2022年线面角的求法总结 .pdf

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1、线面角的三种求法1直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例 1（如图 1）四面体 ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，SBA=45,SBC=60,M 为AB 的中点，求（1）BC 与平面 SAB 所成的角。（2）SC 与平面 ABC 所成的角。解:（1）SCSB,SCSA,BMHSCA图 1 SC平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影，SBC 是直线 BC 与平面 SAB 所成的角为60。（2）连结 SM,CM，则

2、SMAB,又 SCAB,AB平面 SCM,面 ABC 面 SCM 过 S作 SHCM 于 H,则 SH平面 ABC CH 即为SC 在面 ABC 内的射影。SCH 为SC与平面 ABC 所成的角。sin SCH=SHSC SC 与平面 ABC 所成的角的正弦值为77（“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）2.利用公式 sin=h其中 是斜线与平面所成的角，h是 垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点

3、，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例 2（如图 2）长方体 ABCD-A1B1C1D1,AB=3,BC=2,A1A=4，求 AB 与面AB1C1D 所成的角。解：设点B 到 AB1C1D 的距离为 h,VBAB1C1=VABB1C113SAB1C1 h=13 SBB1C1 AB，易得 h=125 设 AB 与 面 A B1C1D 所成的角为,则sin=hAB=4 5 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -A1C1D1H4CB123BAD图2 AB 与面 AB1C1D 所成的角为arcsin 45 3.利用公式cos=cos1 cos2（如图 3）若 O

4、A 为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA 在面内的射影，OC为面内的一条直线，其中为OA 与OC所成的角，BOAC图3 1为OA 与OB所成的角，即线面角，2为OB与OC所成的角，那么 cos=cos1 cos2（同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例 3（如图 4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60,，求直线OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值。解：AOB=AOC OA 在面 OBC 内的射影在BOC 的平分线 OD 上，则 AOD 即为 OA 与面 OBC 所成的角，可知DOC=30 ,cosAO

5、C=cos AOD cosDOC cos60=cosAOD cos30 cosAOD=33 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值为33。ODACB图 4（一）复习：1直线和平面的位置关系；（平行、相交和直线在平面内）2 思考：当直线 a 与平面的关系是 aA 时，如何反映直线与平面的相对位置关系呢？（可以用实物来演示，显然不能用直线和平面的距离来衡量）（二）新课讲解：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -1平面的斜线和平面所成的角：已知，如图，AO 是平面的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面，B 为垂足，则直线 AB 是斜线在平面内的射影。设AC 是平面内的

6、任意一条直线，且BCAC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成角为1，AB 与 AC 所成角为2，AO 与 AC 所成角为，则易知：1|cosABAO，212|cos|coscosACABAO又|cosACAO，可以得到：12coscoscos，注意：2(0,)2（若22，则由三垂线定理可知，OAAC，即2；与“AC 是平面内的任意一条直线，且BCAC，垂足为 C”不相符）。易得：1coscos又1,(0,)2即可得：1则可以得到：（1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，

7、叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。说明：1若 a，则规定 a 与所成的角是直角；2若/a或 a，则规定 a 与所成的角为0；3直线和平面所成角的范围为：090；4 直 线 和 平 面 所 成 角 是 直 斜 线 与 该 平 面 内 直 线 所 成 角 的 最 小 值（12coscoscos）。2例题分析：例 1如图，已知AB 是平面的一条斜线，B 为斜足，,AOO为垂足，BC 为内的一条直线，60,45ABCOBC，求斜线 AB 和平面所成角。解：AO，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO 为AB和所成角，又12coscoscos，coscos 60122coscoscos 452

8、22ABCABOCBO，45BAO，即斜线 AB 和平面所成角为45例 2如图，在正方体1AC中，求面对角线1A B与对角面11BB D D所成的角。解（法一）连结11A C与11B D交于 O，连结OB，111D DA C，1111B DA C，1A O平面11BB D D，1A BO是1A B与对角面11BB D D所成的角，在1RtA BO中，1112A OA B，130A BO（法二）由法一得1A BO是1A B与对角面11BB D D所成的角，又112coscos 452A BB，116cos3B BB BOBO，21OCBAOCBA1B1A1CABC1DDO名师资料总结-精品资料欢

9、迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -11112cos32coscos263A BBA BOB BO，130A BO说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。另外，在条件允许的情况下，用公式21coscoscos求线面角显得更加方便。例 3已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面 BCD 所成角的余弦值。解：过 A 作 AO平面 BCD 于点 O，连接,C OBOD O，ABACAD，O 是正三角形BCD 的外心，设四面体的边长为a，则33COa，90AO C，ACO 即为AC与平面 BCD 所成角，3cos3ACO，所以，

10、AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为33五课堂练习：课本第45 页练习第 1，2，3 题；第 47 页习题 9.7 的第 1 题。六小结：1线面角的概念；212coscoscos及应用步骤：12,在图形中所表示的角。七作业：课本第45 页练习第 4 题、第 47 页习题 9.7 的第 2 题。补充：1 如图，PA是平面的斜线，BAC 在平面内，且满足90BAC，又已知60PABPAC，求 PA 和平面所成的角。2如图，已知PA正方形 ABCD 所在平面，且24,610PCPBPD，求 PC 和平面ABCD所成的角。ODCBAAPCBABCDP名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -