2022年求三角函数最值的四种方法 .pdf

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1、求三角函数最值的四种方法解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些.下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略1配方转化策略对能够化为形如yasin2xbsin xc或yacos2xbcos xc的三角函数最值问题，可看作是sin x或 cos x的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决 典例 1 求函数y5sin xcos 2x的最值 解 y5sinx()12sin2x 2sin2x5sin x1 2 sin x542338.1sin x1，当 sin x 1，即x2k2，kZ时，ymin28116338 6

2、；当 sin x 1，即x2k2，kZ时，ymax21163384.题后悟道 这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sin x或cos x的二次函数的形式；其二要正确配方；其三要把握三角函数sin x或 cos x的范围，以防止出错，若没有特别限制其范围是 1,1 2有界转化策略对于所给的三角函数能够通过变形化为形如yAsin(x)等形式的，常常可以利用三角函数的有界性来求解其最值这是解决三角函数最值问题常用的策略之一 典例 2 设函数f(x)4cos x6sin xcos(2 x)，其中 0.求函数yf(x)的最值 解 f(x)432cos x12sin xsin

3、 xcos 2 x23sin xcos x2sin2xcos2xsin2x3sin 2 x1，因为 1sin 2x1，所以函数yf(x)的最大值为31，最小值为13.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 3 页 -题后悟道 求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数的有界性求其最值3单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略对于三角函数来说，常常是先化为yAsin(x)k的形式，再利用三角函数的单调性求解 典例 3 函数f(x)22sinx432在，1712上的最大值为_，最小值为_ 解析 由 x1712，得5

4、4x453.因为f(x)22sinx432在，54上是减函数，在54，1712上是增函数，且f()f1712，所以当x54时，f(x)有最小值为22sin544322232.当x 时，f(x)有最大值 2.答案 2 2232 题后悟道 这类三角函数求最值的问题，主要的求解策略是先将三角函数化为一个角的三角函数形式，然后再借助于函数的单调性，确定所求三角函数的最值4数形结合转化策略对于形如ybsin xacos x的三角函数最值问题来说，常常利用其几何意义，将ybsin xacos x视为定点(a，b)与单位圆上的点(cos x，sin x)连线的斜率来解决 典例 4 求函数ysin x2cos

5、 x(0 x)的最小值 解 将表达式改写成y0sin x2cos x，y可看成连接点A(2,0)与点P(cos x，sin x)的直线的斜率由于点(cos x，sin x)的轨迹是单位圆的上半圆(如图)，所以求y的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小设过点A的直线与半圆相切于点B，则kABy0.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 3 页 -可求得kAB tan5633.所以y的最小值为33此时x3.题后悟道 这类三角函数的最值问题，求解策略就是先将函数化为直线斜率的形式，再找出定点与动点满足条件的图形，最后由图形的几何意义求出三角函数的最值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 3 页 -