2022年2022年空间夹角与距离的求 .pdf

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1、B n空间夹角与距离的求法1 异面直线所成的角：（00，900 方法一定义法：作两异面直线的平行线，构造三角形方法二在异面直线上分别取向量CDAB,，求|cosCDAB,|2直线与平面所成的角：00,900 斜线与平面所成的角：（00，900）方法一：作出斜线在平面内的射影，构造三角形解之；方法二：利用公式：cos=cos1cos2方法三：向量法：直线上的向量AB与平面的法向量n所夹的锐角的余角。即|nAB,cos|=sinnABnABA 3二面角：00，1800 方法一：定义法：在交线上取一点分别在两个面内作交线的垂线；方法二：三垂线法：在平面上取一点 A，过 A 作 AB 平面 于 B，过

2、 A 作 AC A 交线于 C，连 BC，则 ACB 为所求C B 方法三：垂面法：作二面角的垂面，与二面角有两条交线，如上图。方法四：异面直线法：在两个面内分别作交线L 的垂线 AB B 和 CD，求CDAB,即可A C L D 方法五：射影面积法S，=Scos方法六：法向量法：求出两个平面的法向量的夹角21,nn，则所求二面角的大小为=21,nn或 21,nn（要从图形中观察二面角为锐角还是钝角）4点到平面的距离（线到平面的距离、平面到平面的距离）方法一：作点到平面的垂线段，构造直角三角形来解方法二：等积法：如求点A 到平面 BCD 的距离 d D 利用 VD-ABC=VA-BCD有 d=

3、BCDSV3A B C 方法三：向量法：求点 A 到平面 的距离：在平面 内任取一点B，求向量AB在平面 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -上的法向量n上的射影长，即d=nnAB例题 1：如图，四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD，BCAD，SA底面 ABCD，且 SA=AB=BC=a，AD=2a，求（1）直线 SD 与 AC 所成的角；（600）S（2）直线 AD 与平面 SCD 所成的角；（3）二面角 SBCA 的大小；（4）二面角 ASD C 的大小；A D（5）二面角 BSCD 的大小；（6）平面 SBC 与平面 SAD 所

4、成角的大小；B C（7）点 A 到平面 SCD 的距离；（8）异面直线 SB 与 AC 的距离；例题 2：正三棱柱ABC A1B1C1的九条棱长均为2，D、E、F 分别为棱BC、CC1、AC 的中点；（2005 年广一模）A1C1（1）证明：AD BE（2）证明：AB1BE B1（3）证明：AB1平面 C1BF E（4）求二面角BAB1D 的大小；（5）求点 A1到平面 ADB1的距离。F A C B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 4 页 -例题 3：（2006 年安徽卷）如图，P是边长为 1 的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA，P在平面 ABC内的

5、射影为BF的中点 O。（）证明PABF；（）求面APB与面DPB所成二面角的大小。练习 1：如图，在四棱锥PABCD 中，ABCD 是梯形，AD BC，ABC=900，AB=a，AD=3a，sinADC=55，PA平面 ABCD，PA=a，求P（1）二面角 PCDA 的正切值；A D（2）点 A 到平面 PCD 的距离。B C 练习 2：四面体 PABC 中，PA、PB、PC 两两垂直，设PA=a，PB=b，PC=c，点 P到平面ABC 的距离为 h，求证：22221111cbahC P B A 练习3：三棱锥ABCP中，平面PBC平面ABC，PBC是边长为a的正三角，AB=2a，ABC=60

6、0，M是BC的中点（1）求证：ACPB；（2）求点M到平面PCA的距离；（3）求二面角MPAC的正弦值B A C M P A B C D E F O P H 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -练习 4：如图，ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PA=AD=a，AB=2a，E 是线段 PD 上的点，F 是线段 AB 上的点，且)0(FABFEDPEP（1）当21时，求直线EF 与平面 ABCD 所成角的正弦值；E（2）是否存在实数使异面直线EF 与 CD 所成角为600？若存在，试求出 的值；若不存在，请说明理由。A D（2005 年深一模）F B C 练习 5：（2006 年江苏卷）在正三角形ABC 中，E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点，满足 AE:EB CF:FACP:PB1:2（如图 1）。将 AEF 沿 EF 折起到EFA1的位置，使二面角 A1EFB 成直二面角，连结A1B、A1P（如图 2）（）求证：A1E平面 BEP；（）求直线A1E 与平面 A1BP 所成角的大小；（）求二面角BA1PF 的大小（用反三角函数表示）APFECBA1EFCPB图 1 图 2 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -