2022年统计案例教学设计 .pdf

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1、-1-3.1 回归分析的基本思想及其应用(1)教学目标（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法；（3）能求出简单实际问题的线性回归方程教学重点，难点线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法教学过程一 引言：我们知道函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系。回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。在数学3中，我们对两个具有线性相关关系的变量利用回归分析的方法进行了研究，其解题步骤是：画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报。二探究一对于一组具有线性相关

2、关系的数据),(),(),(2211nnyxyxyx,我们知道其回归方程的截据和斜率的最小二乘估计公式为1122211()()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxn xaybx其中11niixxn，11niiyyn你能推倒出这两个计算公式吗?-教材-P80-81 必修 3知道，截距a?和斜率b?分别是使21)(),(niiixyQ取最小值时，,的值，如何求21)(),(niiixyQ的最小值？-见教材 P80-81三、问题情境1.情景：从某大学中随机选取8 名女大学生，其身高和体重数据如下表所示。编号1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 15

3、7 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重。根据数学3（必修）中的有关内容，解决这个问题的方法是：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -2-先作散点图，如下图所示：从散点图中可以看出，样本点呈条状分布，身高与体重有着较好的线性关系因此可以用回归直线abxy来刻画它们之间的关系根据线性回归的系数公式，1221()niiiniix ynx ybxn xaybx得：可以得到线性回归方程为0.84985.712yx，期中84

4、9.0b是回归直线的斜率的估计值，说明身高x每增加 1 个单位时，体重y就增加849.0个单位，这表明身高与体重具有正的线性相关关系。因此，身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为0.849 17285.71260.316()ykg2问题 1：试用 所学的相关系数R 分析身高与体重的相关强度。问题 2：身高为 172cm的女大学生，其体重一定是60.316()kg吗？四、学生活动思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x与y之间的关系，y的值不能由x完全确定，它们之间是统计相关关系，y的实际值与估计值之间存在着误差探究二、身高为 172cm的女大学生的体重

5、一定是60.316()kg吗？如果不是，其原因是什么？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -3-五、建构数学实际上，身高为172cm的女大学生不一定是60.316()kg，但一般可以认为她的体重在60.316()kg左右。上图样本点与回归直线的位置也说明了这一点。1、线性回归模型的定义：我们将用于估计y值的线性函数abx作为确定性函数；y的实际值与估计值之间的误差记为e，称之为随机误差（random error）；它的均值0)(eE，方差.0)(2eD线性回归模型的完整表达式为：2)(,0)(eDeEeabxy说明：（1）产生随机误差的主要原因有：、所用的确定

6、性函数不恰当引起的误差；、忽略了某些因素的影响；本例中如：饮食习惯，是否喜欢运动，遗传等、存在观测误差（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题：、模型是否合理（这个问题在下一节课解决）；、在模型合理的情况下，如何估计a，b？2、残差分析随机误差：niabxyeiii,3,2,1,随机误差的估计值：niayyeiii,3,2,1,?，则ie?为相应点（iiyx,）的残差可以通过残差发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果，下表是列出女大学名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -4-生身高与体重的原始数据及相应的残差数据。.31.3.,.坐标的残差

7、图样本编号为横是以图作出的图形为这样估计值等或体重高数据或身样本编号横坐标可选为纵坐标为残差作图时差特性图形来分析残我们可以利用.,.,;,.,61,31.3程的预报精确度越高回归方说明模型拟合精度越高越窄水平的带状区域的宽度残差点比较均匀地落在另外则需要寻找其他的原因如果数据采集没有错误归模型拟合数据性回新利用线然后再重就予以纠正如果数据采集有错误的错误点的过程中是否有人为两个样本需要确认在采集这个样本点的残差比较大个样本点和第第中可以看出从图.?1:,121222niiniiiyyyyRR其计算公式是来刻画回归的效果我们还可以用相关指数另外名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第

8、4 页，共 6 页 -5-六数学运用1、在两个变量的回归分析中，作散点图的目的是什么？2、在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决哪些问题？3、如果散点图中所有的样本点都落在一条斜率为非0 实数的直线上，请回答下列问题：（1）解析变量和预报变量的关系是什么？（2）R2是多少？七回顾小结：1线性回归模型yabx与确定性函数yabx相比，它表示y与x之间是统计相关关系（非确定性关系）其中的随机误差e提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a，b的工具；.,.,.1的高与直径之间的关系木描述北方干旱地区的树方程的高与直径之间的回归在南方多雨地区的树木不能用生长同样体重之间的关系描述女运

9、动员的身高和体重之间的回归方程和不能用女大学生的身高例如所研究的样本的总体回归方程只适用于我们如果对某组数据量的线性相关性越强表示解释变量和预报变越接近于因为表示回归的效果越好接近于越变量变化的贡献率表示解释变量对于预报在线性回归模型中果越好也就是说模型的拟合效意味着残差平方和越小取值越大显然.),1(,1.,.,2222RRRR.,22的模型大的模型作为这组数据选择也可以通过比较几个回归分析种不同的回归方程进行取几可能性采RR.%64,%64,64.0,12是由身高引起的差异有女大学生体重或者说的体重变化女大学生身高解释了表明中在例R:,需要注意下列问题用身高预报体重时.,8020,.2之间

10、的关系描述现在的身高和体重程重数据所建立的回归方年代的身高体世纪不能用例如一般都有时间性我们所建立的回归方程.),70,170,155,(,.3显然不合适值时的算而用这个方程计的样本的取值范围为解释变量即在回归方程中当之间的关系就不恰幼儿时期的身高和体重那么用它来描述一个人和体重数据建立的大学生身高我们的回归方程是由女例如归方程的适用范围样本取值范围会影响回ycmxcmcmx.,.4值变量的可能取值的平均它是预报事实上的精确值的预报值就是预报变量不能期望回归方程得到名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -6-2 线性回归方程 yabx中a，b的意义是：以a为基数，x每增加 1 个单位，y 相应地平均增加b个单位；3求线性回归方程的基本步骤六课外作业：89P第 1 题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -