2022年人教高一数学指数函数讲义 .pdf

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1、第四节、指数函数一、初中根式的概念；如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做a 的立方根；（一）指数与指数幂的运算1根式的概念一般地，如果axn，那么 x 叫做a的n 次方根，其中 n 1，且 n N*当 n是奇数时，正数的 n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数 此时，a的n 次方根用符号na表示。式子na叫做根式，这里 n叫做根指数，a叫做被开方数。当 n是偶数时，正数的 n次方根有两个，这两个数互为相反数 此时，正数a的正的 n次方根用符号na表示，负的 n次方根用符号na表示正的 n次方根与负的 n次方根可以合并成na（a0）

2、。由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作00n。思考：nna=a一定成立吗？结论：当 n是奇数时，aann当 n是偶数时，)0()0(|aaaaaann例 1、（1）125.0833-41633（2）7722)(2yxyxyx=名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -2分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：)1,0(*nNnmaaanmnm)1,0(11*nNnmaaaanmnmnm0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广

3、到有理数指数幂3有理指数幂的运算性质（1）rasrraa),0(Qsra；（2）rssraa)(),0(Qsra；（3）srraaab)(),0,0(Qrba无理指数幂：一 般地，无理数指数幂),0(是无理数aa是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算，一般要将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。例 2、化简（1）?321132132)(abbababa（2）?363342baba名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -例 3、已知函数）（Raxxaxfxx?,0,20,

4、2)(,若,1)1(ff则 a=（）例 4、已知xx-2102510，则（）二、指数函数及其性质（一）指数函数的概念一般地，函数)1a,0a(ayx且叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R。注意：（1）指数函数xay中xa的系数为 1；（2）底数 a是大于 0 且不等于 1 的常数。（3）指数就是自变量 x，是变量。例 5、函数xaaay)232(2为指数函数，求 a 的取值范围。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -（二）指数函数的图象和性质研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇

5、偶性1在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）x)31(y（2）x)21(y（3）x2y（4）x3y（5）x5y2从画出的图象中你能发现函数x2y的图象和函数x)21(y的图象有什么关系？可否利用x2y的图象画出x)21(y的图象？3从画出的图象（x2y、x3y和x5y）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？4你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？总结：（1）指数函数对于110aa和，函数增减性完全相反，因而在做题时，千万不要忘记分类讨论的思想；（2）指数函数恒过（0,1）点；（3）对于在同一坐标系中底数不同的指数函数，在y 轴右侧，图像从上到下，相应的底数由大变小，

6、而在 y 轴左侧，图像从下到上，相应底数由大变小。所以指数函数的值按逆时针的方向变大。（4）函数xxayay)1(和关于 y 轴对称。例 6、a,b,c,d是不等于 1 的实数，右图为分别以a、b、c、d 为底的指数函数的图像，则 a、b、c、d 四个数的大小关系为（）A、dcba1B、cdab1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -C、dcba1D、cdba1例 7、（1）函数14)(xaxf恒过定点 P，则 P点的坐标是（）（2）函数1)(xaxf（1,0aa且）的图像恒过点 A，下列函数图象不过点 A的是（）A、xy1 B、2xyC、12xy D、)2(

7、log2xy例 8、比较指数的大小（五三：p27）画图比较：（1）比较5.27.1和3-7.1的大小比较3.03.05.17.1和的大小比较1.33.08.07.1和的大小名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -对于三个数的比较，先两两比较，根据值的大小，一般是与 0 或者 1 作比较来分组，再分别比较；而对于指数底数都不相同的幂比较大小，则可以通过一些中间值来比较。（2）设6.05.16.05.1,6.0,6.0cba，则cba,的大小关系为（）（3）已知63123,11,5cba，试比较 a，b，c 的大小。（三）利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）

8、在a，b 上，)1a0a(a)x(fx且值域是)b(f),a(f 或)a(f),b(f；（2）若0 x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；（4）当1a时，若21xx，则)x(f)x(f21；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -例 9、已知实数ba,满足等式ba)31(21）（，下列五个关系式中（1）ab0；（2）0ba；（3）ab0；（4）0ab；（5）1ab；其中不可能成立的是（）A、1 个 B、2 个C、3 个 D、4 个例 10、（1）解不等式22122x）（2）求232xxay的单调区间。（3）求3222xxy的单调区间。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -（4）求xxy4212的单调区间。与指数函数有关的复合函数问题。例 11、求函数32212xxy的单调区间。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -