2022年一元二次方程与根的分布 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载一元二次方程根的分布设一元二次方程02cbxax（0a）的两实根为1x，2x，且21xx。k为常数。则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）有以下若干定理。【定理 1】21xxkkabkafacb20)(042【定理 2】kxx21kabkafacb20)(042。【定理 3】21xkx0)(kaf。推论 1210 xx0ac。推论 2211xx0)(cbaa。【定理 4】有且仅有11xk（或2x）2k0)()(21kfkf名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -学习好资料欢迎下载【定理 5】221211pxpkxk0)(0)(0

2、)(0)(02121pfpfkfkfa或0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa此定理可直接由定理4 推出，请读者自证。【定理 6】2211kxxk2121220)(0)(004kabkkfkfaacb或2121220)(0)(004kabkkfkfaacb三、例题与练习【例 1】已知方程02112mxx的两实根都大于1，求m的取值范围。（412912m）（2）若 一 元 二 次 方 程03)1(2xmmx的 两 个 实 根 都 大 于-1，求m的 取 值 范 围。（6252mm或）（3）若 一 元 二 次 方 程03)1(2xmmx的 两 实 根 都 小 于2，求m的 取 值 范

3、 围。（62521mm或）【例 2】已 知 方 程032222mmxx有 一 根 大 于2，另 一 根 比2 小，求m的 取 值 范 围。（221221m）（2）已 知 方 程012)2(2mxmx有 一 实 根 在0和1之 间，求m的 取 值 范 围。（3221m）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -学习好资料欢迎下载（3）已知方程012)2(2mxmx的较大实根在0 和 1 之间，求实数m的取值范围。变式：改为较小实根（不可能；221m）（4）若 方 程0)2(2kxkx的 两 实 根 均 在 区 间（1、1）内，求k的 取 值 范 围。（21324k）

4、（5）若方程012)2(2kxkx的两根中，一根在0 和 1 之间，另一根在1 和 2 之间，求k的取值范围。（3221k）（6）已知关于x的方程062)1(22mmmxxm的两根为、且满足10，求m的取值范围。（73m或72m）【例 3】已知关于 x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围.本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加

5、以限制.解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(mmRmmmfmffmf2165m.(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组10,0,0)1(,0)0(mff.01,2121,21,21mmmmm或(这里 0m1 是因为对称轴x=m应在区间(0，1)内通过)知识要点：1一元二次方程与二次函数有着密切的关系对于一元二次方程实根的分布问题，可借助于二次函数的图象，利用数形结合的思想对问题作等价转换，从顶点，判别式，对称轴，自变量取

6、一些关键值时函数值的符号，从而列出相应的方程或不等式，使问题得到解决2实系数一元二次方程根的各种情况：(1)有两零根b=c=0；(2)至少有一零根c=0；(3)只有一零根b 0，且 c=0；(4)有一正根和一负根ca0；(6)有一负根和一零根c=0 且ba0)的两根是，且，令 f(x)=ax2+bx+c(1)若 m n 0，f(n)0；(2)若 m，则 f(m)m，m，则0，f(m)0，b/2am；(4)若 n，0，f(m)0，n b/2am；等等例题分析：1已知，是 x2+(2m-1)x+4-2m=0的两个实根，且2，求 m 的取值范围2关于 x 的方程 x2mx+4=0 在 1 x 1 上

7、有解，求m 的取值范围3已知方程3x25x+a=0 的两根，满足 2 0，1 3，求 a的取值范围4要使方程2x2+3x+5m=0 的任一根都小于1，求 m 的取值范围*5 实数 a 在什么范围内时，关于x 的方程 3x25x+a=0 的一个根大于 2 且小于 0，另一个根大于1 且小于 3?习题：1方程 x2+2x+1 a=0 有两个相异的根，则()Aa0 Ca1 Da1 2方程 x2+x+a=0 有两个负根，则a 的范围是()Aa0 Ba14C00 3试确定 m 的值，使方程3x2 10 x+m=0 有(1)两正根；(2)一正一负根；(3)一根是零；(4)一根是 1；(5)两根互为倒数名师

8、资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -学习好资料欢迎下载4若方程2ax2x 1=0 在 0 x1 内恰有一解，则a 的取值范围是 _5方程x22mx+2m+3=0 有两个负数根，求实数m 的范围若方程7x2(k+13)x+k2k 2=0 有两实数根x1，x2，且 0 x11x22，求 k 的范围*6m 是何实数时，关于x 的方程 x2m2x+m2=0 的两个根均不小于2?*7若关于x 的方程 mx2+(m 3)x+1=0 至少有一个正根，求实数m 的范围*8当 k 为何值时，y=x2+kx+2 与 x 轴的交点都在点(1，0)的左侧?名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -