2022年2022年量子力学第四版卷一习题答案借鉴 .pdf

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1、第二章：函数与波动方程P69 当势能)(rV改变一常量C 时,即crVrV)()(,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?(解)设原来的薛定谔方程式是0)(2222xVEmdxd将方程式左边加减相等的量C得:0)(2222CxVCEmdxd这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解)(x,从能量本征值来说,后者比前者增加了C。设粒子势能的极小值是Vmin 证明EnVmin(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量ExdrVmE322*)(2其中动能平均值一定为正:xdmT322*)2(=dm2*2=dmdm*2*22)(2用高斯定理:dmsdmTB*2*22)(2=dm*2

2、2中间一式的第一项是零,因为假定满足平方可积条件,因而0T因此VVTE,能让能量平均值VVmin因此VEmin令n(本征态)则EnE而VEnmin得证2.1 设一维自由粒子的初态/00,xipex，求tx,。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -解：/2200,tmpxpietx2.2 对于一维自由运动粒子，设)()0,(xx求2),(tx。（解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是p，能量是 E，为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（许多平面波的叠加），其波函数：pdeptxiEpxip)()(

3、21),(（1）这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令0t应有pdepxpxip)(21)0,(（2）但按题意，此式等于)(x。但我们知道一维函数一种表示是：kdexikxk21)(（3）将（2）（3）二式比较：知道pk，并且求得21)(p，于是（1）成为pdetxiEpxip)(21),(（4）这是符合初条件的波函数，但Ep,之间尚有约束条件mpE22（因为是自由粒子，总能量等于动能），代入（4）pdetxpimppxi)2(221),(（5）将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果：pdeetxpimxpmittimx)2(22221),(利用积分de2：timetxti m

4、x221),(22写出共轭函数（前一式i变号）：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -tmtmtx22)2(1),(22本题也可以用Fresnel 积分表示，为此可将（6）式积分改为：dptmxpmtidptmxpmt22)(2sin)(2cos用课本公式得timxetmitxtx2*2)1(21),(),(，两者相乘，可得相同的结果。2.2 设一维自由粒子的初态xx 0,，求2,tx。提示：利用积分公式2sincos22dd或4expexp2idi。解：作 Fourier 变换：dpepxipx210,，21)(210,21dxexdxexpipxipx，

5、dpeptxEtpxi/21,（mpE22）dpepxtmpi2221dptmxpmitetimx222exp212令222tmxpmt，则42exp2221221,24/22222tmxitmeetmdetmetxitimxitimxtmtx2,2。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 14 页 -2.3设一维自由粒子初态为0,x，证明在足够长时间后tmxtimxitmtx2exp4exp,2式中dxexkikx0,21是0,x的 Fourier 变换。提示：利用xeexii24/lim。证：根据平面波的时间变化规律tkxiikxee，mkE22，任意时刻的波函数为d

6、kektxmkkxi2/t221,22/2exp212tmxkmtikdketimx（1）当时间足够长后（所谓t），上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取mt 2，tmxku，（2）参照本题的解题提示，即得kdtmxkketmetxitimx4/2221,2tmxeetmtimxi2/4/2（3）22,tmxtmtx（4）物理意义：在足够长时间后，各不同k 值的分波已经互相分离，波群在x处的主要成分为tmxk，即mktx，强度2k，因子tm描述整个波包的扩散，波包强度t12。设整个波包中最强的动量成分为0k，即0kk时2k最大，由（4）式可见，当t足够大以后，2的最大值出现在0ktmx处，

7、即mtkx0处，这表明波包中心处波群的主要成分为0k。2.4 1.7 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -2.5 设质量为m的粒子在势场)(rV中运动。（a）证明粒子的能量平均值为wrdE3，Vmw*22（能量密度）（b）证明能量守恒公式0stw，*22ttms（能流密度）证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化）VTrdVmE322*2（1）VrdV*3*3222*322rdmmrdT（2）其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此*322rdmT（3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2*2Vmw（4）且能量平均值w

8、rdE3。（b）由（4）式，得*2222*22*2*2tt2t2ttttttt2tt)t()t(2EsVmVmsVVmVVmtwtEs（：几率密度）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -（定态波函数，几率密度不随时间改变）所以0stw。粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式：222mti*22*2mti又设2*2ttmS则有SttttStW*公式得证。2.6 考虑单粒子的Schr?dinger 方程trriVrVtrmtrti,2,2122（1）1V与2V为实函数。（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为*32*3

9、22rdVSdimrddtdS证：（a）式（1）取复共轭，得*21*22*2iVVmti（2）*（1）-（2）,得*2*22*22*2*2222iVmVimti*2*22Vimt（3）即022Vjt，此即几率不守恒的微分表达式。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -利用高斯定理将右方第一项变形：xdVxdmitP32*3*2)(2xdVSdmi32*2)(2（3）如果粒子的运动范围是无限的，并且符合平方可积条件，则在无限远处0，0*，因而（3）式的面积分等于0。xdxVtP32*)(2（4）这证明总几率xdP3*不守恒，因为0tP。（b）式（3）对空间体积积

10、分，得*23*233*32222rVdSdimrVdrdimrdtS上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（Sdj），而第二项代表体积中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。2.7 1.8 2.8 在非定域势中粒子的薛定谔方程式是：xdtxxxVtxmtxtix322/,2，（1）求几率守恒对非定域势的要求。此时，只依赖于波函数在空间一点的几率波是否存在？解按题意，是要求写出几率守恒的条件，从这个条件寻出xxV，应当遵守的要求。几率守恒的条件是：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -03*xdt或03*xdtt(2)与13 题类似

11、，可写出1 的共轭方程式：xdtxxxVtxmtxtix3*22*2，(3)将1 和3 中的t和t*想等同的式子代入到2式中去，就得到如下的条件：01233*3*22*xdxdtxxxVtxtxxxVtxixdmixx，将前式等号左方第一项变成面积分高斯定理，第二项变成六重积分：01233*xdxdtxxxVtxtxxxVtxisdmixs，(4)前式等号左方第一项由于波函数平方可积条件（时当，xx00*）可消去，因tx，和tx，形式相同,xx,xxxx对易，对易：033*xdxdtxxxVxxVtxx，（5）这积分式定积分，它等于零的可能性要求被积函数为零，即：xxVxxV，*因此xxV，必

12、须是xx，实函数。2.9 设 N 个粒子的哈密顿量为：V2?1212jiNiijiNirrmH),(21trrrN是它的任一态函数，定义：),(),(trtri名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -*3333311),(Nrdrdrdtr)(2),(*11*3333311Nrdrdrdimtrj求证：0jt证明 按定义：),(trttiiiNiitrdrdrdrd*3131313iNiittrdrdrdrd)(*3131313iitrt),(多粒子的体系的状态),(21trrrN应当满足多粒子薛定谔方程式，写出这个方程式和其共轭方程式：jkjkkkvmti)

13、2(22（6a）jkjkkkvmti*22*)2(6b)将前二式等式右方的式子代替左方的t，t*，代进式)(2*22*131313kkkiiiimrdrdrdt)(1*131313jkjkjkiivvirdrdrd)(2*22*3131313kkkNiiimrdrdrdrd)(2*3131313kkkkNiiimrdrdrdrd又待证的公式的等号左方第二项是：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 14 页 -),(),(),(222111trjtrjtrjiiiiiiitrj),()(2*,3131313iiiiNiirdrdrdrdimikkkkNiiiiimrdrd

14、rdrdtt)(2*,3131313将式两个求和合一，注意到ki的项不存在，因而等值异号。2.10*设在曲线坐标（321qqq）中线元 ds 表为kiikdqdqgds2，写出这曲线坐标中的薛定谔方程式，写出球面坐标系中的薛定谔方程式。（解）332211dqqxdqqxdqqxdx同样关于 y,z 有类似的二式。（这里为书写方便q 的上标改成下标。）*参看 Amer.J.Phys.Vol.41.1973-11 2222dzdydxds21112121dqqzqyqx22122222dqqzqyqx23132323dqqzqyqx212121212dqdqqzqzqyqyqxqx32323232

15、2dqdqqzqzqyqyqxqx131313132dqdqqzqzqyqyqxqx令）（kixyzikqxqxg为坐标变换系数：设沿曲线坐标等势面的单位矢量是321aaa，则kzjyixgrad名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -333322221111qgaqgaqga1332211332211ggqaggg1111332213322112qgggqggggraddiv3332211322211332qgggqqgggq（1）代入直角坐标薛定谔方程式：222233112211332213322112321qgggqqgggqggmgtqqqtitqq

16、qqqqVqgggq32132123322113（2）但321321321321tqqqzqqqyqqqxtqqq，321qqqxVV在球坐标情形cossinsincossinrzryrx，式正交坐标系122211rzryrxgrzyxg22222sin22233rzyxg代入后得，rVrrrmrtisin1sinsinsin22222化简得名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -2.11 1.32.11 写出动量表象中的不含时Schr?dinger 方程。解：经典能量方程rVmpE22在动量表象中，只要作变换pp，dpdir所以在动量表象中，Schr?di

17、nger 为：pEpdpdiVmp22。2.11 写出动量表象中的薛定谔方程式。解：本题可有二种：A：含时间薛定谔方程式，B:定态薛定谔方程式。A：写出含时间薛氏方程式：xVmti222（1）为将前式变换成动量表象，可写出含时间的表象变换式：pdetptxxpi3/2/321，（2）xdetxtpxpi3/2/321，（3）为了能用（3）变换（1）式，将（1）式遍乘hxpie/2/321，对空间积分：xdetixpi3/2/321名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 14 页 -xdexVxpi3/2/321左方变形tptixdetxtixpi，3/2/321(4)等

18、号右方第一积分是可以用三重积分的分部积分来变形的，这式写成标量：dxdydzezyxmzpypxpizyx/22222222/3221(5)计算（5）的 x 部分分部积分法：dxdydzexzpypxpiz y xzyx/22dydzexdzpypxpiz y xzyx/dydzexzpypxpix yzyx/）（dxdydzexipzpypxpixzyx/dydzdeipz y xzpypxpixzyx/）（dydzeipzpypxpix yxzyx/）（dxdydzeipz y xzpypxpixzyx/2）（）（dxdydzepz y xzpypxpixzyx/22）（关于2222zy，

19、的积分按同法计算，（5）式的结果是dxdydzetxpppmxp izyx/222222/3221，/2/32212xpietxhmp，tpmp，22再计算（4）式右方第二积分xdetxxVxpi3/2/321，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -pdxdexVtpxppip33/321）（，pdtpppGp3，（7）但最后一个积分中xdexVhppGxppip3/321）（，指坐标空间，p指动量相空间，最后将（4）（6）（7）综合起来就得到动量表象的积分方程式如下：pdtpppGtpmptptip322，（8）若要将定态薛定谔方程式从坐标表象变成动量表象，运算步骤和上面只有很少的差别，设粒子能量为E，坐标表象的薛氏方程：0222xxVExm动量表象方程也是积分方程式，其中G（pp，）是这个方程式的核（Kernel）0222pdtpppGpEpmpp，（9）2.12，2.13，没找到名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -