2022年抽象函数奇偶性对称性周期性总结__知识点 .pdf

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1、1、抽象函数的对称性性质 1 若函数 yf(x)关于直线 xa轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a x)f(a x)（2）f(2a x)f(x)（3）f(2a x)f(x)性质 2 若函数 yf(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a x)f(a x)（2）f(2a x)f(x)（3）f(2a x)f(x)易知，yf(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或 2）当 a0 时的特例。2、复合函数的对称性性质 3 复合函数 yf(a x)与 yf(b x)关于直线 x（ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yf(a x)与 yf(b x)关于点（ba）/2，0

2、）中心对称推论 1、复合函数 yf(a x)与 yf(a x)关于 y 轴轴对称推论 2、复合函数 yf(a x)与 yf(a x)关于原点中心对称3、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且T2|a b|性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且T2|a b|性质 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且T4|a b|例 1、函数 yf(x)是定义在实数集 R上的函数，那么yf(x 4)与

3、 yf(6 x)的图象之间（D）A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（5，0）对称 D关于点（1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数y f(x 4)与 yf(6 x)之间关于点（64）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C）练习、（河南省郑州市高中毕业班第一次质量预测数学（理）定义在 R 上的函数()f x的 反 函数 为1()fx，且 对 于任 意xR，都 有()()3fxf x，则11(1)(4)fxfx（）A0 B2C2 D24x答案：A名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一

4、.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：对于()f x定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()()f xTf x恒成立，则称函数()f x具有周期性，T叫做()f x的一个周期，则kT（,0kZ k）也是()fx的周期，所有周期中的最小正数叫(

5、)f x的最小正周期。分段函数的周期：设)(xfy是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(xfyabTbax,。把)()(abKKTxxfy轴平移沿个单位即按向量)()0,(xfykTa平移，即得在其他周期的图像：bkTakTxkTxfy,),(。bkTa,kT x)(ba,x)()(kTxfxfxf2、奇偶函数：设baabxbaxxfy,),(或若为奇函数；则称)(),()(xfyxfxf若为偶函数则称)()()(xfyxfxf。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：点对称；关于点与),()2,2(),(baybxaByxA对称；关于与点),(),(),(baybx

6、aBybxaA成中心对称；关于点与函数),()2(2)(baxafybxfy成中心对称；关于点与函数),()()(baxafybxafyb成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),baybxaFyxF（2）轴对称：对称轴方程为：0CByAx。)(2,)(2(),(),(2222/BACByAxByBACByAxAxByxByxA与点关 于名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -直线成轴对称；0CByAx函数)(2()(2)(2222BACByAxAxfBACByAxByxfy与关于直线0CByAx成轴对称。0)(2,)(2(0),(2222BACByA

7、xByBACByAxAxFyxF与关于直线0CByAx成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）若()()fxaf xb，则()fx具有周期性；若()()f axf bx，则()f x具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称推论 1：)()(xafxaf)(xfy的图象关于直线ax对称推论 2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称推论 3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cb

8、a对称推论 1、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论 2、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论 3、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(xfy与)(xfy图象关于 Y轴对称2、奇函数)(xfy与)(xfy图象关于原点对称函数3、函数)(xfy与()yf x图象关于 X轴对称4、互为反函数)(xfy与函数1()yfx 图象关于直线yx对称名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -5.函数)(xa

9、fy与)(xbfy图象关于直线2abx对称推论 1:函数)(xafy与)(xafy图象关于直线0 x对称推论 2:函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称推论 3:函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 若函数 yf(x)关于直线 xa轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a x)f(a x)（2）f(2a x)f(x)（3）f(2a x)f(x)性质 2 若函数 yf(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a x)f(a x)（2）f(2a x)f(x)（3）f(2a x)f(x

10、)易知，yf(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或 2）当 a0 时的特例。2、复合函数的奇偶性定义 1、若对于定义域内的任一变量x，均有 fg(x)fg(x)，则复数函数 yfg(x)为偶函数。定义 2、若对于定义域内的任一变量x，均有 fg(x)fg(x)，则复合函数 yfg(x)为奇函数。说明：（1）复数函数 fg(x)为偶函数，则 fg(x)fg(x)而不是 f g(x)fg(x)，复合函数 yfg(x)为奇函数，则 fg(x)fg(x)而不是f g(x)fg(x)。（2）两个特例：yf(x a)为偶函数，则 f(x a)f(xa)；yf(xa)为奇函数，则 f(xa)f(a x)（3

11、）yf(x a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数yf(x)关于直线 xa 轴对称（或关于点（a，0）中心对称）3、复合函数的对称性性质 3 复合函数 yf(a x)与 yf(b x)关于直线 x（ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yf(a x)与 yf(b x)关于点（ba）/2，0）中心对称推论 1、复合函数 yf(a x)与 yf(a x)关于 y 轴轴对称推论 2、复合函数 yf(a x)与 yf(a x)关于原点中心对称4、函数的周期性名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页 -若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量x 点有下列条

12、件之一成立，则函数yf(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。f(x a)f(x a)f(x a)f(x)f(x a)1/f(x)f(x a)1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且T2|a b|性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且T2|a b|性质 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且T4|a b|6、函数对称性的应用（1）若kyyhxxkhxfy2,2),

13、)(/对称，则关于点（,即kxhfxfxfxf2)2()()()(/nkxhfxhfxhfxfxfxfnnn2)2()2()2()()()(1121（2）例题 1、1)1()(2121)(xfxfaaaxfxx）对称：，关于点（;2)()(1012214)(1xfxfxxfxx）对称：，关于（1)1()2121)0,(11)(xfxfxRxxf（）对称：，关于（2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：0)()(xfxf。3、若)(),()()2()(xfyxafxafxafxf则或的 图 像 关 于 直 线ax对称。设个不同的实数根，则有nxf0)(naxaxxaxxaxxxxnnn)2()2

14、()2(22221121.),212(111axxaxkn时，必有当（四）常用函数的对称性名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -三、函数周期性的几个重要结论1、()()fxTfx(0T)(xfy的周期为 T，kT(kZ)也是函数的周期2、()()f xafxb)(xfy的周期为abT3、)()(xfaxf)(xfy的周期为aT24、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT25、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT26、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT37、1)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT28、)(1)(1)(xfxfa

15、xf)(xfy的周期为aT49、)()()2(xfaxfaxf)(xfy的周期为aT610、若.2,)2()(,0pTppxfpxfp则11、)(xfy有两条对称轴ax和bx()ba)(xfy周期)(2abT推论：偶函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT212、)(xfy有 两 个 对 称 中 心)0,(a和)0,(b()ba)(xfy周 期)(2abT推论：奇函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT413、)(xfy有 一 条对 称 轴ax和 一 个 对 称 中 心)0,(b()ba()f x的)(4abT四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应

16、用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例 1.（1996 年高考题）设)(xf是),(上的奇函数，),()2(xfxf当10 x时，xxf)(，则)5.7(f等于（-0.5）（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.例 2（1989 年北京市中学生数学竞赛题）已知)(xf是定义在实数集上的函数，且)(1)(1)2(xfxfxf，,32)1(f求)1989(f的值.23)1989(f。2、比较函数值大

17、小例 3.若)(Rxxf是以 2 为周期的偶函数，当1,0 x时，,)(19981xxf试比较)1998(f、)17101(f、)15104(f的大小.解：)(Rxxf是以 2 为周期的偶函数，又19981)(xxf在1,0上是增函数，且1151419161710，).15104()1998(17101(),1514()1916()171(ffffff即3、求函数解析式例 4.（1989 年高考题）设)(xf是定义在区间),(上且以 2 为周期的函数，对Zk，用kI 表示区间),12,12(kk已知当0Ix时，.)(2xxf求)(xf在kI 上的解析式.解：设1211212),12,12(kx

18、kxkkkx0Ix时，有22)2()2(121,)(kxkxfkxxxf得由)(xf是以 2 为周期的函数，2)2()(),()2(kxxfxfkxf.例 5 设)(xf是定义在),(上以 2 为周期的周期函数，且)(xf是偶函数，在区间3,2上，.4)3(2)(2xxf求2,1x时，)(xf的解析式.解：当2,3x，即3,2x，4)3(24)3(2)()(22xxxfxf名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -又)(xf是以 2 为周期的周期函数，于是当2,1x，即243x时，).21(4)1(243)4(2)()4()(22xxxxfxfxf有).21(4

19、)1(2)(2xxxf4、判断函数奇偶性例 6.已知)(xf的周期为 4，且等式)2()2(xfxf对任意Rx均成立，判断函数)(xf的奇偶性.解：由)(xf的周期为 4，得)4()(xfxf，由)2()2(xfxf得)4()(xfxf，),()(xfxf故)(xf为偶函数.5、确定函数图象与x 轴交点的个数例 7.设函数)(xf对任意实数 x 满足)2()2(xfxf，)7(xf,0)0()7(fxf且判断函数)(xf图象在区间30,30上与 x 轴至少有多少个交点.解：由题设知函数)(xf图象关于直线2x和7x对称，又由函数的性质得)(xf是以 10 为周期的函数.在一个周期区间10,0上

20、，,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且xffffff故)(xf图象与 x轴至少有 2个交点.而区间30,30有 6 个周期，故在闭区间30,30上)(xf图象与 x轴至少有13 个交点.6、在数列中的应用例 8.在数列na中，)2(11,3111naaaannn，求数列的通项公式，并计算.1997951aaaa分析：此题的思路与例2 思路类似.解：令,1tga则)4(1111112tgtgtgaaa名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -4)1(11,4)1()42()4(1)4(111111223ntgaaantgatgtgtgaaan

21、nnn于是不难用归纳法证明数列的通项为：)44(ntgan，且以 4 为周期.于是有 1，5，9 1997 是以 4 为公差的等差数列，1997951aaaa，由4)1(11997n得总项数为 500 项，.350050011997951aaaaa7、在二项式中的应用例 9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.解：191919191)191(9291922909291192920929292CCCC1)137()137()137()137()1137(9291922909291192920929292CCCC因为

22、展开式中前 92 项中均有 7 这个因子，最后一项为1，即为余数，故9292天为星期四.8、复数中的应用例 10.（上海市 1994 年高考题）设)(2321是虚数单位iiz，则满足等式,zzn且大于 1 的正整数 n中最小的是（A）3 ；（B）4 ；（C）6 ；（D）7.分析：运用iz2321方幂的周期性求值即可.解：10)1(,11nnnzzzzz，)(.4)(,1).(13),(31,31,1min3BnnkNkknNkknnz故选择最小时即的倍数必须是名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -9、解“立几”题例 11.ABCD 1111DCBA是单位长方

23、体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是,111DAAA黑蚁爬行的路线是.1BBAB它们都遵循如下规则：所爬行的第2i段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线（其中)Ni.设黑白二蚁走完第1990 段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（A）1；（B）2；（C）3；（D）0.解：依条件列出白蚁的路线CBCCCDDAAA111111,1AABA立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.1990=64331，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后

24、黑蚁在1D 点，白蚁在 C点，故所求距离是.2例题与应用例 1：f(x)是 R上的奇函数 f(x)=f(x+4)，x0，2 时 f(x)=x，求f(2007)的值例 2：已知 f(x)是定义在 R上的函数，且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求 f(2009)的值。故 f(2009)=f(2518+1)=f(1)=2 例 3：已知 f(x)是定义在 R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当0,2x时，f(x)=2x+1，则当6,4x时求 f(x)的解析式例4：已知 f(x)是定义在 R上的函数，且满足 f(x+999)=)(1xf，f(999+x)=f(999x)，试判

25、断函数 f(x)的奇偶性.例 5：已知 f(x)是定义在 R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当0,2x时，f(x)是减函数，求证当6,4x时 f(x)为增函数例 6：f(x)满足 f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若 f(a)=-f(2000)，a5，9 且 f(x)在5，9 上单调.求 a 的值.例 7：已知 f(x)是定义在 R上的函数，f(x)=f(4x)，f(7+x)=f(7x),f(0)=0，求在区间 1000，1000上 f(x)=0至少有几个根？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -解：依题意 f(x)关于 x=2，x=

26、7 对称，类比命题2（2）可知 f(x)的一个周期是 10 故 f(x+10)=f(x)f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0 即在区间(0，10 上，方程 f(x)=0至少两个根又 f(x)是周期为 10 的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程 f(x)=0在区间 1000，1000上至少有 1+1020002=401个根.例 1、函数 yf(x)是定义在实数集 R上的函数，那么yf(x 4)与 yf(6 x)的图象之间（D）A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（5，0）对称 D关于点（1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数y f(x 4)与 yf(6 x

27、)之间关于点（64）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C）例 2、设 f(x)是定义在 R上的偶函数，其图象关于x1 对称，证明 f(x)是周期函数。（理工类第 22 题）例 3、设 f(x)是（，）上的奇函数，f(x 2)f(x)，当 0 x1时 f(x)x，则 f(7.5)等于（-0.5）（1996 年理工类第 15 题）例 4、设 f(x)是定义在 R上的函数，且满足f(10 x)f(10 x)，f(20 x)f(20 x)，则 f(x)是（C）A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数六、巩固练习1、函数 yf(x

28、)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x 4)与 yf(6 x)的图象（）。A关于直线 x5 对称B关于直线 x1 对称C关于点（5，0）对称D关于点（1，0）对称2、设 f(x)是（，）上的奇函数，f(x 2)f(x)，当 0 x1时，f(x)x，则 f(7.5)=（）。A0.5 B0.5 C1.5 D1.5 3、设 f(x)是定义在（，）上的函数，且满足f(10 x)f(10 x)，f(20 x)f(20 x)，则 f(x)是（）。A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C 奇函数，又是周期函数D 奇函数，但不是周期函数4、f(x)是定义在 R上的偶函数，图象关于x1 对称，证明 f(x)是周期函数。参考答案：D，B，C，T2。5、在数列12211(*)nnnnxxxxxxnN 中，已知，求100 x=-1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -