考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤 .pdf

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1、.第一讲极限与连续主要内容概括（略）重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题1求下列极限：（1）)12)(12(1531311limnnn；（2）11lim332kknkn；（3）nknnkk1)1(1lim；2求下列极限：（1）nnnnn22241241141lim；3求下列极限：（1）22222212111limnnnnn；（2）nnnn!lim；（3）ninnin1211lim。类型二：利用重要极限求极限的问题1求下列极限：（1）)0(2cos2cos2coslim2xxxxnn；（2）nnnnnn1sin)1(lim1；2求下列极限：（1）xxxcos1120sin1li

2、m；（3）)21ln(103sin1tan1limxxxxx；（4）21coslimxxx；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题1求下列极限：（1）)cos1(sin1tan1lim0 xxxxx；（2）)cos1(limtan0 xxeexxx；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 46 页 -.（3）1)3cos2(1lim30 xxxx；（4）)tan11(lim220 xxx；（5）203)3(limxxxxx；（6）设Aaxxfxx1)sin)(1ln(lim0，求20)(limxxfx。2求下列极限：xxexxxsincoslim3202类型四：

3、极限存在性问题：1设01,111nnxxx，证明数列nx收敛，并求nnxlim。2设)(xf在),0上单调减少、非负、连续，),2,1()()(11ndxxfkfannkn，证明：nnalim存在。类型五：夹逼定理求极限问题：1求101sinlimdxxxnn；2),()(lim1非负cbacbannnnn；3)0(21lim2xxxnnnn。类型六：含参数的极限问题：1设0)3sin(lim230baxxxx，求ba,；2设3)11lim2baxxxx，求ba,；类型七：中值定理法求极限：1、)1arctan(arctanlim2nnnn；2、)(lim1211212xxxeex。类型八：变

4、积分限函数求极限：1、)11)(tan(2coslim200 xxxxxtdtextx。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 46 页 -.2、设)(xf连续，且1)1(f，则1)(lim3111xdtxtfxx。二、连续与间断的判断1设01,110,00,)1ln()(xxxxxxxxxf，讨论函数)(xf在0 x处的连续性。2讨论0,10,)12()12()(11xxxfxx在0 x处的连续性。三、连续性命题的证明1设),)(aCxf且)(limxfx存在，证明)(xf在),a上有界。2设)(xf在,ba上连续，任取0,0 qp，证明：存在),(ba，使得)()()

5、()(fqpbqfapf。第二讲微分学第一部分一元函数微分学内容复习（略）重点题型讲解（一）与导数定义相关的问题1设)(0 xf存在，求)0()()(lim000hhxfhxfh。2设)(xf在1x处连续，且21)(lim21xxfx，求)1(f。3设)(xf在),(上有定义，对任意的yx,有)()()(yfxfyxf，且1)0(f，求)(xf。4设)(xf二阶连续可导，且1)(lim0 xxfx，ef)0(，则_lim2)(0 xeexxfx。5设)(xf在),(上有定义，且对任意的x有)(2)1(xfxf，又当 1,0 x时，有)1()(2xxxf，讨论)(xf在0 x处的可导性。（二）各

6、类求导数的问题1设xxexxey111sin，求y；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 46 页 -.2设xxey11arctan，求y；3)100()2)(1(xxxxy，求)101(),0(yy；4设)(xfy由23)1ln(ttyttx确定，求22dxyd；5设xyyx，求dxdy；6设yxyexy)tan(，求0 xdxdy；7设)(xyy由5sin3tan22yttytext确定，求dxdy；8设0,)1(2arctan90,2sin)(3xxbxxaexxfx在0 x处可导，求ba,；9求下列函数的导数：（1）设dttxyx022cos，求dxdy；（2）

7、设xdtxttfy022)(，求dxdy；10设)(xf连续，10)()(dtxtfx，且Axxfx)(lim0，求)(x，并讨论)(x在0 x处的连续性。11设0,0,cos)()(xaxxxxgxf，其中)(xg二阶可导且1)0(g。（1）当a为何值时，)(xf在0 x处连续；（2）求)(xf；（3）研究)(xf在0 x处的连续性。解答：（1）cos)0()0()(limcos)(lim)(lim000 xxgxgxgxxxgxfxxx)0(cos1)0()(lim0gxxxgxgx，于是当)0(ga时，)(xf在0 x处连续。（2）当0 x时，xgxxxgxfxfxx)0(cos)(li

8、m)0()(lim00)0(1212sin)0()(lim)0(cos)(lim020gxxgxgxxgxxgxx，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 46 页 -.即)0(121)0(gf；当0 x时，2cos)(sin)()(xxxgxxgxxf，于是0,cos)(sin)(0),0(121)(2xxxxgxxgxxgxf。（3）因为200cos)(sin)(lim)(limxxxgxxgxxfxx)0()0(121cos)(sin)(lim20fgxxxgxxxgx，所以)(xf在0 x处连续。12 设)(xf在 1,1上 可 导，)(xf在0 x处 二 阶 可

9、 导，且4)0(,0)0(ff，求30)1ln()(limxxfxfx。13设)1()1(21lim)(xnxnnebaxexxf，求)(xf，并讨论)(xf的连续性和可导性。（三）高阶导数问题1设xeyxsin，求)(ny；2设)23ln(2xxy，求)(ny。3设)1ln()(2xxxf，求)0()49(f。第二部分一元函数微分学的应用内容复习（略）附：中值定理部分的推广1设)(xf在0 xx的邻域内n阶连续可导，则有)()(!)()()()(000)(000nnnxxoxxnxfxxxfxfxf。2（导数零点定理）设,)(baCxf，在),(ba内可导，且0)()(bfaf，则存在),(

10、ba，使得0)(f。3（导 数 介值 定 理）设设,)(baCxf，在),(ba内 可 导，且)()(bfaf，不妨 设)()(bfaf，则对任意的)(),(bfaf，存在),(ba，使得)(f。4设,)(baCxf，且)0(0)(xf，则有名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 46 页 -.)()()()(000 xxxfxfxf，等号成立当且仅当0 xx。重点题型讲解（一）中值定理等式的证明类型一：目标表达式中仅含不含端点字母，且导数之间相差一阶1设)(xf在 1,0上连续，在)1,0(内可导，且0)1(,1)0(ff，证明：存在)1,0(，使得0)()(2ff。2

11、设)(xf在 1,0上可微，且3101)(3)1(dxxfefx，证明：存在)1,0(，使得0)()(ff。3设)(xf在 1,0上连续，在)1,0(内可导，0)1(,1)21(,0)0(fff。证明：（1）存在)1,21(，使得)(f；（2）对任意的),(k，存在),0(，使得1)()(fkf。类型二：目标表达式中含两个中值1设)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，且0)(xf，证明：存在),(,ba，使得eabeeffab)()(。2设)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，1)()(bfaf，证明：存在),(,ba，使得eff)()(。3设 1,0)(Cxf，在)1,0(内可导

12、，且1)1(,0)0(ff，证明：对任意的正数ba,，存在)1,0(,，使得bafbfa)()(。4设,)(baCxf，在),(ba内可导（0a），证明：存在),(,321ba，使233222213)()(2)()()(fbabafbaf。类型三：目标表达式中含有端点和中值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 46 页 -.1设,)(),(baxgxf，在),(ba内可导，且0)(xg，证明：存在),(ba，使得)()()()()()(gfbggfaf。类型四：目标表达式为0)()(nf1设函数)(xf在区间3,0上连续，在)3,0(内可导，且3)2()1()0(fff

13、，1)3(f，证明：存在)3,0(，使得0)(f。3设)(xf在 1,0上三阶可导，且)()(,0)1()0(3xfxxHff，证明：存在)1,0(，使得0)(H。4设,)(baCxf，且0)()(bfaf，证明：存在),(ba，使得0)(f。类型五：目标表达式为0)()(Cfn（其中0C为常数）1设,)(baCxf，在),(ba内二阶连续可导，证明：存在),(ba，使得)(4)()(22)(2fabafbafbf。2设)(xf在 1,1上三阶连续可导，且0)0(,1)1(,0)1(fff，证明：存在)1,1(，使得3)(f。3设naaa21为n个不同的实数，函数)(xf在,1naa上有n阶导

14、数，并满足0)()()(21nafafaf，则对每个,1naac，存在),(1naa满足等式)(!)()()()(21nnfnacacaccf。（二）中值定理不等式的证明1,)(baCxf，在),(ba内可导，)()(bfaf，且)(xf不是常数，证明：存在),(ba，使得0)(f。2设,)(baCxf，在),(ba内可导，且曲线)(xfy非直线，证明：存在),(ba，使得abafbff)()(|)(|。3,)(baCxf，在),(ba内二阶可导，且0)(,0)()(afbfaf，证明：存在),(ba，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 46 页 -.使得0)(f。4

15、设)(xf在,ba上满足2|)(xf，且)(xf在),(ba内取到最小值，证明：)(2|)(|)(|abbfaf。5)(xf二阶可导，且1)(min,0)1()0(10 xfffx，证明：8)(max10 xfx。6设)(xf在,ba上二阶可导，0)(xf，对任意的,baxi（ni1）及0ik（ni1），证明：)()()()(22112211nnnnxfkxfkxfkxkxkxkf。7设1)(lim0 xxfx且0)(xf，证明：xxf)(。8设)(xf在),0上有定义且0)0(,0)(fxf，证明：对任意的0,0 ba，有)()()(bfafbaf。9设)(xf在,ba上二阶可导，且0)()

16、(bfaf，证明：存在),(ba，使得2)/(|)()(|4|)(|abafbff。10设)(xf在0 x的邻域内四阶可导，且)0(|)(|)4(MMxf，证明：对此邻域内任一不同于0 x的a，有202000)(12|)()(2)()()(|xaMxaxfbfafxf，其中b是a关于0 x的对称点。11设)(xf在1,0上二阶可导，)1()0(ff且2|)(|xf，证明：对任意的 1,0 x，有1|)(|xf。12一质点从时间0t开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零。证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4。（三）求中值定理中的极限问题1设)(xf

17、二阶连续可导，且0)(xf，又hhxfxfhxf)()()(（10）。证明：21lim0h。2设)0()(211xxxxx，证明：21)(41x。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 46 页 -.（四）与极值、最值相关的命题1设)(),(xgxf在,ba二阶可导，满足0)()()()(xfxgxfxf，且)(0)()(babfaf，证明：),(0)(baxxf。2求数列2nn中的最大者。（五）不等式的证明问题1设)0)()(),0()0(),0()0(xxgxfgfgf，证明：当0 x时，)()(xgxf。2证明：221)1ln(1xxxx。3证明：当0 x时，有22

18、)1(ln)1(xxx。4设0ab，证明：baabab)(2ln。5当0 x时，证明212)1ln(arctanxx。（六）方程根的个数讨论1讨论方程)0(aaxex的根的个数。2设),0内有0)(xf，且2)0(,1)0(ff，证明：0)(xf在),0(内有且仅有一个根。3证明方程dxxexx02cos1ln在),0(内有且仅有两个根。（七）选择题1设)(xf在0 x处二阶可导，且2)()(lim0 xxfxfx，则（）（A）)0(f是)(xf的极大值.（B）)0(f是)(xf的极小值.（C）)0(,0(f是曲线)(xfy的拐点.（D）)0(f不是)(xf的极值点，)0(,0(f也不是曲线)

19、(xfy的拐点.2设)(xf二阶连续可导，32)2()(lim32xxfx，则（）)(A)2(f是)(xf的极小值；)(B)2(f是)(xf的极大值；)(C)2(,2(f是曲线)(xfy的拐点；)(D)2(f不是函数)(xf的极值点，)2(,2(f也不是曲线)(xfy的拐点。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 46 页 -.3设)(xf二阶连续可导，且1)(lim0 xxfx，则（）)(A)0(f是)(xf的极小值；)0()(fB是)(xf的极大值；)0(,0)(fC是曲线)(xfy的拐点；0)(xD是)(xf的驻点但不是极值点。4设0k，则函数kexxxfln)(的

20、零点个数为（）)(A0 个；)(B1 个；)(C2 个；)(D3 个。5曲线11211xexxy的渐近线的条数为（）)(A0 条；)(B1 条；)(C2 条；)(D3 条。第三部分多元函数微分学内容复习（一）基本概念1多元函数的极限：设),(yxfz的定义域为D，),(000yxM为平面上一点，若对于任意的0，总存在0，当2020)()(0yyxx时，有|),(|Ayxf，则称),(yxf当00,yyxx时以A为极限，记为Ayxfyyxx),(lim00。2 多 元 函 数 的 连 续：设),(yxfz在 点),(000yxM的 邻 域 内 有 定 义，若),(),(lim0000yxfyxf

21、yyxx，则称函数),(yxfz在点),(000yxM处连续。3偏导数：设),(yxfz在点),(000yxM的邻域内有定义，若xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，称函数),(yxfz在点),(000yxM处对x可偏导，极限记 为),(),(000000,),(yxyxxxzxfyxf；若yyxfyyxfy),(),(lim00000存 在，称 函 数),(yxfz在点),(000yxM处对y可偏导，极限记为),(),(000000,),(yxyxyyzyfyxf。4可微与全微分：设),(yxfz在点),(000yxM的邻域内有定义，记),(),(0000yxfyyxxfz，名

22、师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 46 页 -.若)(oyBxAz，其中BA,为常数，22)()(yx，则称),(yxfz在点),(000yxM处可微，称yBxA为),(yxf在点),(000yxM处的全微分，记为yBxAdz。注解：（1）若),(yxfz在点),(000yxM处可微，则),(),(0000,yxyxyfBxfA；（2）若),(yxfz为可微函数时，yfdxxfdz；5方向导数：设),(yxfz在点),(000yxM的邻域内有定义，从点),(000yxM印一条射线l，设lyyxxM),(00，令22)()(yx。若),(),(lim00000yxfy

23、yxxf存在，称此极限为函数),(yxfz在点),(000yxM处沿射线l的方向导数，记为0|Mlf。注解：（1）设),(yxfz在点),(000yxM处可微，则sin|cos|000MMMyfxflf（其中为射线l与x轴正方向的夹角）。（2）设),(zyxfu在点),(0000zyxM处可微，则cos|cos|cos|0000MMMMzfyfxflf，（其中,为射线l与x轴、y轴、z轴正方向的夹角）。6梯度：设),(zyxfu为二元可微函数，称,zuyuxukzujyuixu为函数),(zyxfu的梯度，记为zuyuxukzujyzixzzyxgradf,),(。注解：梯度的方向即为函数在一

24、点处方向导数最大的方向，梯度的模即为方向导数的最大值，因为coscoscos,coscoscos，zuyuxuzfyfxflfcos,2220zuyuxuezuyuxu（其中为l与gradf的夹角），名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 46 页 -.所以当0时，1cos，此时方向导数最大，且最大值为222zuyuxu。（二）偏导数求法1显函数求偏导数；2复合函数求偏导数：（1）),(vufz，其中)(),(tvtu，求dtdz；（2）),(vufz，其中),(),(yxvvyxuu，求yzxz,；（3）),(xvufz，其中),(),(yxvvyxuu，求yzxz,

25、；3隐函数（组）求偏导数：（1）设0),(yxF，求dxdy；（2）设0),(zyxF，求yzxz,；（3）设,0),(,0),(zyxGzyxF，求dxdz，dydz；（4）,0),(,0),(vuyxGvuyxF，求yuxu,及yvxv,。（三）多元函数微分学在函数极值上的应用1无条件极值求函数),(yxfz极值的步骤：（1）确定函数),(yxfz的定义域；（2）由00yxzz求出函数的驻点；（3）利用判别定理，设),(00yx为一个驻点，令),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx，Case I 若02BAC，则点),(00yx为函数的极值点，当0A时，),(00

26、yx为极小点；当0A时，),(00yx为极大点。Case II 若02BAC，则),(00yx不是极值点。Case III 若02BAC，则无法确定点),(00yx是否为极值点。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 46 页 -.2条件极值在0),(yx下求函数),(yxfz的极值点与极值，采用Lagrange乘数法，步骤为：（1）令),(),(yxyxfF；（2）由0),(00yxFfFfFyyyxxx求出可能的极值点；（3）对可能的极值点进行确定。（四）多元函数微分学在几何上的应用（数学一，该内容包含在空间解析几何部分）1空间曲线的切线与法平面（1）设)()()(

27、:tztytx，取参数0tt，对应的曲线上的点为),(0000zyxM，切线的方向向量为)(),(),(000tttT，切线方程为：)()()(000000tzztyytxx，法平面为：0)()()(000000zztyytxxt。（2）设0),(0),(:zyxGzyxF，点),(0000zyxM，则切线的方向向量为0),(MzyxzyxGGGFFFT。2空间曲面的切平面与法线设空间曲面0),(:zyxF，点),(0000zyxM，则切平面的法向量为0,MzyxFFFn，切平面方程为：0)()()(000000zzMFyyMFxxMFzyx，法线方程为：)()()()()()(000000M

28、FzzMFyyMFxxzyx。重点题型讲解（一）多元函数的概念、极限与连续1求下列极限：（1）2)sin(0)1(limxxyayxxy；（2）22220024limyxyxyx。2讨论函数)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22yxyxyxxyyxf在点)0,0(处的连续性。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 46 页 -.3讨论函数)0,0(),(,0)0,0(),(,),(242yxyxyxyxyxf在点)0,0(处的连续性、可偏导性与可微性。4讨论函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在点)0,0(处的连续

29、性、可偏导性与可微性。（二）偏导数的求法1设zyxu，求du；2设gf,二阶连续可微，)()(xyxgyxyfu，求yxuyxux222。3设)(tf二阶可导，),(vug二阶连续可偏导，且),()2(xyxgyxfz，求yxz2。4设),sin(22yxyefzx，且f二阶连续可微，求yxz2。5设)(zyxgyxfz，其中gf,可微，求yzxz,。6设)(zfu，且z是由)(zxyz确定的yx,的函数，)(),(zzf可微，证明：yuzxu)(。7设),(txfy，且t是由0),(tyxG确定的yx,的函数，),(),(tyxGtxf可微，求dxdy。8设0),(xzyyzxF，且F可微，

30、证明：xyzyzyxzx。9设),(zyxfu连续可偏导，且),(yxzz由zyxzeyexe确定，求du。10 zxyyzxxzy)(，若 经 过 变 换)(ln,11,22yxzwyxvyxu,其 中),(vuww，求原方程化成的方程形式。解答：由11,11yzzywxzzxw得)1(),1(ywzyzxwzxz，又vwyuwyyvvwyuuwywvwxuwxxvvwxuuwxw2212,12，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 46 页 -.代入原方程得0vw。11),(yxf满足方程4)()(22yfxf，利用)(21,22vuyuvx把函数),(yxf变成

31、),(vug，且满足2222)()(vuvgbuga，求常数ba,。解答：)(21,),(22vuuvfvug，yfvxfuvgyfuxfvug,，代入上述关系式得2222)()(vuyfvxfubyfuxfva，即22222222)()22()(vuyfbvauyfxfuvbaxfbuav，则baba,022，于是)()(2222yfxfvua22vu，从而41,41ba。（三）偏导数在极值上的应用1求由方程08822222zxzzyx所确定的函数),(yxzz的极值。解 答：由01824,018284xzyzxzzxzyx得0,2yzx，代 入 原 方 程 得78,121zz，所以驻点为)

32、0,716(),0,2(。在)0,2(处，154,0,154yyxyxxzCzBzA，0225162BAC，0A，函数在),(yxzz取极小值1z；在)0,716(处，154,0,154yyxyxxzCzBzA，0225162BAC，0A，函数在点)0,716(处取极大值78z。2 求22324),(yxyxxyxf在区域 11,41|),(yxyxD上的最大值与最小值。解 答：由02202832yxfyxxfyx得00yx，根 据 判 别 法 知0)0,0(f为 极 大 值。令)41(1:),11(4:),41(1:),11(1:4321xyLyxLxyLyxL在名师资料总结-精品资料欢迎下

33、载-名师精心整理-第 15 页，共 46 页 -.1L上225),1(yyyf，因为0)1(2),1(yyf，所以),1(yf单调减少，故4)1,1(f最大，最小8)1,1(f。在2L上124)1,(23xxxxf，令0283)1,(2xxxf，得32242,1x，272262244)1,4(),1,(),1,(),1,1(min21fxfxff，272262244)1,4(),1,(),1,(),1,1(max 21fxfxff分别为)1,(xf在2L上的最大值与最小值。类似可得在3L上),4(yf的最大值与最小值分别为7)1,4(f与9)1,4(f，在4L上)1,(xf的 最 大 值 与

34、最 小 值 分 别 为7)1,4(f与8)1,1(f，综 上 所 述，7)1,4(f与272262244)1,3224(f分别为),(yxf在D上的最大值与最小值。3求函数22212yxyxz在区域254:22yxD上的最值。解答：（1）在25422yx内，由0412,0122yxzyxzyx得0,0 yx。（2）在25422yx上，令)254(2122222yxyxyxF，由0254024120812222yxFyyxFxyxFyx得)4,23(),3,2(),(yx，因为41106)4,23(,50)3,2(,0)0,0(zzz，所以函数在区域上的最大值为41106，最小值为50。4求椭球

35、)0,0,0(1222222cbaczbyax内接长方体的最大体积。解答：设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为),(zyx，则xyzV8。令)1(222222czbyaxxyzF，由01,02,02,02222222222czbyaxFazxyFayxzFaxyzFzyx得名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 46 页 -.3,3,3czbyax，则最大体积为abcV398max。（四）偏导数在几何上的应用1求曲线06222zyxzyx在点)1,2,1(处的切线与法平面。2过直线0272210zyxzyx作曲面273222zyx的切平面，求此切平面方程。解答：273),

36、(222zyxzyxF，则2,2,6zyxn，过直线的平面束为0)(272210zyxzyx，其法向量为2,2,10。设所求的切点为),(000zyx，则有0)2()2()10(02732/)2(2/)2(6/)10(000202020000zyxzyxzyx，解得1)1,1,3(),(000zyx或者19)17,17,3(),(000zyx，故所求的切平面方程为0279zyx或者02717179zyx。3曲面224yxz上一点M的切平面为，若过的曲线)1(3:2tztytx在1t的切线为L，求平面。解答：切线L的方程为31121zyx，曲面上点),(000zyxM处的法向量为 1,2,200

37、yxn，则切平面方程为0)()(2)(200000zzyyyxxx，即00022zzyyxx。因为L，而L)3,2,3(),0,1,1(，所以02020000000426232zyxzyxzyx，解得切点的坐标为)59,56,512(或者)2,2,2(，故平面9536:zyx或者2:zyx。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 46 页 -.4设曲面142:222zyxS，平面0522:zyx。（1）求曲面S上与平行的切平面；（2）曲面S与平面之间的最短距离。解答：（1）S上M处切平面法向量为2,2,1zyxn，平面的法向量为 1,2,22n，由21/nn得tzyx2

38、222或tztytx2,2，代入S得21t，则)1,21,1(),1,21,1(21MM，切平面方程为0422zyx或者0422zyx。（2）31,321dd，所以曲面S与平面之间的最短距离为31。（五）方向导数与梯度1 设n是曲面632222zyx在点)1,1,1(P处指向外侧的法向量，求22861yxzu在P点处沿方向n的方向导数。解答：令632),(222zyxzyxF，则2,6,4|2,6,4|,PPzyxzyxFFF，取 1,3,2n，则141,143,1420n，而2222868,866yxzyyuyxzxxu，222861yxzzu，所以711141|143|142|PPPPzu

39、yuxunu。第三讲积分学第一部分不定积分内容复习（略）重点题型讲解（一）积分概念与直接积分法1设)(xf的一个原函数为xxsin，求dxxf x)(。2dxex|。3dxx,1max(2。（二）换元积分法1计算下列不定积分（1）dxxx6512；（2）dxxx2212；（3）dxxxx6542；（4）dxxxx2232；（5）dxxx1002)1(；（6）dxxxx)1(177；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 46 页 -.（7）dxx411。2计算下列不定积分（1）dxexex；（2）dxxx1cos12；（3）dxxxx2215)1ln(；（4）dxxxx

40、)ln1()ln(23。（5）dxxxxxx)ln1(ln2ln2；（6）dxxxx2)ln(ln1；3计算下列不定积分（1）dxex11；（2）dxeexx)1(12。4计算下列不定积分（1）dxxx)4(1；（2）dxxxx21；（3）3xxdx；5计算下列不定积分（1）dxxxsincot；（2）dxxxxcossin32cos；（3）xxdx22cos2sin；（4）)(sincos2sin2222badxxbxax；（5）dxxxxx5)sin(coscossin；（6）dxxtan211；（7）dxexxxcos1sin1；（8）dxxxsin1sin；（9）dxxxcossin1

41、1；（10）dxxxcossin21。（三）分部积分法计算不定积分1xdxarcxcot2；第二部分定积分及其应用内容复习（略）重点题型讲解名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 46 页 -.（一）基本不定积分的计算1计算下列定积分（1）4544)sin1(dxx；（2）dxxInn102)1(；（3）dxexx4421sin；（4）dxxxex102)1(；（5）dxxxx042sinsin；（6）dxxxI1021)1ln(；（7）_cos2006dxx。2计算下列定积分（1）dxxxx)cos111sin(22107；（2）ndxx0|cos|；（3）ndxxx

42、0|cos|；（4）设,)(Cxf，且xdxxfxxxfsin)(cos1)(2，求)(xf；（5）设xtdtexf12)(，求dxxfx)(102；（6）设)(xf可微，且xnnndttxftxFf01)()(,0)0(，求nxxxF20)(lim。3设0,410,211)(2xxxxxf，求51)1(dxxf。4设)(xf为连续函数，且xdttftxxF0)()2()(，证明：（1）若)(xf为偶函数，则)(xF也是偶函数；（2）若)(xf为非增函数，则)(xF为非减函数。5设)(xg为可微函数，)(xf为其反函数（0 x），且)8(31)(23)(0 xdttgxf，求)(xf。6设xx

43、txedte0，（1）求；（2）求0limx及xlim。7设,)(baCxf，且0)()(babadxxxfdxxf，证明：函数)(xf在),(ba内至少两个零点。（二）定积分等式的证明1设,)(baCxf，证明：babadxxbafdxxf)()(。2设,)(baCxf，证明：10)()()(dxxabafabdxxfba。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 46 页 -.3设)(),(xgxf在,ba上连续，证明：存在),(ba，使得abdxxfgdxxgf)()()()(。4设)(,)()(xgAxfxf为偶函数，（1）证明：aaadxxgAdxxgxf0)(

44、)()(；（2）计算dxexx22arctan|sin|。5设)(xf是连续函数，证明：xxuduufuxdudttf000)()()(。6设0)3(,4,2)(fCxf，证明：存在)4,2(，使得42)(3)(dxxff。7设,0)(aCxf，证明：200)(21)()(aaxadttfdyyfdxxf。8设)(xf在区间1,0上可导，2102)(2)1(dxxfxf，证明：存在)1,0(，使得0)()(2ff。9设0)(xf为以T为周期的连续函数，证明：TxxdttfTdttfx00)(1)(1lim。10设)(xf在)0(,aaa上二阶连续可导，且0)0(f。（1）写出)(xf的带拉格郎

45、日余项的一阶马克劳林公式；（2）证明：存在,aa，使得aadxxffa)(3)(3。11设)(xf在区间,ba上二阶连续可导，证明：存在),(ba，使得)(24)()2()()(3fabbafabdxxfba。（三）定积分不等式的证明1设,)(baCxf，证明：babadxxfabdxxf22)()()(。2设对任意的,bayx，有|)()(|yxyfxf，证明：2)(|)()(|2ababafdxxfba。3设)2(tan40ndxxann，证明：)1(21)1(21nann。4设,)(baCxf且单调增加，证明：babadxxfbadxxxf)(2)(。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师

46、精心整理-第 21 页，共 46 页 -.5设)(xf在),0(上连续且单调减少，证明：nnkndxxffkfdxxf1111)()1()()(。6设1,0)(Cxf且单调减少，证明：对任意的10，有100)()(dxxfdxxf。7设)(xf在区间,ba上连续可导，且0)(af，证明：dxxfabdxxfbaba222)(2)()(。8设)(xf在,ba上连续可导，且0)()(bfaf，证明：)(|)(|21|)(|bxadxxfxfba。9设)(xf在,0a上连续可导，且0)0(f，证明：202)(aMdxxfa，其中|)(|max,0 xfMax。10设)(xf在 1,0上连续可微，且0

47、)1()0(ff，证明：|)(|max41)(1010 xfdxxfx。11设)(xf在,ba上连续可微，证明：对任意的,bax，有aadxxfdxxfaxf00|)(|)(|1|)(|。12设)(xf有界，且)(xf连续，对任意的),(x有1|)()(|xfxf，证明：1|)(|xf。13设)(xf连续可导，且Mxfm)(，（1）求aaadtatfatfa)()(41lim20；（2）证明：mMxfdttfaaa|)()(21|。14设1,0,0)(xxf，证明：)31()(102fdxxf。（四）广义积分1131xxeedx；2dxxx4211；331)3)(1(xxdx；411xxdx。

48、53242)1(xxxdx。623212|xxdx。720sinlnxdx。（五）定积分的应用名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 46 页 -.1设)(xfy为区间 1,0上的非负连续函数。（1）证明存在)1,0(c，使得在区间,0c上以)(cf为高的矩形面积，等于区间 1,c上以)(xfy为曲边的曲边梯形的面积。（2）设)(xf在)1,0(内可导，且xxfxf)(2)(，证明（1）中的c是唯一的。2求由圆yyx222与抛物线2xy所围成平面图形的面积。3求双纽线)()(222222yxayx所围成的面积。4求由曲线24xy与x轴围成的部分绕直线3x旋转一周所成的几

49、何体的体积。5设)(xf满足xxfxf x)(2)(，由1),(xxfy及x轴（0 x）所围成的平面区域为D，若D绕x轴旋转一周所围成的几何体体积最小，求：（1）曲线)(xfy的方程；（2）曲线的原点处的切线与曲线及直线1x围成的图形面积。6为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口。设井深30 米，都自重400牛，缆绳每米重50 牛，抓斗盛污泥2000 牛，提升速度为3 米/秒,在提升过程中,污泥以 20 牛/秒的速度从抓斗中漏掉。现将抓斗从井底提升至井口，问克服重力做功多少？第三部分二重积分与三重积分内容复习（略）重点题型讲解（一）重积分基本概念与性质1设),(yxfxy连续，

50、其中,|),(dycbxayxD，求Dxydyxf),(。2设222:ryxD，求Dyxrdxdyyxerr)cos()21ln(1lim220。3设),(),(yxgyxf在有界闭区域上连续，且0),(yxg，证明：存在D),(，使得DDdyxgfdyxgyxf),(),(),(),(。（二）二重积分的常规计算1交换积分次序212141410),(),(yyydxyxfdydxyxfdy。2、计算dxexdyyx12102。3改变积分次序并计算242212sin2sinxxxdyyxdxdyyxdx。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 46 页 -.4计算Dydx