2022年数学思维方法 .pdf

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1、1 数学思维方法复习资料1、常用的合情推理包括哪些？（旧书本 111）最常用的是类比推理和归纳推理类比推理：根据两个不同对象的某些方面相同或相似，推导出或猜出它们在其他方面可能具有相同或相似的思维形式。是特殊到特殊的推理方式。归纳推理：合情推理中的归纳推理是归纳推理方式中的不完全推理，又称之为经验归纳法或实验归纳法，是一种从个别到一般，从经验事实或实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的方法。2、逻辑思维的基本规律？（旧书本 23）有同一律、矛盾律、排中律和充足理由律同一律：内容-在同一个思维过程中，每一个思维与其自身是同一的；公式-A 是 A；要求-在同一思维中必须同一，准确，不能有丝毫不同

2、的判断和解释，违背这一要求就会出现“偷换概念”或“混淆概念”的逻辑错误。矛盾律：内容-在同一思维过程中，两个互相反对或互相矛盾的思想不能同时为真，其中必有一假。（又称不矛盾律）公式-并非 A且非 A；特殊的矛盾现象-悖论排中律：内容-在同一思维过程中，两个互相矛盾的思想不能都假，必有一个为真；公式-A或者非 A。（排中律与矛盾律既有联系又有区别，可以把排中律看作是矛盾律的继续）充足理由律：内容-在同一思维过程中，一个判断被断定为真，必须有充足理由；公式-因为B真，并且 B推出 A，所以 A真。对于正确思维的要求：理由必须真实，理由与推断之间要有逻辑联系。3、非逻辑思维的形式有哪些？（旧书本 3

3、9）有形象思维、直觉思维、灵感思维、想象形象思维：以直观形象和表象来思考问题的思维，以直观形象来进行思维的。（作用：使人们对数学的概念理论有一种直观形象的理解，从而有助于学习和运用数学；形象思维可以获得抽象思维不能取得的成果，可以帮助人们在数学思维时，有所突破、创新）直觉思维：是一种对事物、问题、现象的直接观察领悟式的思维，是一种迅速的识别、敏锐的洞察和直接的理解。越过中间环节直接达到结论的一种非逻辑思维。（特征：非逻辑性、直接性、模糊性；作用：选择作用、创新作用）灵感思维：是一种特殊的思维方式，它一般是指人们对某一问题百思不得其解，绞尽脑汁仍无答案时，却因受某种偶然因素的启发产生顿悟，刹那间

4、闪现出解决问题的方式与方法。（灵感：并不是神秘的东西，是经过长时间的实践与思考后，思想处于高度集中和紧张状态中，对所考虑的问题已基本成熟而又未完全成熟，一旦受到某种启示而产生的新思想，灵感的产生具有潜意识，是显意识与潜意识相互交融的结果；特征：长期思维的突发性，模糊性与突逝性）想象：是人在客观事物的影响下，在言语的调节下，把头脑中已有的表象经过结合和改造而产生新表象的心理过程。4、现代数学哲学的三大流派？逻辑主义、直觉主义、形式主义（新书本17）5、分类遵循的原则？完全性原则：分类后各子类别涵盖的范围之和，应当是原被分对象所涵盖的范围，即分类不能遗漏；互斥性原则：分类后各子类别涵盖的范围之间，

5、彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；统一性原则：在同一次分类中只能按所确定的一个标准进行分类，即分类不能混乱名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -2 6、公理化方法中公理和概念选择的基本要求？（旧书本 139）对于概念选择的要求：这组原始术语中不包括该学科中不必要的术语；这组原始术语中的任何一个都不能由其他术语来加以定义；这组原始术语足以定义该学科所需要的其他全部术语。对于公理选择的要求：协调性原则、独立性要求、完备性原则7、数学中的分析法和综合法？（旧书本 233）分析法：把研究对象分解成各个组成部分、各个不同的因素、各个不同的层次，然后分别加

6、以研究探索，从而深刻地认识和理解事物的一种方法。（数学中的分析法：指从所需论证的结论出发，以一系列的已知定义、定理为依据逐步逆推，从而达到已知条件-执果索因法）综合法：把研究对象的各个部分、方面、因素都联系起来加以研究考虑，从而在整体上认识和掌握实务的本质和规律的一种思维方法。（数学中的综合法：从已知的定义、条件出发，逐步推演从而导致所求结论的一种方法，这是一种由因索果的方法。）运用：分析法偏重于探求证明思路，比较容易获得目的；综合法以简明完整的思路在证明表述中占优势。联合使用有两大优点：目的性更明确，整体性更充分。8、完全归纳和一般归纳的联系与区别？区别：一般归纳推理：又已知为真的命题作前提

7、，引出可能真实命题作结论的推理，是一种由特殊到一般的思维方式，即通过对某类食物中的若干特殊情形的分析，推出一般结论的推理方法；完全归纳：是从某类事物每个对象都具有某种属性，推出这类事物的全部对象，所以得出的结论必定正确。可以分为穷举法和类分法。联系：完全归纳推理是一般归纳推理的一个类型，一般归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。9、公理化方法的发展过程？（简答题）（旧书本 128）公理化方法的产生主要来源于古希腊哲学家与数学家的贡献（例如毕达哥拉斯学派开创了把数学作为逻辑科学进行研究的方向；欧多克索建立以公理化为依据的演绎法；柏拉图比较详尽地论述了论辩方法，并阐述了许多逻辑原理）公元前三世

8、纪左右，亚里士多德提出历史上第一个成文的三段论的演绎方式的公理化方法公元前三世纪欧几里得 几何原本，第一次把公理化系统运用于数学之中（5 个公设和公理）19世纪，（1823 年）罗巴切夫斯基的新几何，取代第五公设1854年，黎曼非欧几何1899 年希尔伯特几何基础-公理化方法近代发展的代表作，把公理化方法建成了一个比较完备、形式化的公理系统；10、微积分的建立标志着变量数学的诞生。11、中国古代数学使用的数学方法是演绎的方法。12、几何原本是人类历史上最早的公理化体系，也是公理化的开始。13、例子：把 14 分成若干个正整数，使之积最大。14、类比猜想与归纳猜想是什么？在小学中有哪些运用？举例

9、说明。（旧书本 218）类比猜想：是依据两类对象之间存在的某种相同或相似的特征、属性、形式，猜测它们可能存在其他方面相似的特征、属性或形式的一种思维方式。（A在某些地方类似于B，B真，A也可能真。）归纳猜想：是一种思维推理形式，归纳猜想则是利用归纳推理中的不完全归纳推理进行的一名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -3 种推理，根据以往的经验，利用以往对数学问题的解决的方法，对数学问题进行的一种逐次渐进的试错与淘汰选择的猜想形式。15、数学猜想的内容，形式？数学猜想：指人们根据已知的某些数学知识和某些事实，对数学的某些理论、方法等提出一些猜测性的推断。形式：由归

10、纳提出数学猜想、由类比产生的数学猜想、由直观事实产生的数学猜想、由数学理论引出的猜想。特征：带定性、创新性16、体现数学思维方法：分类思想，分成 2 个 3、4,实验操作，分成 2 个正整数，1-13，2-12，3-11,a+b=14 使得 ab 最大归纳猜想，分成几个正整数越接近乘积越大穷举法，分成 3 个正整数，143=4,2，4+5+5=14，455=100 在小学数学教材中有许多法则、公式等，是按照从特殊到一般的认识规律，通过对特例的观察、分析、实验，从而归纳出一般性结论，即归纳法。类比在数学知识延伸拓展过程中常借助于比较、联想来启发诱导以寻求思维的变异和发散。在归纳知识系统时又可用来

11、串联不同层次的类似内容，帮助理解和记忆。在解决问题时，无论是对于命题本身或解题方法，都是产生猜测、获得命题的推广或引伸的原动力。因此，归纳法和类比法既是数学学习的重要方法，也是数学发现的有效方法。归纳和类比都属于合情推理，其结论需要演绎证明。猜想是归纳与类比的成果，它们都包含有猜想的成分，所以猜想本身就是一种合情推理，直截了当一点，合情推理就是猜想。牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”因此，合理地设计富有猜想的教学过程，不仅可以很好地组织教学，而且还可以提高学生学习兴趣，培养学生的创新能力。一、归纳法归纳法是通过对同一类事物的特殊对象的研究而得出一般性结论的方法，也就是由特殊到一

12、般的推理方法。1归纳法具有发现真理、探索真理的作用数学中的许多著名定理都是先运用不完全归纳法发现而后给予证明的。如德国著名数学家哥德巴赫从3+7=10，3+17=20，13+17=30 等算式中观察出两个奇素数之和等于一个偶数，他做了进一步的实验，发现6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，于是，他得出了：任何一个既不是素数也不是素数平方的偶数(即大于 4 的偶数)，是两个奇素数之和。这就是著名的哥德巴赫猜想，尽管到如今这还是一个猜想，但数学家们在证明这个猜想的过程中，已经发现、发明了许许多多的数学定理，为数学的发展乃至社会

13、的发展作出了巨大的贡献。2归纳法在小学数学教育中具有十分重要的意义小学数学中几乎所有的公式、法则和性质都是通过不完全归纳法来认识。因此，教师应该认真学习数学课程标准，吃透教材，给学生思维发散的机会，多引导、多启发、多鼓励，给学生足够的时间和空间，让学生在课堂中逐渐掌握归纳法。如在教学“平均分”时，教师可以给出把若干个苹果分给若干个同学的问题，让学名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -4 生去解决，给学生提供任凭他们想象发挥的时间和空间，然后再归纳出最公平的分法 每人一样多，从而得出平均分的概念。这不仅培养了学生的发散思维，同时，在这一活动中也让学生更为深刻地理

14、解和掌握了“平均分”的概念。教师在讲解概念、法则、性质、公式和例题时，要让学生从不同侧面、不同角度去联想和推广。又如，在教学长方形时，可以让学生充分发挥他们的想象力，画出各种形状不同、放置位置不同的长方形。然后，引导他们归纳得出这些图形的共同特征：(1)它们都是四边形；(2)四个角都是直角；(3)对边相等。这不但培养了学生的发散思维能力，同时还使学生更深刻地认识了长方形。在教学正方形时，学生就不会产生正方形不是长方形的错误。不完全归纳法作为“合情推理”，小学生是很容易接受并掌握的。所以，不完全归纳法在小学数学教学中比比皆是。学生对定义、运算性质(定律)、数的整除性特征等知识的学习，无一不是通过

15、不完全归纳法来理解、掌握的。这一得天独厚的氛围，对培养小学生的归纳能力带来了极大的便利。所以，在小学数学教学中，不完全归纳法被认为是培养小学生创造性思维能力的一项行之有效的重要方法。教师要抓住这一优势，帮助小学生掌握不完全归纳法。让学生充分发挥他们的想象力，让他们自己提出问题，大胆猜想，突破一般思维定势，敢于猜想。同时，还应该创造条件，多设计一些与上例类似的习题，让学生进行不完全归纳法的练习，才能使学生在学习过程中逐渐学会应用不完全归纳法去发现规律，设定猜想。二、类比类比法就是根据不同的两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其他方面也可能相似或相同的推理方法。它是以比较为

16、基础的一种从特殊到特殊的推理方法。类比法是由此及彼以及由彼及此的联想方法，著名数学教育家波利亚指出“类比是一个伟大的引路人”，教师在教学中必须善于引导学生去联想、类比，才能充分调动学生的想象力，让他们通过比较去发现、去认识、去掌握知识。培养具有创造能力的人才，就要帮助他们学会归纳和类比。类比具有启迪思维、提供线索、举一反三的作用，对发展思维特别是创造性思维十分有利。和归纳一样，类比在小学数学中也随处可见。如通过类比，从加法、减法的运算性质(或定律)很容易联想到乘法、除法的相应的运算性质(或定律)，由除法中各部分之间的关系，容易联想到分数的基本性质等。同时，类比法是系统掌握新知识、巩固旧知识，使

17、新旧知识融会贯通的有效方法。数学的发展是一个不断地从原有知识向深度和广度推进的过程，所以，各个系统的知识与知识之间必然存在着相似之处，更何况，许多知识的发展就是类比发现的结果。在实际教学中，教师必须有意识地引导学生注意知识之间的比较，如分数与除法的类比，分式与分数的类比，乘法与加法的类比等。从旧知识去发现新知识，这不仅仅能起到事半功倍的效果，还将会大大提高学生的学习兴趣，取得良好的学习效果。如已知甲校学生数是乙校学生数的百分之四十，甲校女生数是甲校学生数的百分之三十，乙校男生数是乙校学生数的百分之四十二，那么两校女生总数占两校学生总数的百分之几?【思考】设甲校学生为40，则乙校学生为100，甲

18、校的女生是12，乙校的女生是58，所以两校女生总数占两校学生总数的(12+58)(40+100)=50。总结此类问题的特点是：已知和所求仅仅与百分比有关，而与具体数无关。于是，我们便可以用特殊值来巧求。掌握了这一类问题的特点，我们就掌握了解决这类问题的途径和方法。那么，在解答下面更难一些的问题时，心中便有数了。某出版社出版的某种书，今年每册的成本比去年增加百分之十，但仍然保持原售价，因此每本盈利下降了百分之四十。但今年的发行册数比去年增加百分之八十，那么今年发行这种书获得的总盈利比去年增加百分之几?教师就可以启发、引导学生通过联想、类比来探索结果。【思考】设去年每本盈利10 元，则今年每本盈利

19、6 元。又设去年的发行册数为100 册，则今年的发行册数是 180 册。因此，今年获得的总盈利比去年增加了：(6 180-10 100)(10 100)=8。连设两个特殊值，使问题得以巧妙地解决，充分体现出类比确实是一个伟大的引路人，类比是发现的基础，是创新的前提。三、猜想名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -5 数学猜想是指根据某些数学现象而作出的预测性判断，以及作出这些判断的思维过程。数学家波利亚指出：“在证明一个数学定理之前，你先得猜想这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合，然后加以类比。你得一次又一

20、次地进行尝试。数学家的创造性工作成果，是论证推理，即证明；但这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。”因此，在数学教学中必须重视猜想。学生在课堂上积极、主动地探究，需要猜想来引发。没有猜想，就不会有探究。徐利治说：“探索性思维中最关键的环节是提出一个有希望的合理的猜测。”猜想是探索性思维的方向，具有定位性、开拓性和创造性，是数学发现与数学证明的前兆。当前新课程改革课堂教学的主要模式是创设情境，提出猜想(通过归纳或类比)，验证猜想(一般由合情推理来完成)，深化理解，总结提高。如在教学 3 的倍数的特征时，可以通过下面的教学过程来进行。创设一个情景(如写出一些3 的倍数的数)；观察分析(独立探究

21、 小组合作交流，提出猜想)；讨论猜想(教师引导全班合作，对猜想进行验证、修正，完善猜想：一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数)；探究猜想的成因(突出归纳推理 合情推理的重要意义)；小结(教师给出结论，强调猜想的正确性)；应用；提高(9 的倍数的特征如何?教师引导，寻找3 与 9 的关系，通过类比来引导学生提出猜想)；验证猜想(得到 9的倍数的特征是：各个数位上的数字之和是9 的倍数)；课堂总结。学生思维活跃，富于幻想，敢于猜想。但是，受知识、经验的限制，有时会提出一些幼稚可笑甚至错误的想法，这时教师非但不能讽刺打击，给予抹杀，反而应该加以鼓励，给予正确引导。让他们保持思维

22、的积极性，给以他们敢想的勇气。因为这些看似可笑、错误的想法，总是蕴含着孩子们的创造性思维的成果。那些不拘一格的猜想，就是创造性思维的体现。数学教学活动的实质是数学推理，“合情推理”是小学生特别容易接受的一种推理方式，让学生形成推理的意识和习惯，这对于培养他们追求真理、实事求是的科学态度具有十分重要的意义。鉴于数学的严谨性，必须时适地引导学生对“合情推理”、“猜想”得到的结果给予严格说明(证明)的必要性。因为，只有经过合情推理、严格论证的结论，才具有真理性，谁也无法否认。而凡是偏离这两条原则获得的结论，不管怎样错综复杂、扑朔迷离，终究会被推翻或淘汰。小学生长期在这样的环境的熏陶下，诚实与正直的优秀品质将会慢慢地养成。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -