2022年三角函数中辅助角公式的应用只是分享 .pdf

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1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑辅助角公式在高考三角题中得应用对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosxabxaabxbab222222(sincos)。上式中的aab22与bab22的平方和为1，故可记aab22=cos，bab22=sin，则。)xs i n(ba)si nxco sco sx(s i nbay2222由 此 我 们 得 到 结 论：asinx+bcosx=abx22sin()，（*）其 中 由aabbab2222cos,sin来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=As

2、in(x)+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。一.求周期例 1 求函数yxxx24432cos()cos()sin的最小正周期。解：)6x2sin(2x2cosx2sin3x2sin3)2x2sin(x2sin3)4xsin()4xcos(2y所以函数y 的最小正周期T=。评注：将三角式化为y=Asin(x)+k 的形式，是求周期的主要途径。二.求最值例 2.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若x,02，求 f(x)的最大值和最小值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -资料收集于网络，如有侵权请

3、联系网站删除word 可编辑解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=224sin()x。由0242434 xx。当244x，即 x=0 时，sin()24x最小值22；当24238xx，即时sin()24x取最大值1。从而 f(x)在,02上的最大值是1，最小值是2。三.求单调区间例3.已知向量，axxbx(cos,tan()(sin()2224224，tan()x24，令ba)x(f，求函数 f(x)在0，上的单调区间。解：fxab()。)4xsin(2xcosxsin12xcos22xcos2xsin22xtan112xtan

4、2xtan12xtan1)2xcos222xsin22(2xcos22)42xtan()42xtan()42xsin(2xcos222先由04454 xx。反之再由4420424544；xxxx。所以 f(x)在04，上单调递增，在4，上单调递减。评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为y=Asin(x+)+k 的形式，是求单调区间的通法。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑四.求值域例 4.求函数f xkxkxx()cos()cos()sin

5、()613261322 332(,)xR kZ的值域。解：。)2x2sin(46sin)x23cos(6cos)x23sin(4)x23sin(32)x23cos(2)x23sin(32)x23k2cos()x23k2cos()x(f所以函数 f(x)的值域是-4，4。五.图象对称问题例 6.如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8对称，那么a=()（A）2（B）2（C）1（D）-1 解：可化为yax122sin()。知x8时，y 取得最值 12a，即sin()cos()()()2828122111211210122222aaaaaaaaaD选（）。六.图象变换例 7 已知函

6、数。Rx,1xcosxsin23cos21y2该函数的图象可由yx xRsin()的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑解：yxx14123421(cos)sin12262654122654(sincoscossin)sin()xxx。可将函数y=sinx 的图象依次进行下述变换：（1）向左平移6，得到 y=sin(x+6)的图象；（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的21倍，纵坐标不变，得y=)6x2sin(的图象；（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的

7、21倍，横坐标不变，得y=21sin(2x+6)的图象；（4）将（3）中所得图象向上平移45个单位长度，得到y=21sin(2x+6)+45的图象。综上，依次经过四步变换，可得y=1xcosxsin23xcos212的图象。七.求值例 8.已知函数f(x)=xsin32+sinxcosx。设（0，），f(2)=2341，求 sin的值。解：f(x)=x2sin21)x2cos1(23=sin23)3x2(。由 f(2)=sin(3)412323，得 sin(3)=41。又（0，）)34,3(3。而 sin41233，故+),2(3，则cos(+3)=415。sin=sin3)3(=sin3si

8、n)3cos(3cos)3(名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑=23)415(2141=8531。评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求sin时，巧用凑角法：=（+3）-3，并且判断出+3的范围，进而求出cos(+3)的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。八.求系数例 9.若函数 f(x)=)2xcos(2xsina)x2sin(4x2cos1的最大值为2，试确定常数a 的值。解：f(x)=cos2xsinaxcos4xcos222x=xsin2axcos21=)xsin(4a41

9、2，其中角由 sin=22a1acos,a11来确定。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑由已知有44a412，解得 a=15。九.解三角不等式例 10.已知函数f(x)=sin2x+sin2x，x2,0，求使 f(x)为正值的x 的集合。解：f(x)=1-cos2x+sin2x=1+)4x2sin(2。由 f(x)0，有 sin(2x-,22)4则得 2k-45k24x24，故 kxk+)Zk(43。再由 x0,2，可取 k=0，1，得所求集合是47x，43x0 x或。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -