matlab练习题及答案复习进程 .pdf

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1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑第 1 章MATLAB概论1.1 与其他计算机语言相比较，MATLAB 语言突出的特点是什么？答：MATLAB语言有一下特点：1、起点高。2、人机界面适合科技人员。3、强大而简易的作图功能。4、智能化程度高。5、功能丰富，可扩展性强。1.2 MATLAB系统由那些部分组成？答：MATLAB系统主要由开发环境、MATLAB数学函数库、MMATLAB语言、图形功能和应用程序接口五个部分组成。1.3 安装 MATLAB 时，在选择组件窗口中哪些部分必须勾选，没有勾选的部分以后如何补安装？答：在安装MATLAB时，安装内容由选择组件窗口中各复选框是

2、否被勾选来决定，可以根据自己的需要选择安装内容，但基本平台（即MATLAB选项）必须安装。第一次安装没有选择的内容在补安装时只需按照安装的过程进行，只是在选择组件时只勾选要补装的组件或工具箱即可。1.4 MATLAB操作桌面有几个窗口？如何使某个窗口脱离桌面成为独立窗口？又如何将脱离出去的窗口重新放置到桌面上？答：在 MATLAB操作桌面上有五个窗口。在每个窗口的右上角有两个小按钮，一个是关闭窗口的Close按钮，一个是可以使窗口成为独立窗口的Undock按钮，点击Undock按钮就可以使该窗口脱离桌面成为独立窗口。在独立窗口的Desktop菜单中选择Dock.项就可以将独立的窗口重新放置到桌

3、面上。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑1.5 如何启动M 文件编辑/调试器？答：在操作桌面上选择“建立新文件”或“打开文件”操作时，M 文件编辑/调试器将被启动。在命令窗口中键入edit 命令时也可以启动M 文件编辑/调试器。1.6 存储在工作空间中的数组能编辑吗？如何操作？答：存储在工作空间的数组可以通过数组编辑器进行编辑：在工作空间浏览器中双击要编辑的数组名打开数组编辑器，再选中要修改的数据单元，输入修改内容即可。1.7 命令历史窗口除了可以观察前面键入的命令外，还有什么用途？答：命令历史窗口除

4、了用于查询以前键入的命令外，还可以直接执行命令历史窗口中选定的内容、将选定的内容拷贝到剪贴板中、将选定内容直接拷贝到M 文件中。1.8 如何设置当前目录和搜索路径，在当前目录上的文件和在搜索路径上的文件有什么区别？答：当前目录可以在当前目录浏览器窗口左上方的输入栏中设置，搜索路径可以通过选择操作桌面的file菜单中的Set Path 菜单项来完成。在没有特别说明的情况下，只有当前目录和搜索路径上的函数和文件能够被 MATLAB运行和调用，如果在当前目录上有与搜索路径上相同文件名的文件时则优先执行当前目录上的文件，如果没有特别说明，数据文件将存储在当前目录上。1.9 在 MATLAB中有几种获得

5、帮助的途径？答：（1）帮助浏览器：选择view 菜单中的Help菜单项或选择Help 菜单中的MATLAB Help 菜单项可以打开帮助浏览器。（2）help 命令：在命令窗口键入“help”命令可以列出帮助主题，键入“help 函数名”可以得到名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑指定函数的在线帮助信息。（3）lookfor命令：在命令窗口键入“lookfor 关键词”可以搜索出一系列与给定关键词相关的命令和函数。（4）模糊查询：输入命令的前几个字母，然后按Tab 键，就可以列出所有以这几个字母开始的命

6、令和函数。注意：lookfor和模糊查询查到的不是详细信息，通常还需要在确定了具体函数名称后用help 命令显示详细信息。第 2 章MATLAB矩阵运算基础2.1 在 MATLAB 中如何建立矩阵194375，并将其赋予变量a？答：在 Command Window窗口输入操作:a=5 7 3;4 9 1 2.2 有几种建立矩阵的方法？各有什么优点？答：（1）直接输入法，如 a=1 2 3 4，优点是输入方法方便简捷；（2）通过 M 文件建立矩阵，该方法适用于建立尺寸较大的矩阵，并且易于修改；（3）由函数建立，如 y=sin(x)，可以由 MATLAB 的内部函数建立一些特殊矩阵；（4）通过数据

7、文件建立，该方法可以调用由其他软件产生数据。2.3 在进行算术运算时，数组运算和矩阵运算各有什么要求？答：进行数组运算的两个数组必须有相同的尺寸。进行矩阵运算的两个矩阵必须满足矩阵运算规则，如矩阵a 与 b 相乘（a*b）时必须满足 a 的列数等于 b 的行数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑2.4 数组运算和矩阵运算的运算符有什么区别？答：在加、减运算时数组运算与矩阵运算的运算符相同，乘、除和乘方运算时，在矩阵运算的运算符前加一个点即为数组运算，如a*b 为矩阵乘，a.*b 为数组乘。2.5 计算

8、矩阵897473535与638976242之和。答：2.6 求i 44i 93i 49i 67i 23i 57i41i 72i 53i 84x的共轭转置。答：2.7 计算572396a与864142b的数组乘积。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑2.8“左除”与“右除”有什么区别？答：在通常情况下，左除 x=ab是 a*x=b的解，分母在左边。右除 x=b/a是 x*a=b的解，分母在右边。一般情况下，abb/a。2.9 对于BAX，如果753467294A，282637B，求解 X。答：2.10

9、 已知：987654321a，分别计算 a 的数组平方和矩阵平方，并观察其结果。答：a 的数组的平方：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑a 的矩阵的平方：2.11 463521a，263478b，观察 a 与 b 之间的六种关系运算的结果。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑2.12 7.0802.05a，在进行逻辑运算时，a 相当于什么样的逻辑量。答：相当于 a=1 1 0 1 1。2.13 在 sin(

10、x)运算中，x 是角度还是弧度？答：在 sin(x)运算中，x 是弧度，MATLAB 规定所有的三角函数运算都是按弧度进行运算。2.14 角度604530 x，求 x 的正弦、余弦、正切和余切。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑2.15 用四舍五入的方法将数组 2.4568 6.3982 3.9375 8.5042 取整。答：2.16 矩阵728365219a，分别对a 进行特征值分解、奇异值分解、LU 分解、QR 分解及Chollesky分解。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第

11、 8 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑2.17 将矩阵5724a、3817b和2695c组合成两个新矩阵：答：（1）组合成一个 4 3 的矩阵，第一列为按列顺序排列的a 矩阵元素，第二列为按列顺序排列的 b 矩阵元素，第三列为按列顺序排列的c 矩阵元素。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑（2）按照 a、b、c 的列顺序组合成一个行矢

12、量或利用（1）中产生的 d 第 2 章基本图形处理功能2.18 绘制曲线13xxy，x 的取值范围为-5,5。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑2.19 有一组测量数据满足-atey，t 的变化范围为010，用不同的线型和标记点画出a=0.1、a=0.2 和 a=0.5 三种情况下的曲线。2.20 在 5.1 题结果图中添加标题-atey，并用箭头线标识出各曲线a 的取值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编

13、辑2.21 在 5.1 题结果图中添加标题-atey和图例框。2.22 表中列出了 4 个观测点的 6 次测量数据，将数据绘制成为分组形式和堆叠形式的条形图。第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次第 6 次观测点1 3 6 7 4 2 8 观测点2 6 7 3 2 4 7 观测点3 9 7 2 5 8 4 观测点4 6 4 3 2 7 4 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑2.23 x=66 49 71 56 38，绘制饼图，并将第五个切块分离出来。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精

14、心整理-第 14 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑2.24 22yxxez，当 x 和 y 的取值范围均为-2 到 2 时，用建立子窗口的方法在同一个图形窗口中绘制出三维线图、网线图、表面图和带渲染效果的表面图。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑2.25 绘制 peaks 函数的表面图，用colormap函数改变预置的色图，观察色彩的分布情况。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除w

15、ord 可编辑名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑2.2 用 sphere 函数产生球表面坐标，绘制不通明网线图、透明网线图、表面图和带剪孔的表面图。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有

16、侵权请联系网站删除word 可编辑2.27 将 5.9 题中的带剪孔的球形表面图的坐标改变为正方形，以使球面看起来是圆的而不是椭圆的，然后关闭坐标轴的显示。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑第 3 章符号数学基础（补充）3.1 创建符号变量有几种方法？答：MATLAB 提供了两种创建符号变量和表达式的函数：sym 和 syms。sym 用于创建一个符号变量或表达式，用法如 x=sym(x)及 f=sym(x+y+z )，syms 用于创建多个符号变量，用法如syms x y z。f=sym(x+y+

17、z)相当于syms x y z f=x+y+z 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑3.2 下面三种表示方法有什么不同的含义？（1）f=3*x2+5*x+2（2）f=3*x2+5*x+2（3）x=sym(x)f=3*x2+5*x+2 答：（1）f=3*x2+5*x+2 表示在给定 x 时，将 3*x2+5*x+2的数值运算结果赋值给变量f，如果没有给定 x 则指示错误信息。（2）f=3*x2+5*x+2 表示将字符串 3*x2+5*x+2赋值给字符变量 f，没有任何计算含义，因此也不对字符串中的内容做

18、任何分析。（3）x=sym(x)f=3*x2+5*x+2 表示 x 是一个符号变量，因此算式 f=3*x2+5*x+2就具有了符号函数的意义，f 也自然成为符号变量了。3.3 用符号函数法求解方程at2+b*t+c=0。答：3.4 用符号计算验证三角等式：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑sin(1)cos(2)-cos(1)sin(2)=sin(1-2)答:3.5 求矩阵22211211aaaaA的行列式值、逆和特征根。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 48 页

19、-资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑3.6 因式分解：6555234xxxx答：3.7)sin()log(12xxexxafax，用符号微分求 df/dx。答：3.8 求代数方程组002yxcbyax关于 x,y 的解。答：3.9 符号函数绘图法绘制函数x=sin(3t)cos(t)，y=sin(3t)sin(t)的图形，t 的变化范围为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑0,2。答：3.10 绘制极坐标下 sin(3*t)*cos(t)的图形。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-

20、名师精心整理-第 26 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑第 4 章MATLAB其他函数库4.1 将(x-6)(x-3)(x-8)展开为系数多项式的形式。答：4.2 求解多项式 x3-7 x2+2 x+40 的根。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 27 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑4.3 求解在 x=8 时多项式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的值。答：4.4 计算多项式乘法(x2+2 x+2)(x2+5 x+4)。答：4.5 计算多项式除法(3x3+13 x2+6 x+8)/(x

21、+4)。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 28 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑4.6 对下式进行部分分式展开：27243645232345234xxxxxxxxx答：4.7 计算多项式9514124234xxxx的微分和积分。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 29 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑4.8 解方程组66136221143092x。答：4.9 求欠定方程组5865394742x的最小范数解。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 30 页，共

22、48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑4.10 有一组测量数据如下表所示，数据具有y=x2的变化趋势，用最小二乘法求解y。x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y-1.4 2.7 3 5.9 8.4 12.2 16.6 18.8 26.2 答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 31 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑4.11 矩阵943457624a，计算 a 的行列式和逆矩阵。答：4.12 y=sin(x)，x 从 0 到 2，x=0.02，求 y 的最大值、最小值、均值和标准差。答：名师资

23、料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 32 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑4.13 54321x，108642y，计算 x 的协方差、y 的协方差、x 与 y 的互协方差。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 33 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑4.14 参照例 3-20 的方法，计算表达式22e1053yxyxz的梯度并绘图。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 34 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑4.15 有一正弦衰减数据

24、 y=sin(x).*exp(-x/10)，其中 x=0:pi/5:4*pi，用三次样条法进行插值。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 35 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑M 文件编程1 命令文件与函数文件的主要区别是什么？答：（1）命令文件是一系列命令的组合，函数文件的第一行必须用function说明；（2）命令文件没有输入参数，也不用返回参数，函数文件可以接受输入参数，也可以返回参数；（3）命令文件处理的变量为工作空间变量，函数文件处理的变量为函数内部的局部变量，也可以处理全局变量。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-

25、第 36 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑2 如何定义全局变量？答：用关键字 global可以把一个变量定义为全局变量，在M 文件中定义全局变量时，如果在当前工作空间已经存在了相同的变量，系统将会给出警告，说明由于将该变量定义为全局变量，可能会使变量的值发生改变，为避免发生这种情况，应该在使用变量前先将其定义为全局变量。3 如果 x 是一个结构型数组，如何观察其中的内容？结果数组用于存储一组相关的数据元素（域），这些元素可以是不同类型、不同尺寸的，结构数组不能用数组编辑器观察和修改其中的元素。对于明为x 的结构型数组，可以直接键入x 以观察其中所包含的

26、域名及内容，也可以键入x.域名观察指定域名的内容，例如x x=name:line color:red data:1 2.7000 3 5.9000 8.4000 12.2000 16.6000 18.8000 26.2000 x.color ans=red 4 if 语句有几种表现形式？答：（1）if 表达式语句体end 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 37 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑（2）if 表达式语句体 1 else 语句体 2 end（3）if 表达式 1 语句体 1 elseif 表达式 2 语句体 2 end（4）i

27、f 表达式 1 语句体 1 elseif 表达式 2 语句体 2 else 语句体 3 end 5 说明 break 语句和 return语句的用法。答：break 语句用于终止 for 循环和 while 循环的执行。如果遇到break 语句，则退出循环体，继续执行循环体外的下一行语句。在嵌套循环中，break 只存在于最内层的循环中。return 语句用于终止当前的命令序列，并返回到调用的函数或键盘，也用于终止 keyboad方式，在 MATLAB 中，被调用的函数运行结束后会自动返回调用函数，使用return 语句时将名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 38 页，共 48

28、页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑return 插入被调用函数的某一位置，根据某种条件迫使被调用函数提前结束并返回调用函数。6 有一周期为 4 的正弦波上叠加了方差为0.1 的正态分布的随机噪声的信号，用循环结构编制一个三点线性滑动平均的程序。（提示：用 0.1*randn(1,n)产生方差为 0.1 的正态分布的随机噪声；三点线性滑动平均就是依次取每三个相邻数的平均值作为新的数据，如x1(2)=(x(1)+x(2)+x(3)/3，x1(3)=(x(2)+x(3)+x(4)/3）答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 39 页，共 48 页 -资料收集于

29、网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑7 编制一个解数论问题的函数文件：取任意整数，若是偶数，则用2 除，否则乘 3 加 1，重复此过程，直到整数变为1。答：function c=collatz(n)%collatz%Classic“3n+1”Ploblem from number theoryc=n;while n1 if rem(n,2)=0 n=n/2;else n=3*n+1;end c=c n;end 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 40 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑8 有一组学生的考试成绩（见表），根据规定，成绩

30、在100 分时为满分，成绩在9099之间时为优秀，成绩在8089分之间时为良好，成绩在6079分之间为及格，成绩在60 分以下时为不及格，编制一个根据成绩划分等级的程序。学生姓名王张刘李陈杨于黄郭赵成绩72 83 56 94 100 88 96 68 54 65 答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 41 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑9 编写一段程序，能够把输入的摄氏温度转化成华氏温度，也能把华氏温度转换成摄氏温名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 42 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word

31、 可编辑度。答：10 keyboard命令的作用是什么？当在函数中使用keyboard命令时，是否可以在工作空间浏览器中观察和修改函数中的局部变量？退出keyboard状态的命令是什么？编一个函数文件，在其中设置keyboard，观察变量情况。答：当运行中的程序遇到keyboard命令时会暂时停止运行，将控制权交给键盘，这时命令窗口的提示符变为K，可以在命令窗口或工作空间浏览器中观察和修改变量内容，如果keyboard命令设置在函数中，则可以观察和修改函数中的局部变量，检查或修改完成后，键入 return 命令，退出 keyboard状态，控制权交还给系统，程序将继续运行。第 9 章 Simu

32、link基础9.1 什么是 Simulink?答：Simulink是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的软件包，它支持连续的、离散的或二者混合的线性和非线性系统，也支持具有多种采样速率的多速率系统。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 43 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑9.2 如何进行下列操作：（1）翻转模块（2）给模型窗口加标题（3）指定仿真时间（4）设置示波器的显示刻度答：（1）翻转模块翻转：将鼠标指针指向要翻转的模块并按下鼠标右键，在弹出的菜单中选择Format栏中的 Flip Block项，模块将翻转 180，每选择一次模块

33、都将翻转 180，该操作也可以在菜单栏中的 Format 菜单中进行。（2）给模型窗口加标题在模型窗口的上方双击鼠标左键，会出现的一个文本输入框，输入文字并通过Format菜单中的选项改变字体的颜色和大小，就可以做出一个好看的标题。（在模型窗口的任意地方都可以通过双击鼠标左键后输入文字为模型窗口添加说明）（3）指定仿真时间选择 Simulation菜单打开参数设置对话框，在Solver 页面中第一项 Simulation time中通过输入开始时间和结束时间来确定仿真时间。（4）设置示波器的显示刻度双击示波器模块弹出示波器显示窗口，在坐标轴区域内的任意位置单击鼠标右键，在弹出的菜单中选择 Ax

34、es properties菜单项弹出示波器坐标轴属性对话框，可以设置Y 轴显示的范围。9.3 有传递函数如下的控制系统，用Simulink建立系统模型，并对系统的阶跃响应进行仿真。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 44 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑841)(2sssG答：9.4 建立一个简单模型，用信号发生器产生一个幅度为2V、频率为 0.5Hz 的正弦波，并叠加一个 0.1V 的噪声信号，将叠加后的信号显示在示波器上并传送到工作空间。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 45 页，共 48 页 -资料收集于网络，如

35、有侵权请联系网站删除word 可编辑9.5 建立一个简单模型，产生一组常数（1 5），再将该常数与其5 倍的结果合成一个二维数组，用数字显示器显示出来。答：9.6 建立一个模拟系统，将摄氏温度转换为华氏温度（Tf=9/5Tc+32）。答：9.7 建立二阶系统222)(nnnSSSG的脉冲响应模型，设 n=10Hz，观察当 0 1 时系统的响应。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 46 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑9.8 皮球以 15 米/秒的速度从 10 米高的地方落下，建立显示球弹跳轨迹的模型。答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 47 页，共 48 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 48 页，共 48 页 -