2022年2022年简单的线性规划典型例题 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载简单的线性规划典型例题例 1画出不等式组.0330402yxyxyx，表示的平面区域分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分解：把0 x，0y代入2yx中得0200 不等式02yx表示直线02yx下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法例 2 画出332yx表示的区域，并求所有的正整数解),(yx分析：原不等式等价于.3,32yxy而求正整数解则意味着x，y有限制条件，即求.3,32,0,0yxyzyzxyx解：依照二元一次

2、不等式表示的平面区域，知332yx表示的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载区域如下图：对于332yx的正整数解，先画出不等式组.3,32,0,0yxyzyzxyx所表示的平面区域，如图所示容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来例 3 求不等式组111xyxy所表示的平面区域的面积分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积 而要将平面区域作出来的关

3、键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论解：不等式11xy可化为)1(xxy或)1(2 xxy；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载不等式1xy可化为)0(1 xxy或)0(1 xxy在平面直角坐标系内作出四条射线)1(xxyAB：，)1(2 xxyAC：)0(1 xxyDE：，)0(1 xxyDF：则不等式组所表示的平面区域如图由于AB与AC、DE与DF互相垂直，所以平面区域是一个矩形根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为22和223所以其面积为23例 4若x、y满足条件.0104

4、010230122yxyxyx，求yxz2的最大值和最小值分析：画出可行域，平移直线找最优解名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示作直线zyxl2:，即zxy2121，它表示斜率为21，纵截距为2z的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l过点时，z取得最大值，当l过点B时，z取得最小值18822maxz2222minz说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值例 5 用不等式表示以)4,1(A，)0,3(B，)2,2(C为顶点的三角形内部的平面区域

5、分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。解：直线AB的斜率为：1)3(104ABk，其方程为3xy可求得直线BC的方程为62xy直线AC的方程为22xyABC的内部在不等式03yx所表示平面区域内，同时在不等式062yx所表示的平面区域内，同时又在不等式022yx所表示的平面区域内（如图）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组022,062,03yxyxyx表示说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线例 6 已知0

6、5yx，010yx求22yx的最大、最小值分析：令22yxz，目标函数是非线性的 而22222yxyxz可看做区域内的点到原点距离的平方问题转化为点到直线的距离问题解：由,010,05yxyx得可行域(如图所示)为22222yxyxz，而)0,0(到05yx，010yx的距离分别为25和210所以z的最大、最小值分别是50 和225说明：题目中的目标函数是非线性的解决的方法类似于线性规划问题可做出图，利用图进行直观的分析例 7 设yxz57式中的变量x、y满足下列条件.*,023,02034NyNxyxyx求z的最大值分析：先作出不等式组所表示的可行域，需要注意的是这里的名师资料总结-精品资料

7、欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载*Nyx、，故只是可行域内的整数点，然后作出与直线057yx平等的直线再进行观察解：作出直线020341yxl：和直线0232yxl：，得可行域如图所示解方程组02302034yxyx得交点)54,522(A又作直线057yxl：，平等移动过点A时，yx57取最大值，然而点A不是整数点，故对应的z值不是最优解，此时过点A的直线为543457yx，应考虑可行域中距离直线543457yx最近的整点，即)4,2(B，有344527)(Bz，应注意不是找距点A最近的整点，如点)1,4(C为可行域中距A最近的整点，但331547)(C

8、z，它小于)(Bz，故z的最大值为 34说明：解决这类题的关键是在可行域内找准整点若将线性目标函数改为非线性目标函数呢？例 8 设22yxz，式中的变量x、y满足.1,2553,34xyxyx试求z的最大值、最小值分析：作出不等式组所表示的平面区域，本题的关键是目标函数22yxz应理解为可行域中的点与坐标原点的距离的平方名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载解：作出直线0341yxl：，025532yxl：，13xl：得到如图所示的可行域由02553034yxyx得)2,5(A由1034xyx得)1,1(C由102553xyx得)522,1

9、(B由图可知：当),(yx为点)1,1(C时，z取最小值为2；当),(yx为点)2,5(A时，z取最大值 29说明：若将该题中的目标函数改为yxz，如何来求z的最大值、最小值呢？请自己探求（将目标函数理解为点),(yx与点)0,0(边线的斜率）例 9 设0 x，0y，0z；zyxp23，zyxq42，1zyx，用图表示出点),(qp的范围分析：题目中的p，q与x，y，z是线性关系可借助于x，y，z的范围确定),(qp的范围名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载解：由,1,42,23zyxqzyxpzyx得),345(271),3514(27

10、1),68(271qpzpqypqx由0 x，0y，0z得,0543,01453,086qpqpqp做出不等式所示平面区域如图所示说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的x，y，z的取值范围借助于三元一次方程组分别求出x，y，z，从而求出p，q所满足的不等式组找出),(qp的范围例 10某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱获利润40 元，B种糖果每箱获利润50 元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）混合烹调包装A1 5 3 B2 4 1 每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12 机器小时，烹调的设备至多只能用机器30 机器小时，包装的

11、设备只能用机器15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载分析：找约束条件，建立目标函数解：设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则此问题的数学模式在约束条件0090031800457202yxyxyxyx下，求目标函数yxz5040的最大值，作出可行域，其边界0:yOA09003:yxAB0180045:yxBC07202:yxCD0:xDO由yxz5040得5054zxy，它表示斜率为54，截距为50z的平行直线系，50z越大，z越大，从而可知过C点时截距最大，z取得了最大值解方

12、程组3001201800457202，Cyxyx198003005012040maxz即生产A种糖果 120 箱，生产B种糖果 300 箱，可得最大利润19800 元说明：由于生产A种糖果 120 箱，生产B种糖果 300 箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为1202 300720（分），烹调时间5 1204 3001800（分），包装时间3 120300660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有 240 分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松驰”部分，有待于改进研究例 11 甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：名师

13、资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载甲乙丙维生素A（单位/千克）600 700 400 维生素B（单位/千克）800 400 500 成本（元/千克）11 9 4 某食物营养研究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100 千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素A和 63000 单位维生素B（1）用x、y表示混合物成本C（2）确定x、y、z的值，使成本最低分析：找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解解：（1）依题意：x、y、z满足yxzzyx100100 成本400574911yxzyxC（元）（

14、2）依题意6300050040080056000400700600zyxzyxyxz10000130316032yxyxyx，作出不等式组所对应的可行域，如图所示联立2050160321303，交点Ayxyx作直线Cyx40057则易知该直线截距越小，C越小，所以该直线过2050，A时，直线在y轴截距最小，从而C最小，此时 7 505名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载20400C850 元50 x千克，30z千克时成本最低例 12 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15t，已知生产甲产品 1t需煤 9t，电力 4kW，劳力

15、 3 个（按工作日计算）；生产乙产品 1t需煤 4t，电力 5kW，劳力 10 个；甲产品每吨价7 万元，乙产品每吨价12 万元；但每天用煤最不得超过300 吨，电力不得超过 200kW，劳力只有 300 个问每天各生产甲、乙两种产品多少t，才能既保定完成生产任务，又能为国家创造最多的财富分析：先设每天生产甲、乙两种产品的产量分别为xt和yt，建立约束条件和目标函数后，再利用图形直观解题解：设每天生产甲产品xt，乙产品yt，总产值St，依题意约束条件为：.300103,20054,30049,15,15yxyxyxyx目标函数为yxS127约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上

16、它的边线上的点(如图阴影部分)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载现在就要在可行域上找出使yxS127取最大值的点),(yx作直线yxS127，随着S取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为12S，可以看出，当直线的纵截距越大，S值也越大从图中可以看出，当直线yxS127经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值解方程组,0300103,020054yxyx得)24,20(A故当20 x，24y时，4282412207最大值S(万元)答：第天生产甲产品20t，乙产品 24t，这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财富428 万元说

17、明：解决简单线性规划应用题的关键是：(1)找出线性约束条件和目标函数；(2)准确画出可行域；(3)利用S的几何意义，求出最优解如本例中，12S是目标函数yxS127的纵截距例 13 有一批钢管，长度都是4000mm，要截成 500mm和 600mm两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于31配套，怎样截最合理？分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再按求最优解是整数解的方法去求解：设截 500mm的x根，600mm的y根，根据题意，得.0,0,3,4065yxxyyx且zyx,作出可行域，如下图中阴影部分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 20 页 -学习好资料欢迎

18、下载目标函数为yxz，作一组平行直线tyx，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过)8,0(B的直线，这时8yx由x，y为正整数，知)8,0(不是最优解在可行域内找整点，使7yx可知点)5,2(，)4,3(，)3,4(，)2,5(，)1,6(均为最优解答：每根钢管截500mm的 2 根，600mm的 5 根，或截 500mm的3 根，600mm的 4 根或截 500mm的 4 根，600mm的 3 根或截 500mm的 5 根，600mm的 2 根或截 500mm的 6 根，600mm的 1 根最合理说明：本题易出现如下错解：设截 500mm的x根，600mm的y根，则.0,0,31,40

19、00600500yxyxyx即.0,0,3,4065yxxyyx其中x、y均为整数作出可行域，如下图所示中阴影部分目标函数为yxz，作一组平行直线tyx，经过可行域内的点且和原点相距最远的直线为过A点的直线先求A点的坐标，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载解40653yxxy得231202340yx，故23120,2340A，即7yx，调整为2x，5y经检验满足条件，所以每根截500mm的 2 根，600mm的 5 根最合理本题解法错误主要是在作一组平行直线tyx时没能准确作出，而得到经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过A点的直

20、线此错误可检验如下：如果直线tyx通过A点，它是经过可行域内的点且到原点距离最远的直线，那么t231202340，即7yx由于x，y为整数，所以点)2355,23171(A不是最优解但在可行域内除A点外，不可能再有其他点满足7yx，只能在可行域内找满足6yx的点如果还没有整数点，则只能在可行域内找满足5yx的整数点但我们知道2x，5y满足题意，这样，就出现了矛盾，从而判断解法错误，即tyx通过A点的直线并不是通过可行域内的点且和原点距离最远的直线例 14 某工厂生产A、B两种产品，已知生产A产品 1kg要用煤 9t，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 20 页 -学

21、习好资料欢迎下载电力 4kW，3 个工作日；生产B产品 1kg要用煤 4t，电力 5kW，10个工作日又知生产出A产品 1kg可获利 7 万元，生产出B产品 1kg可获利 12 万元，现在工厂只有煤360t，电力 200kW，300 个工作日，在这种情况下生产A，B产品各多少千克能获得最大经济效益分析：在题目条件比较复杂时，可将题目中的条件列表产品工作日煤/t电力/kW利润/万元A产品3 9 4 7 B产品10 4 5 12 解：设这个工厂应分别生产A，B产品xkg，ykg，可获利z万元根据上表中的条件，列出线性约束条件为,0,0,20054,36049,300103yxyxyxyx目标函数为

22、yxz127(万元)画出 如 图 所示 的 可 行域，做 直 线0127yxl：，做 一 组 直 线tyx127与l平行，当l过点A时t最大由,20054,300103yxyx得A点坐标为)24,20(把A点坐标代入l的方程，得428t(万元)答：应生产A产品 20t，B产品 24t，能获最大利润428 万元说明：把实际问题转化为线性规划问题的难点在于找出题目中的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载所有线性约束条件 同时本题的可行域形状较复杂，要注意分析目标函数的斜率和各边界斜率的关系：从而确定在何处取得最优解 解应用题时还应注意设出未

23、知量和做答这两个必要步骤例 15 某公司每天至少要运送180t货物 公司有 8 辆载重为 6t的A型卡车和 4 辆载重为 10t的B型卡车，A型卡车每天可往返4 次，B型卡车可往返 3 次，A型卡车每天花费 320 元，B型卡车每天花费504元，问如何调配车辆才能使公司每天花费最少分析：设A型卡车x辆，B型卡车y辆问题转化为线性规划问题同时应注意到题中的x，y只能取整数解：设A型 卡 车x辆，B型 卡 车y辆，则,1 8 03024,10,40,80yxyxyx即,3054,10,40,80yxyxyx目标函数yxz504320做如图所示的可行域，做直线0504320yxl：在可行域中打上网格

24、，找出)0,8(，)1,8(，)2,8(，)1,7(，)2,7(，)3,7(，等整数点做tyxl504320：与l平行，可见当l过)0,8(时t最小，即25603208minz(元)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载说明：整数解的线性规划问题如果取最小值时不是整数点，则考虑此点附近的整数点例 16 某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品A、B、C，每消耗一吨燃料与产品A、B、C有下列关系：现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为3:2，现需要三种产品A、B、C各 50 吨、63 吨、65 吨问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？分析：由于该

25、厂成本与两种燃料使用量有关，而产品A、B、C又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也有限制，因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式求在可行域上的最优解解：设该厂使用燃料甲x吨，燃料乙y吨，甲每吨t2元，则成本为)32(32yxttytxz因此只须求yx32的最小值即可又由题意可得x、y满足条件.65135,6397,50510yxyxyx作出不等式组所表示的平面区域（如图）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载由.6397,50510yxyx得)1156,1127(A由.

26、65135,6397yxyx得)2370,23117(B作直线032yxl：，把直线l向右上方平移至可行域中的点B时，234442370323117232yxz最小成本为t23444答：应用燃料甲23117吨，燃料乙2370吨，才能使成本最低说明：本题中燃料的使用不需要是整数吨，若有些实际应用问题中的解是整数解，又该如何来考虑呢？例 17 咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9 克、咖啡 4 克、糖 3 克，乙种饮料每杯含奶粉4 克、咖啡 5 克、糖 10 克已知每天原料的使用限额为奶粉3600 克、咖啡 2000 克、糖 3000 克如果甲种饮料每杯能获利0.7 元，乙种饮料每杯能获利1.

27、2 元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？分析：这是一道线性规划的应用题，求解的困难在于从实际问题中抽象出不等式组 只要能正确地抽象出不等式组，即可得到正确的答案解：设每天配制甲各饮料x杯、乙种饮料y杯可获得最大利润，利润总额为z元由条件知：yxz2.17.0变量x、y满足名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载.0,0,3000103,200054,360049yxyxyxyx作出不等式组所表示的可行域（如图）作直线02.17.0yxl：，把直线l向右上方平移至经过A点的位置时，yxz2.17.0取最大值由方程组：.0200054,03000103yxyx得A点坐标)240,200(A答：应每天配制甲种饮料200 杯，乙种饮料 240 杯方可获利最大名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 20 页 -学习好资料欢迎下载名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 20 页 -