2022年概率论与数理统计数学实验 .pdf

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1、.概率论与数理统计数学实验目录实验一几个重要的概率分布的MATLAB 实现 p2-3 实验二数据的统计描述和分析 p4-8 实验三参数估计 p9-11 实验四假设检验 p12-14 实验五方差分析 p15-17 实验六回归分析 p18-27名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 27 页 -.实验一几个重要的概率分布的MATLAB 实现实验目的(1)学习 MATLAB 软件与概率有关的各种计算方法(2)会用 MATLAB 软件生成几种常见分布的随机数(3)通过实验加深对概率密度，分布函数和分位数的理解Matlab 统计工具箱中提供了约20种概率分布，对每一种分布提供了5种

2、运算功能，下表给出了常见 8种分布对应的Matlab 命令字符，表2给出了每一种运算功能所对应的Matlab 命令字符。当需要某一分布的某类运算功能时，将分布字符与功能字符连接起来，就得到所要的命令。分布均匀指数正态2分布t 分布F分布二项泊松字符unif exp norm chi2 t f bino poiss 功能概率密度分布函数逆概率密度均值与方差随机数生成字符pdf cdf inv stat rnd 例1 求正态分布2,1N，在 x=1.2 处的概率密度。解：在 MATLAB 命令窗口中输入：normpdf(1.2,-1,2)结果为：0.1089 例2 求泊松分布3P，在 k=5，6，

3、7处的概率。解：在 MATLAB 命令窗口中输入：poisspdf(5 6 7,3)结果为：0.1008 0.0504 0.0216 例3 设X服从均匀分布3,1U，计算22 5PX.。解：在 MATLAB 命令窗口中输入：unifcdf(2.5,1,3)-unifcdf(-2,1,3)结果为：0.75000 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 27 页 -.例4 求概率995.0的正态分布2,1N的分位数X。解：在 MATLAB 命令窗口中输入：norminv(0.995,1,2)结果为：6.1517 例5 求t 分布10t的期望和方差。解：在 MATLAB 命令窗

4、口中输入：m,v=tstat(10)m=0 v=1.2500 例6 生成一个 2*3 阶正态分布的随机矩阵。其中，第一行3个数分别服从均值为1，2，3；第二行 3个数分别服从均值为4，5，6，且标准差均为0.1 的正态分布。解：在 MATLAB 命令窗口中输入：A=normrnd(1 2 3;4 5 6,0.1,2,3)A=1.1189 2.0327 2.9813 3.9962 5.0175 6.0726 例7 生成一个 2*3 阶服从均匀分布3,1U的随机矩阵。解：在 MATLAB 命令窗口中输入：B=unifrnd(1,3,2,3)B=1.8205 1.1158 2.6263 2.7873

5、 1.7057 1.0197 注：对于标准正态分布，可用命令randn(m,n);对于均匀分布1,0U,可用命令 rand(m,n)。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 27 页 -.实验二数据的统计描述和分析实验目的(1)学习 MATLAB 软件关于统计作图的基本操作(2)会用 MATLAB 软件计算计算几种常用统计量的值(3)通过实验加深对均值、方差、中位数等常用统计量的理解1.频数表和直方图一组数据（样本观察值）虽然包含了总体的信息,但往往是杂乱无章的，作出它的频数表和直方图，可以看作是对这组数据的一个初步整理和直观描述。将数据的取值范围划分为若干个区间，然后统

6、计这组数据在每个区间中出现的次数，称为频数，由此得到一个频数表。以数据的取值为横坐标，频数为纵坐标，画出一个阶梯形的图，称为直方图，或频数分布图。2 经验累计分布函数图设nxxx,21是总体X的一个容量为n的样本观察值。将nxxx,21按自小到大的次序排列，并重新编号，设为nxxx21记nkknxxnkxxxnkxxxF,11,2,1,011则称xFn为总体X的经验累积分布函数，它的图像即为经验累计分布函数图。3 几种常用的统计量（1）算术平均值和中位数算术平均值（简称均值），niiXnX11，中位数是将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值。（2）标准差、方差名师资料总结-精品资料欢迎下载

7、-名师精心整理-第 4 页，共 27 页 -.标准差:211211niiXXns,它是各个数据与均值偏离程度的度量。方差是标准差的平方,记为2s。（3）偏度和峰度表示数据分布形状的统计量有偏度和峰度。偏度：niiXXsg13311反映数据分布对称性的指标，当01g时，称为右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的多；当01g时称为左偏态，情况相反；而1g接近 0时，则可认为分布是对称的。峰度：niiXXsg14421),是数据分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为3，若2g比3大得多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数据，因而峰度可以用作衡量偏离正态分布的尺度之一。将样本的观

8、测值nxxx,21代入以上各式后，即可求得对应统计量的观测值。4 MATLAB 实现下面我们列出用于数据的统计描述和分析的常用MATLAB 命令。其中，x为原始数据行向量。（1）用 hist 命令实现作频数表及直方图，其用法是：n,y=hist(x,k)返回 x的频数表。它将区间 min(x),max(x)等分为 k份（缺省时 k设定为 10），n返回 k个小区间的频数，y返回 k个小区间的中点。hist(x,k)返回 x的直方图。（2）用 cdfplot命令作累积分布函数图，其用法是：h,stats=cdfplot(x)在返回 x的累积分布函数图的同时，在stats 中给出样本的一些特征：样

9、本最小值、最大值、平均值、中位数和标准差。cdfplot(x,k)则直接返回 x的累积分布函数图。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 27 页 -.（3）算术平均值和中位数Matlab 中mean(x)返回 x的均值，median(x)返回中位数。（4）标准差、方差和极差极差是nxxx,21的最大值与最小值之差。Matlab 中std(x)返回 x的标准差，var(x)返回方差，range(x)返回极差。（4）偏度和峰度Matlab 中skewness(x)返回 x的偏度，kurtosis(x)返回峰度。例1 某学校随机抽取100名学生，测量他们的身高，所得数据如下表

10、172 169 169 171 167 178 177 170 167 169 171 168 165 169 168 173 170 160 179 172 166 168 164 170 165 163 173 165 176 162 160 175 173 172 168 165 172 177 182 175 155 176 172 169 176 170 170 169 186 174 173 168 169 167 170 163 172 176 166 167 166 161 173 175 158 172 177 177 169 166 170 169 173 164 165

11、182 176 172 173 174 167 171 166 166 172 171 175 165 169 168 173 178 163 169 169 177 184 166 171 170 解：在 MATLAB 命令窗口中输入：X=172 169 169 171 167 178 177 170 167 169 171 168 165 169 168 173 170 160 179 172 166 168 164 170 165 163 173 165 176 162 160 175 173 172 168 165 172 177 182 175 155 176 172 169 176

12、 170 170 169 186 174 173 168 169 167 170 163 172 176 166 167 166 161 173 175 158 172 177 177 169 166 170 169 173 164 165 182 176 172 173 174 167 171 166 166 172 171 175 165 169 168 173 178 163 169 169 177 184 166 171 170;n,y=hist(X)n=2 3 6 18 26 22 11 8 2 2 y=156.5500 159.6500 162.7500 165.8500 168.

13、9500 172.0500 175.1500 178.2500 181.3500 184.4500 hist(X)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 27 页 -.155160165170175180185190051015202530直方图x1=mean(X)x1=170.2500 x2=median(X)x2=170 x3=range(X)x3=31 x4=std(X)x4=5.4018 x5=skewness(X)x5=0.1545 x6=kurtosis(X)x6=3.5573 例2 产生 50个服从标准正态分布的随机数，指出它们的分布特征，并画出经验累积分布

14、函数图解：在 MATLAB 命令窗口中输入：x=normrnd(0,1,1,50);h,stats=cdfplot(x)h=171.0016 stats=min:-2.9443 max:3.5784 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 27 页 -.mean:0.2840 median:0.3222 std:1.2625-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.80.91xF(x)Empirical CDF经验累积分布函数图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 27 页 -.实验三参数估计实验目的(1)学习 MATL

15、AB 软件关于参数估计的有关操作命令(2)会用 MATLAB 软件求参数的点估计和置信区间(3)通过实验加深对参数估计基本概念和基本思想的理解1 参数估计的方法利用样本对总体进行统计推断的一类问题是参数估计，即假定总体的概率分布类型已知，由样本估计参数的分布。参数估计的方法主要有点估计和区间估计两种。2 参数估计的Matlab 实现在Matlab 统计工具箱中，有专门计算总体均值、标准差的点估计和区间估计的函数。对于正态总体，命令是mu,sigma,muci,sigmaci=normfit(x,alpha)其中 x 为样本（数组或矩阵），alpha 为显著性水平（alpha 缺省时设定为 0.

16、05），返回总体均值和标准差的点估计 mu 和sigma，及总体均值和标准差的区间估计 muci和sigmaci。当 x为矩阵时返回行向量。此外，Matlab 统计工具箱中还提供了一些具有特定分布总体的区间估计的命令，如expfit，poissfit，分别用于指数分布和泊松分布的区间估计，具体用法可参见MATLAB 的帮助系统。例1 已知某种木材横纹抗压力的实验值),(2NX，对 10个试件做横纹抗压力的试验数据如下：482,493,457,471,510,446,435,418,394,496(单位：公斤/平方厘米)，试以 95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的置信区间:(1)2未知；(

17、2)2230。解:(1)2未知时，可直接使用normfit命令名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 27 页 -.在MATLAB 命令窗口中输入：x=482,493,457,471,510,446,435,418,394,496;mu sigma muci sigmaci=normfit(x)mu=460.2 sigma=37.1776515904082 muci=433.60471018703 486.79528981297 sigmaci=25.5720976681307 67.8718993056142 2未知时，平均横纹抗压力的估计值为 460.2，其置信度为0

18、.95 的置信区间为433.6，486.8。（2）2已知时，的置信度为 0.95 的置信区间为1212xu,xunn。在MATLAB 命令窗口中输入：x=482,493,457,471,510,446,435,418,394,496;muci=mean(x)-norminv(0.975)*30/sqrt(10),mean(x)+norminv(0.975)*30/sqrt(10)muci=441.606149030863 478.793850969137 2已知时，平均横纹抗压力的置信度为 0.95 的置信区间为 441.6，478.8。同（1）比较可得，在置信水平相同的条件下，利用方差得到的

19、置信区间的长度要小于忽略方差得到的置信区间长度。例2 某厂生产的瓶装运动饮料的体积假定服从正态分布，抽取10瓶，测得体积（毫升）为595,602,610,585,618,615,605,620,600,606。求出方差的置信度为0.90 的置信区间。解:在MATLAB 命令窗口中输入：x=595,602,610,585,618,615,605,620,600,606;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 27 页 -.mu sigma muci sigmaci=normfit(x,0.1)mu=605.6 sigma=10.8032916794425 muci=599

20、.337534833741 611.862465166259 sigmaci=7.8793483042824 17.773549266492 sigma2 ans=116.711111111111 sigmaci.2 ans=62.084129700198 315.89905352842 即2的估计值为 116.7，其置信度为0.9 的置信区间为62.08，315.9。例3 某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量，假设它服从以0为参数的泊松分布，参数未知。现有以下样本值：着火次数 k 0 1 2 3 4 5 6 发生着火的天数75 90 54 22 6 2 1 试求的极大似然估

21、计值和置信水平为95%的置信区间。解:在MATLAB 命令窗口中输入：x=75,90,54,22,6,2,1;lamda,lamdaci=poissfit(x)lamda=35.7142857142857 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 27 页 -.lamdaci=31.2871783406817 40.1413930878897 即的极大似然估计值为35.71，其置信水平为95%的置信区间为31.29，40.14。实验四假设检验实验目的(1)学习 MATLAB 软件关于假设检验的有关操作命令(2)会用 MATLAB 软件求单个正态总体和双正态总体的假设检验问

22、题(3)会用 MATLAB 软件判断总体是否服从正态分布(4)通过实验加深对假设检验基本概念和基本思想的理解1 参数假设检验如果总体的分布函数类型已知，只是对总体分布中的参数做某种假设。然后，用样本检验此假设是否成立，这种检验称为参数检验。下面我们给出几种参数检验对应的Matlab 命令，相关的理论知识可参考教材。假设检验Matlab 命令单个总体均值（2已知）0H：01H：0（0，0）h,p,ci=ztest(x,mu,sigma,alpha,tail)单个总体均值（2未知）0H：01H：0（0，0）h,p,ci=ttest(x,mu,alpha,tail)两个总体均值（2221已知）0H：

23、211H：21（21，21）h,p,ci=ttest2(x,y,alpha,tail)注1：x 是样本，mu 是0H中的0，sigma是总体标准差，alpha 是显著性水平（alpha 缺省时设定为 0.05），tail是对备择假设1H的选择：1H为0时，令 tail=0（可缺省）；1H为0时，令 tail=1；1H为0时，令 tail=-1。输出参数 h=0表名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 27 页 -.示接受0H，h=1表示拒绝0H，p表示在假设0H下样本均值出现的概率，p越小0H越值得怀疑，ci 是0的置信区间。注2：ttest2输入的是两个样本x,y，长

24、度可以不同。例1 某种电子元件的寿命x(以小时计)服从正态分布,2未知.现得 16只元件的寿命如下:159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)?（）解：需要检验：0H：225，1H：225x=159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170;h,p,ci=ttest(x,225,0.05,1)h=0 p=0.2570 ci=198.2321 Inf h=0，p=0.2570，说明在显著

25、水平为0.05 的情况下，不能拒绝原假设，认为元件的平均寿命不大于 225小时。例2 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率,试验是在同一平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都可能做到相同。先用标准方法炼一炉,然后用建议的新方法炼一炉,以后交换进行,各炼了 10炉,其得率分别为:1标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.6 76.7 77.3 2新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1 设这两个样本相互独立且服从标准差相同的正态分布，问建议的新方法

26、能否提高得率?(取0.05。)解 需要检验：0H：21，1H：21x=78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.6 76.7 77.3;y=79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1;h,p,ci=ttest2(x,y,0.05,-1)h=1 p=2.2126e-004 ci=名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 27 页 -.-Inf -1.9000 h=1,p=2.2126 10-4。表明在0.05的显著水平下，可以拒绝原假设，即认为建议的新操作方法能提高得率。2 分布拟合检

27、验在实际问题中，有时不能预知总体服从什么类型的分布，这时就需要根据样本来检验关于分布的假设。下面我们给出几种检验总体是否服从正态分布对应的Matlab 命令。总体分布正态性检验MATLAB 命令备注0H：总体服从2,Nh,p=jbtest(x,alpha)适用于大样本0H：总体服从2,Nh,p=lillietest(x,alpha)适用于小样本0H：总体服从1,0Nh=kstest(x)注1：输入参数 x是样本，alpha 是显著性水平（alpha 缺省时设定为 0.05），输出 h=1,则拒绝总体是正态分布的假设,若h=0，则接受总体服从正态分布的假设。p为检验概率值，p越小，则0H越值得怀

28、疑例3 试检验实验二例1中的学生身高数据是否来自正态总体（取0.1)。解:在 MATLAB 命令窗口中输入：h,p=jbtest(x,0.1)h=0 p=0.5303 h=0，因此，接受总体服从正态分布的假设。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 27 页 -.实验五方差分析实验目的(1)学习 MATLAB 软件关于方差分析的有关操作命令(2)会用 MATLAB 软件求解单因素和双因素方差分析问题(3)通过实验加深对方差分析基本概念和基本思想的理解1 单因素方差分析Matlab 实现Matlab 统计工具箱中单因素方差分析的命令是anoval，用法为：p=anoval

29、(x，group)输入参数 x是一个向量，从第1个总体的样本到第r 个总体的样本依次排列，group是一个与 x有相同长度的向量，反映了 x中数据的分组情况。比如，可以用数字 i 代表第 i 个总体的样本。输出值 p是一个概率值(p 值)，当 P 时接受原假设，即认为因素A对指标有无显著影响。另外，该命令还给出一个标准的方差分析表和一个盒子图。例1 用4种工艺生产灯泡，从各种工艺制成的灯泡中各抽出了若干个测量其寿命，结果如下表，试推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异。工艺序号A1 A2 A3 A4 1 1620 1580 1460 1500 2 1670 1600 1540 1550 3

30、 1700 1640 1620 1610 4 1750 1720 1680 5 1800 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 27 页 -.解:在 MATLAB 命令窗口中输入：x=1620 1580 1460 1500 1670 1600 1540 1550 1700 1640 1620 1610 1750 1720 1680 1800;g=ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4);p=anova1(x,g)p=0.0149 p=0.01491 时，输出 p还包含另外一个概率值，该p值接近于零(小于 0.05)时，

31、认为两个因素交互作用的效应是显著的。例2 下表给出某种化工过程在三种浓度、四种温度水平下得率的数据。假设在诸水平配对下的试验结果如下表所示。试在水平0.05下，检验在不同浓度（因素A）、不同温度（因素B）下的得率是否有显著差异？交互作用是否显著？浓度(B)温度(A)10 24 38 52 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 27 页 -.2 11 10 11 11 13 9 10 12 4 9 7 10 8 7 11 6 10 6 5 11 13 14 12 13 14 10 解:在 MATLAB 命令窗口中输入：x=11 11 13 10;10 11 9 12;9

32、 10 7 6;7 8 11 10;5 13 12 14;11 14 13 10;p=anova2(x,2)p=0.3104 0.0419 0.7010 p=0.3104 0.0419 0.701。即认为温度因素不显著、而浓度因素有显著差异，交互作用不显著。双因素方差分析表名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 27 页 -.实验六回归分析实验目的(1)学习 MATLAB 软件关于回归分析的有关操作命令(2)会用 MATLAB 软件求解各种类型的回归分析问题(3)通过实验加深对回归分析基本概念和基本思想的理解1 多元线性回归的Matlab 实现Matlab 统计工具箱用

33、命令regress 实现多元线性回归，用的方法是最小二乘法，其MATLAB命令为：b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha)其中 y,x 为输入数据，alpha 是显著性水平（缺省值为0.05），输出 b为回归系数估计值，bint 是的置信区间，r 是残差向量，rint是r 的置信区间，stats 中包含了三个检验量：决定系数2R，F值和 p值。它们的用法如下：2R值反映了变量间的线性相关的程度，2R越接近 1，则变量间的线性关系越强；如果满足FnF2,11，同样可以认为Y 与x显著地有线性关系；若p，则线性模型可用。残差及其置信区间还可以用rcoplot(r

34、,rint)画图。若某个数据的残差置信区间不包含零点，则该数据可视为异常点，通常可将其剔除后重新计算。例 1 某饮料公司发现饮料的销售量与气温之间存在着相关关系，即气温越高，人们对饮料的需求量越大。下表记录了饮料销售量和气温的观察数据：气温x(度)30 21 35 42 37 20 8 17 35 25 销量y(箱)430 335 520 490 470 210 195 270 400 480 试建立销售量与气温之间的关系。解:首先画出散点图，从图形可以看出，这些点大致分布在一条直线上，所以，可以考虑一元线性回归。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 27 页 -.0

35、1020304050100200300400500600 xy散点图在MATLAB 命令窗口中输入：x=30 21 35 42 37 20 8 17 35 25;y=430 335 520 490 470 210 195 270 400 480;plot(x,y,o)X=ones(10,1),x;b bint r rint s=regress(y,X,0.05)b=117.0702 9.7381 bint=-19.0529 253.1932 5.0138 14.4625 p=s(3)p=0.0014 p=0.00140.05,说明模型成立，即气温x与饮料销售量Y有显著的线性关系。接下来画残差分

36、布图rcoplot(r,rint)残差分布图由残差分布图可知，除第10 个数据外其余残差的置信区间均包含零点。因此，第10个点应视为异常点，将其剔除后重新计算，可得x=30 21 35 42 37 20 8 17 35;y=430 335 520 490 470 210 195 270 400;X=ones(9,1),x;b bint r rint s=regress(y,X,0.05);b=96.6216 10.0017 bint=-13.8604 207.1037 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 27 页 -.6.2188 13.7845 p=s(3)p=4

37、.2334e-004 p值小于原模型的p值，所以应该用修改后的模型。2 多项式回归的MATLAB 实现一元多项式回归的MATLAB 命令为：p,s=ployfit(x,y,n)其中输入 x,y 是样本数据，n表示多项式的阶数，输出 p是回归多项式的系数，s是一个数据结构，可用于其他函数的计算，比如，y delta=polyconf(p,x0,s)可用于计算 x0处的预测值y及其置信区间的半径delta。一元多项式回归还可以采用如下命令：polytool(x,y,n,alpha)该命令输出一个交互式画面，画面显示回归曲线及其置信区间，通过图左下方的export 下拉式菜单,还可以得到回归系数的估

38、计值及其置信区间、残差等。还可以在正下方左边的窗口中输入 x，即可在右边窗口得到预测值y及其对应的置信区间。例2 将17至29岁的运动员每两岁一组分为7组，每组两人测量其旋转定向能力，以考察年龄对这种运动能力的影响。现得到一组数据如下表：年龄17 19 21 23 25 27 29 第一人20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 第二人24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3 试建立二者之间的关系。解 数据的散点图（略）明显地呈现两端低中间高的形状，所以应拟合一条二次曲线。x=17:2:29;X=x,x;y=20.48 25

39、.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3;p,s=polyfit(X,y,2)p=-0.2003 8.9782 -72.2150 即所求的回归模型为：215.729782.82003.0?2xxY名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 27 页 -.下面的命令给出了年龄为26岁时的预测值及其置信区间的半径。x0=26;y0,delta=polyconf(p,x0,s)y0=25.8073 delta=5.0902 若采用命令 polytool(X,y,2)，则可得到一个如下图

40、所示的交互式画面，其中实曲线为拟合曲线，它两侧的虚线是y 的置信区间。点击左下方的Export 按钮，可以在 MATLAB 的工作空间中得到回归系数等。1820222426281015202530353 多元二项式回归的MATLAB 实现 MATLAB 中提供了一个作多元二项式回归的命令rstool，同命令 polytool类似也可产生一个交互式画面，并输出有关信息，用法是rstool(x,y,model,alpha)其中输入数据 x,y 分别为n m矩阵和n维向量，alpha 为显著性水平（缺省时设定为0.05），model对应 4个模型（用字符串输入，缺省时设定为线性模型），分别为：lin

41、ear(只包含线性项)；purequadratic（包含线性项和纯二次项）；interaction（包含线性项和纯交叉项）；quadratic（包含线性项和完全二次项)。例3 对下面这组数据采用多元二项式回归确定它们之间的关系：x1 120 140 190 130 155 175 125 145 180 150 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 27 页 -.x2 100 110 90 150 210 150 250 270 300 250 y 102 100 120 77 46 93 26 69 65 85 解：在 MATLAB 命令窗口中输入x1=120 14

42、0 190 130 155 175 125 145 180 150;x2=100 110 90 150 210 150 250 270 300 250;y=102 100 120 77 46 93 26 69 65 85;x=x1 x2;rstool(x,y,quadratic)得到一个如下图所示的交互式画面。130140150160170180-150-100-50050100150200250300150200250通过按钮 Export 向 Matlab 工作区传送：beta（回归系数），rmse（剩余标准差）和 residuals（残差）等数据。可得：beta=-307.3600 7.

43、2032-1.7374 0.0001-0.0226 0.0037 rmse=18.6064 对应的回归模型为：222121210037.00226.00001.07374.12032.736.307?xxxxxxY利用图左下方的下拉式菜单，选择不同的模型并通过按钮Export 向Matlab 工作区传送数据，就可以比较它们的剩余标准差，会发现模型（purequadratic）的 rmse=16.6436 最小，对应的回归模型为：2221210037.00228.07337.127.7587.312?xxxxY名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 27 页 -.4 非线

44、性回归的Matlab 实现 Matlab提供的非线性回归命令有：nlinfit，nlparci，nlpredci，nlintool。它们的具体用法如下：b,R,J=nlinfit(x,y,model,b0)其中输入数据 x，y分别为n m矩阵和n维向量。Model是事先用 M 文件定义的非线性函数，其形式为,xfy，为待估参数。b0是的初值。输出 b是的估计值，R是残差，J是用于估计误差的Jacobi 矩阵。进一步，将以上输出代入命令bi=nlparci(b,R,J)可得的置信区间 bi。若代入命令y0 delta=nlpredci(model,x0,b,R,J)则可得回归函数在x0处的预测值

45、 y0及其置信区间。命令 nlintool可产生一个交互式画面，并输出有关信息，用法是：nlintool(x,y,model,b0,alpha)例4 在工程中希望建立一种能由混凝土的抗压强度x推算抗剪强度y的经验公式，下表中给出了现有 9对数据。试分别按以下三种形式建立y对x的回归方程，并从中选出最优模型。(1)xbay(2)xbayln(3)bcxyx 141 152 168 182 195 204 223 254 277 y 23.1 24.2 27.2 27.8 28.7 31.4 32.5 34.8 36.2 解：首先对每个回归方程建立相应的M 文件如下：f1.m：function y

46、=f1(beta,x);y=beta(1)+beta(2)*sqrt(x);f2.m：function y=f2(beta,x);y=beta(1)+beta(2)*log(x);f3.m：function y=f3(beta,x);y=beta(1)*x.beta(2);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 27 页 -.然后，用 nlinfit计算回归系数x=141 152 168 182 195 204 223 254 277;y=23.1 24.2 27.2 27.8 28.7 31.4 32.5 34.8 36.2;b0=1,2;b1,r1,j1=nlinf

47、it(x,y,f1,b0)b1=-9.8806 2.8068 r1=-0.3483-0.5240 0.7003-0.1852-0.6142 1.1915 0.4661 -0.0524 -0.6338 b2,r2,j2=nlinfit(x,y,f2,b0)b2=-75.2844 19.8789 r2=0.0083 -0.3850 0.6254 -0.3657 -0.8372 0.9658 0.2955 0.0081 -0.3151 b3,r3,j3=nlinfit(x,y,f3,b0)b3=0.8963 0.6610 r3=-0.5071-0.6088 0.6945-0.1455-0.5494

48、1.2651 0.5381 -0.0334 -0.6875 通过比较三个模型的残差和可得：sum(r2)sum(r1)sum(r3)。因此，模型 2的拟合程度最好，对应的回归模型为：xxYln8789.192844.75?回归系数的置信区间可用如下命令得到：bi=nlparci(b2,r2,j2)bi=-75.6405 -74.9284 19.8045 19.9534 5 逐步回归的MATLAB 实现用作逐步回归的Matlab 命令是 stepwise，它提供了一个交互式的画面，通过这个工具你可以自由地选择变量，进行统计分析，其通常用法是：stepwise(x,y,inmodel,alpha)

49、其中 x，y分别是n m矩阵和n维向量，inmodel 是矩阵 x的列数的指标，给出初始模型中包括的子集（缺省时设定为全部自变量），alpha 为显著性水平。stepwise 命令会产生一个名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 27 页 -.图形窗口，显示回归系数及其置信区间，蓝色的线代表在模型中的变量，红色的线代表从模型中移去的变量，你可以用鼠标点击某条线改变其状态达到移去或选中该变量的目的。除此之外,该窗口还给出了跟模型有关的统计量（RMSE R-square,F,p 等，其含义与regress,rstool相同）。你可以通过这些统计量的变化来确定模型。Model

50、History窗口显示每一步 RMSE 的值。点击 Export 按钮产生一个菜单，表明了要传送给Matlab 工作区的参数。例5 某种水泥在凝固时放出的热量y 与水泥中 4种化学成分含量3Cao.Al2O3,3Cao.SiO2,4Cao.Al2O 3.Fe 2O3,2Cao.SiO2有关，今测得一组数据如下，试用逐步回归来确定一个线性模型序号x 1 x 2 x 3 x 4 y1 7 26 6 60 78.5 2 1 29 15 52 74.3 3 11 56 8 20 104.3 4 11 31 8 47 87.6 5 7 52 6 33 95.9 6 11 55 9 22 109.2 7