2022年数学归纳法教学设计公开课 .pdf

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1、“新苗杯”初赛教学设计课题：数学归纳法（第一课时）学科组：数学组授课教师：胡潇名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -数学归纳法（第一课时）教学设计一、教材内容分析人教版普通高中课程标准试验教科书 数学（A 版选修2-2）第二章“推理与证明”的主要内容是数学的基本思维过程，也是人们生活和学习中经常使用的思维方式该章内容分为三小节：合情推理和演绎推理、直接证明和间接证明、数学归纳法通过合情推理归纳出的有一类特殊问题与正整数n 有关的命题用之前学习的方法难以解决，从而我们产生学习“数学归纳法”的必要性学习了数学归纳法后，学生可以解决部分“证明n 取无限多个正整数命题

2、成立”的问题本节内容编写思路是：问题情境引发数学归纳法的学习欲望多米诺骨牌蕴含的原理分析用多米诺骨牌原理解决数学问题从具体问题中概括出数学归纳法在这个过程中，学生首先需要从生活实例中抽象出数学原理，然后需要利用该原理对数学问题进行严格证明因此，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力的好素材二、学情分析高二学生具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力但对于数学归纳法，学生理解和接受它是一件很困难的事情，因为学生缺少体验和认知基础所以需为学生创设与数学归纳法有类似想法的实际体验三、教学目标1.通过具体情境，体会学习数学归纳法的必要性；2.借助生活实例和体验操作，感知数学归纳法的原理，

3、体会数学与生活的紧密结合性；3.通过从解决具体数学问题的思维中概括出数学归纳法，训练学生的抽象思维能力，在证明过程中，培养学生严密的推理能力四、教学重、难点教学重点：通过游戏模型和生活实例，了解数学归纳法的基本思想；掌握数学归纳法的证明步骤及每个步骤的作用教学难点：如何类比多米诺骨牌原理解决数学问题，了解数学归纳法的基本步骤；如何理解数学归纳法中第二步的本质建立递推关系五、教学策略基于上述分析，我采取以下的教学策略1：“设置问题串”教学策略在列举模型反思游戏过程时，设置具有启发性的问题，逐步推进对思想方法的理解，为本节课教学重点作铺垫；在类比抽象的过程中，设置类比问题，帮助学生类比多米诺骨牌原

4、理解决数学问题，突破教学难点；在形成数学归纳法概念后，设置反思问题，了解数学归纳法第二步骤的作用，明确第一步骤的起点问题，加深对数学归纳法的理解，突破教学难点；课堂小结时，利用问题串，帮助学生回顾知识要点2：“螺旋上升”教学策略先通过具体情境的探究，引发学生求知欲；再通过多米诺骨牌初步体会和认识数学归纳法的雏形；然后类比这种思想，解决数学问题；进而从中提炼出数学归纳法；通过对数学归纳法的步骤反思，对步骤的本质进行认识和剖析；通过例题教学，帮助学生掌握数学归纳法步骤和易错点，以此逐步完成对数学归纳法的深刻理解名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -六、教学过程教学

5、流程设计意图创 设情 境引 入新课情境：将若干个小立方块如图所示摆放，第1 堆摆放 1 个，第2 堆摆放 9 个以此类推问题 1：第 3 堆、第 4 堆、第 5 堆各有多少个小方块？问题 2：第 n 堆有多少个小方块？你能得到怎样的等式？233332112+314nnnL预设：学生有可能得到2333312+3123nnLL，提示学生进行化简问题 3：如何验证你得到的结论正确与否呢？总结：这个问题无法利用已学知识解决，因此，我们需要一种新的证明方法，这就是我们今天要学习的数学归纳法（板书）大纲版教材采用的引入例题是：求证222212+3nL11216n nn该引入方式计算前几项后，学生不容易归纳

6、得到结论，直接给出命题证明显得较为突兀；课标版教材引入例题是11a，11nnnaaa在数列的学习中，学生已能够解决该引例问题，较难说明学习数学归纳法是必要的该例题的设计旨在利用先行组织者，引发学生认知冲突，明确学习数学归纳法的必要性，激发学生求知欲活 动体 验探 究原理在学习数学归纳法之前，先来看一个小游戏：多米诺骨牌20XX 年 12 月 31 日晚，中国小伙子刘杨成功以321197枚多米诺骨牌的成绩，刷新了多米诺骨牌个人吉尼斯世界纪录随着一段简短的视频，我们一起感受一下当时壮观的场面（播放视频30s）利用视频引出多米诺骨牌游戏，激发学生学习兴趣同时，利用中国人创造吉尼斯纪录视频，激发学生爱

7、国情怀从视频上看多米诺骨牌游戏是很震撼的，我们自己也可以动手体验一下多米诺骨牌游戏过程游戏道具：折叠的扑克牌游戏规则：分组活动，每组8 张扑克牌将本组所有折叠的扑克牌竖直摆放；摆放好后，推倒其中一张扑克牌游戏判定：所有扑克牌倒下即为成功利用游戏体验，激发学生求知兴趣，让学生动手操作，锻 炼 学 生 动 手 能力学生参与体验，才能更好地从自身体验中总结过程，为后面抽象原理做铺垫请结合刚才的游戏体验，思考并讨论下列问题：问题 1.我们把手动推到的扑克牌称作“第1 张扑克牌”，第1 张扑克牌倒下后，其他扑克牌如何倒下的？问题 2.如果任给 n 张扑克牌排成一列，要保证所有扑克牌全部倒下，需要满足哪些

8、条件？反思游戏过程，让学生亲身经历多米诺骨牌原理的提炼过程，培养学生抽象思维和概括能力；利用问题，逐步推进对思想方名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -（小组代表发言）预案：若学生回答相邻两张扑克牌相隔不能太远预设追问：不能相隔太远目的是什么？预案：若学生忽略第1 张扑克牌倒下的条件预设追问：若不手动推到任何一张扑克牌，扑克牌会倒下吗?法的理解问题1 旨在帮助学生思考相邻扑克牌的递推关系；问题2 旨在帮助学生总结两个条件，学生易忽略起点问题总结：任给n 张一列扑克牌倒下的条件（1）第 1 块扑克牌倒下；（2）第 k 张扑克牌倒下导致第k+1 张扑克牌倒下预案：

9、学生在总结第（2）步时，易用自然语言描述：任意一张牌倒下导致后一张牌倒下预设追问：请用数学语言表述“任意一张”和“后一张”教师总结，提炼要点类 比抽 象形 成概念回到引入情境中需要证明的猜想“233332112314nnnL对任意的正整数n 成立”问题：你能否将解决“任给n 张扑克牌全部倒下”的思想运用到“等式对任意的正整数n 成立”的证明中呢？预案：稍停，观察有无学生能够解决该问题，若无，则给出提示、问题1 和 2；若有，让学生陈述，教师点评总结提示：上述猜想换一个说法“任意正整数n 等式成立”，两个问题说法类似我们已经找到了使“任给n 张扑克牌全部倒下”的条件问题 1：类比“任给n 张扑克

10、牌全部倒下”的两个条件，“任意正整数n 等式成立”需要满足什么条件？问题 2：要证明猜想成立，现在需要解决什么问题？n 张扑克牌全部倒下任意正整数n 等式成立第 1 块多米诺骨牌倒下?第 k 块多米诺骨牌倒下导致第 k+1 块多米诺骨牌倒下?利用问题串，类比多米诺骨牌原理解决数学问题，为数学问题的证明作铺垫问题 3：验证上述两个条件是否满足，完成对猜想的证明（学生思考小组讨论投影成果教师PPT 规范格式）证明：（1）当1n时，左边3211右边，结论成立；（2）假设当 nk 时，命题成立，即233332112314kkkL当1nk时，左边333331231kkL2321114kkk2211444

11、kkk221124kk右边学生通过思考讨论，初步了解数学归纳法的步骤；同时，在证明过程中，培养学生逻辑推理能力名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -因此，若 nk 时命题成立，可推出1nk时命题成立由（1）、（2）可得，233332112314nnnL对任意正整数 n 成立问题：请概括上述证明过程的步骤总结：（学生总结，教师板书数学归纳法步骤）上述证明问题的步骤方法即是数学归纳法利用上述两个证明步骤，可以建立命题链：任给 n 张扑克牌全部倒下任意正整数n 等式成立第 1 块多米诺骨牌倒下（1）1n时命题成立；第 k 块多米诺骨牌倒下第 k+1 块多米诺骨牌倒下

12、（2）假设 nk 时命题成立验证1nk时命题成立结合上述两步，可知所有多米诺骨牌都能倒下结合上述两步，断定命题对任意的正整数成立学生总结解题步骤，形成数学归纳法的概念，明确其步骤，同时，培养学生概括能力辨 析概 念深 化理解反思 1：第（2）步为什么要假设k 成立？假设k 成立为什么可以作为条件使用？提示：解决这个问题，需要明确（2）证明的是什么？总结：（2）本质证明的是递推关系（上述链表中的箭头）为了证明递推关系，构造了一个命题，假设k 成立是所构造命题的条件（2）证明了递推关系，（1）给出了起点问题接下来我们研究一下有关起点的问题反思 2：（1）用数学归纳法证明不等式11111232nnL

13、*,1nn￥，第一步需要验证什么？（2）用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线条数为32n n，第一步需要验证什么？总结：利用数学归纳法证明时，第一步从等于几开始起，要根据具体问题而定问题：从这两个问题中，你觉得刚才得到的数学归纳法可以怎样的修改呢？预设追问：若(1)修改为0nn 命题成立，最后得到什么结论?数学归纳法步骤可总结为：（1）证明当0nn（*0n￥）时，命题成立；（2）假设 nk（*,oknk￥）时命题成立，证明当1nk时命题成立；通过反思问题，辨析数学归纳法第一步起点问题，明确数学归纳法第二步的作用，深化对数学归纳法概念的理解n=1成立n=2成立n=3成立n=4成立n=5成立名师资

14、料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -结合上述两步，断定命题对任意的正整数0nn 成立总结：数学归纳法可用于证明与正整数n（n 取无限多个值）有关的数学命题，但是并不是所有与正整数n 有关的数学命题都可以用数学归纳法证明预设反例：11nnan单调增问题不能用数学归纳法证明例 题呈 现巩 固知识例.利用数学归纳法证明222211231216nn nnL对任意正整数n 成立（学生板书学生修改教师点评修改）证明：（1）当1n时，左边=右边，命题成立（2）假设当 nk 时，命题成立，即222211231216kk kkL当1nk时，左边2112116k kkk2127616

15、kkk122316kkk1122116kkk右边因此，若 nk 时命题成立，可推出1nk时命题成立综合（1）（2）步，可知命题对任意正整数n 成立学生通过运用数学归纳法，模仿格式规范证明，检验数学归纳法步骤掌握情况，在证明过程中，培养严谨的数学推理能力课 堂练 习明 确易 错点(备用)利用数学归纳法判断1221 321nnnnnnLL是否对任意正整数n 成立？预设错误：1nk时，添加项错误展示利用数学归纳法证明的易错点，说明在证明递推关系时注意添加项问题课 堂小 结回 顾要点通过本节课的学习：问题 1.你能说出数学归纳法的步骤是怎样的吗？问题 2.数学归纳法每一步的作用是什么？问题 3.数学归纳法适用于哪类数学证明问题？（学生总结）利用问题串，帮助学生回顾本节课知识要点七、板书设计媒体展示区域数学归纳法学生展示区域（1）证明 n=n0命题成立：（2）假设 n=k 命题成立，验证 n=k+1 命题成立综合（1）（2）可得，命题对于任意正整数 n n0成立证明起点：证 明 递推关系：课堂引入猜想名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -