721afafafk0)(kaf2sinsin.sin777nnSnN12100,.,S SS名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 15 页 -A16 B72 C86 D100答案；C（2012 理 18

21、）设，在中，正数的个数是（）A25 B50 C75 D100答案：D知识点 15：数列与矩阵结合（2013 理 17）在数列na中，21nna若一个7 行 12 列的矩阵的第i行第j列的元素,i jijijca aaa（1,2,7iL；1,2,12jL），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）A18 B 28 C 48 D 63答案：A知识点 16：数列与不等式结合（2018 秋 21）给定无穷数列na，若无穷数列nb满足：对任意*nN，都有|1nnba，则称nb与na“接近”.（1）设na是首项为 1，公比为12的等比数列，11nnba，*nN，判断数列nb是否与na接近，并说明理由；（2

22、）设数列na的前四项为：11a，22a，34a，48a，nb是一个与na接近的数列，记集合|,1,2,3,4iMx xb i，求M中元素的个数m；（3）已知na是公差为d的等差数列，若存在数列nb满足：nb与na接近，且在21bb，32bb，201200bb中至少有100 个为正数，求d的取值范围.解析：（1）1112nnnba，所以nb与na“接近”；（2）10,2b，21,3b，33,5b，47,9b，|,1,2,3,4iMx xb i元素个数34m或；（3）2d时，10,1,2,200kkbbkL，即21bb，32bb，201200bb中没有正数；当2d时，存在12201,b bbL使得

23、210bb，320bb，430bb，540bb，2001990bb，2012000bb，即有 100 个正数，故2d25sin1nnannnaaaS2110021,SSS名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 15 页 -（2018 春 21）若 nc是递增数列，数列na满足：对任意*nN，存在*mN，使得10mnmnacac，则称 na是nc的“分隔数列”（1）设2ncn，1nan，证明：数列 na是nc的“分隔数列”；（2）设4ncn，nS是nc的前n项和，31nndc，判断数列nS是否是数列 nd的分隔数列，并说明理由；（3）设1nncaq，nT是 nc的前n项和，若数列 nT是nc的分隔数列，求实数aq、的取值范围答案：（2）不是，反例：4n时，m无解；（3）02aq知识点 17：数列应用题（2017 秋 19）共享单车问题：每月供应量),4470103,11554nnnnan，*Nn，每月损失量*5Nnnbn，保有量 Q 为na的累计量减去nb的累计和；（1）求第 4 月的保有量；（2）2(46)8800nSn，记nS为自行车停放点容纳车辆，当Q 取最大值时，停放点是否能容纳？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 15 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 15 页 -