2022年数据处理方法共享 .pdf

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1、数据数据处理是指从获得的数据得出结果的加工过程，包括记录，整理，计算，分析等处理方法。用简明而严格的方法把实验数据所代表的事物内在的规律提炼出来，就是数据处理。正确处理实验数据是实验能力的基本训练之一。根据不同的实验内容，不同的要求，可采用不同的数据处理方法。本章介绍物理实验中较常用的数据处理方法。1 列表法获得数据后的第一项工作就是记录，欲使测量结果一目了然，避免混乱，避免丢失数据，便于查对和比较，列表法是最好的方法。制作一份适当的表格，把被测量和测量的数据一一对应地排列在表中，就是列表法。一、列表法的优点1 能够简单地反映出相关物理量之间的对应关系，清楚明了地显示出测量数值的变化情况。2

2、较容易地从排列的数据中发现个别有错误的数据。3 为进一步用其他方法处理数据创造了有利条件。二、列表规则1用直尺划线打表，力求工整。2对应关系清楚简洁，行列整齐，一目了然。3 表中所列为物理量的数值（纯数），因此表的栏头也应是一纯数，即物理量的符号除以单位的符号，例如：/ms 2、I/10 3A等，其中物理量的符号用斜体字，单位的符号用正体字。为避免手写正、斜体混乱，本课程规定手写时物理量用汉字表示，例如：加速度/m?s 2、电流强度/10 3A。4 提供必要的说明和参数，包括表格名称、主要测量仪器的规格（型号、量程、准确度级别或最大允许误差等）、有关的环境参数（如温度、湿度等）、引用的常量和物

3、理量等。三、应用举例例 1 用列表法报告测得值。（见表 1）列表法还可用于数据计算，此时应预留相应的格位，并在其标题栏中写出计算公式。表 1 用伏安法测量电阻伏特计 1.0 级，量程15V，内阻 15k毫安表 1.0 级，量程 20mA，内阻 1.20 测量序号 k 电压U k/V电流I k/mA 1 0 0 2 2.00 3.85 3 4.00 8.15 4 6.00 12.05 5 8.00 15.80 6 10.00 19.90 四、列表常见错误1 没有提供必要的说明或说明不完全，造成后续计算中一些数据来源不明，或丢失了日后重复实验的某些条件。2 横排数据，不便于前后比较（纵排不仅数据趋

4、势一目了然，而且可以在首行之后仅记变化的尾数）。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 16 页 -3 栏头概念含糊或错误，例如将U k/V 写成 U k(V)或 U k，V等。4 数据取位过少，丢失有效数字，给继续处理数据带来困难。5 表格断成两截,达不到一目了然。要按照列表规则养成良好的列表习惯，避免出现以上的错误。列表法是最基本的数据处理方法,一个好的数据处理表格，往往就是一份简明的实验报告，因此，在表格设计上要舍得下功夫。.2 作图法在研究两个物理量之间的关系时，把测得的一系列相互对应的数据及变化的情况用曲线表示出来，这就是作图法。一.作图法的优点1能够形象、直观

5、、简便地显示出物理量的相互关系以及函数的极值、拐点、突变或周期性等特征。2 具有取平均的效果。因为每个数据都存在测量不确定度，所以曲线不可能通过每一个测量点。但对于曲线，测量点时靠近和匀称分布，故曲线具有多次测量取平均的效果。3 有助于发现测量中的个别错误数据。虽然曲线不可能通过所有的数据点，但不在曲线上的点都应是靠近曲线才合理。如果某一个点离曲线明显的远了，说明这个数据错了，要分析产生错误的原因，必要时可重新测量或剔除该测量点的数据。4 作图法时一种基本的数据处理方法，不仅可以用于分析物理量之间的关系，求经验公式，还可以求物理量的值。但受图纸大小的限制，一般只有34 位有效数字，且连线具有较

6、大的主观性。所以用作图法求值时，一般不再计算不确定度。在报告实验结果时，一条正确的曲线往往胜过百个文字的描述，它能使实验中各物理量间的关系一目了然，所以只要有可能，实验结果就要用曲线表达出来。二.作图规则1列表按列表规则，将作图的有关数据列成完整的表格，注意名称、符号及有效数字的规范使用。2 选择坐标纸作图必须用坐标纸。根据物理量的函数关系选择合适的坐标纸，最常用的是直角坐标纸，此外还有对数坐标纸、半对数坐标纸、极坐标纸等。本节以直角坐标为例介绍作图法，其他坐标可参考本节原则进行。坐标纸的大小要根据测量数据的有效位数和实验结果的要求来决定，原则是以不损失实验数据的有效数字和能包括全部实验点作为

7、最低要求，即坐标纸的最小分格与实验数据的最后一位准确数字相当。在某些情况下例入数据的有效位太少使得图形太小，还要适当放大以便与观察，同时也有利于避免由于作图而引入附加的误差；若有效位数多，又不宜把该轴取得过长，则应适当牺牲有效位，以求纵横比适度。3标出坐标轴的名称和标度通常的横轴代表自变量，纵轴代表因变量，在坐标轴上表明所代表物理量的名称（或符号）和单位，标注方法与表的栏头相同，即量的符号（可用汉字）除以单位的符号。横轴和纵轴的标度比例可以不同，其交点的标度值不一定是零。选择原点的标度值来调整图形的位置，使曲线不偏于坐标的一边或一角；选择适当的分度比例来调整图形的大小。使图形充满纸。分度比例要

8、便于换算和描点，例如，不要用4 个格代表1（单位）或用1 格代表 3（单位）一般取1，2，5，10,标度值按整数等间距（间隔不要太稀或太密，以便于读数）标在坐标纸上。3描点和连线根据测量数据，用削尖的铅笔在坐标图纸上用“+”或“x”标出各测量点，使各测量数据坐落在“+”或“x”的交叉点上。同一图上的不同曲线应当用不同的符号，如“x”、“+”、“”、“”、“”等。用透明的直尺或曲线板把数据点连成直线或光滑曲线。连线应反映出两物理量关系的变化趋势，而不应强求通过每一个数据点，但应使在曲线两旁的点有较匀称的分布，使曲线有取平均的作用。用曲线板连线的要领是：看准四个点，连中间两点间的曲线，依次后移，完

9、成整个曲线。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 16 页 -5.在图上空旷位置，写出完整的图名、绘制人姓名及绘制日期，所标文字应当用仿宋体。三、求直线的斜率和截距直线时，其方程具有形式yb0+b1x。只要求出斜率b1和截距b0，就可以得到关于物理量x，y 的经验公式。在许多实验中也通过求斜率或截距来求得物理量。例 2.测定有一固定转轴的刚体的转动惯量J，该刚体受到动力矩M和阻力矩M的作用，根据转动定律M-M=J，写成M=M+J,设阻力矩为常量，这就是一个直线方程。改变动力矩M，测得一系列相应的角加速度，作M曲线，求出斜率和截距，就得到了转动惯量和阻力矩。1 求斜率直线

10、方程 yb0+b1x（1）在曲线上取p1(x1，y2)和p2(x2，y2)两点代入（1）式，即可求得斜率。求斜率时要注意：（1）p1、p2必须是直线上的点，且不可取测量点；（2）p1、p2在测量范围以内，且相距尽量远；（3）p1、p2用不同于作图描点的符号标出，例如用或，标上字母符号p1或p2及坐标值。读数和计算时注意正确使用有效数字；（4）在实验报告上写出计算斜率的完整过程。2 求截距截距b0是对应于 x=0 的 y 值。在曲线上另取一点p3(x3，y3)，将 x3、y3的值和（1）式，代入直线方程，求得b1y3y2y1x2x1x3.如果作图时x 轴标度从零开始，截距b0也可以从图上直接读出

11、。四、应用举例例 3.以例 1 伏安法测电阻为例，用作图法求电阻R。表 2 作图数据列表测量序号k x U k(V)y I k(mA)1 0 0 2 2.00 385 3 4.00 815 4 6.00 1205 5 8.00 1580 6 10.00 1990 在直角坐标纸上建立坐标，在横轴右端标上“电压/V”，以 1mm 代表 0.1V，原点标度值为 0，每隔 20mm 依次标出2.00，4.00，6.00，8.00，10.00；在纵轴上端标上电流/mA，以 1mm 代表 0.2mA，原点标度值为0，每隔 25mm 依次标出5.00，10.00，15.00，名师资料总结-精品资料欢迎下载-

12、名师精心整理-第 3 页，共 16 页 -20.00。如图 1。削尖铅笔，按照表2 的数据，用符号“+”描出各测量点，然后用透明的直尺划一条直线，连线时注意使6 个测量点靠近直线且匀称地分布在该直线的两侧。在曲线上方空白处写上图名“电阻的伏安性曲线”。为求斜率，在曲线上取两点用“”标出，并在旁边写上符号和坐标值p1(1.00，2.02)和p2(9.00，17.98)图 1 电阻的伏安特性曲线斜 率17.982.029.001.001.995电 阻五、曲线改直按相关物理量作成曲线虽然直观，但要判断具体函数关系却比较困难。通过适当的变换，将曲线改成直线，再作图分析就方便得多，而且容易求得有关的参数

13、。例 4 带等量异号电荷的无线长同轴圆柱面之间的静电场中，某点A 的电场强度E的大小和A 点到轴线的距离r 成反比。现用实验来验证E（1/r）（见实验4）。实验中不能直接测电场强度，只能测得 A 点的电位 U，根据场强和电位的关系EdU/dr，从 E（1/r）可推出 Uln(r)。实验数据处理时作r U 图线（以 U 为横轴，r 为纵轴），得到一条曲线，很难看出他们有怎样的函数关系（图 2a）。若仍以 U 为横轴，而已 ln（r）为纵轴，则图线为一条直线（图 2b），这就证明了U ln(r)，从而严正了Ea（1/r）的关系。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 16 页

14、 -（a）r-U 曲线(b)lnr-U 曲线图 2 曲线改直六、作图中的常见错误1原点标度不当，图形偏于一边或一角；坐标比例不当，图形太小或部分实验点超出图纸而丢失。2在坐标轴上标出了测量值或在实验点旁标出其坐标值。3用“?”作为描点的符号；用圆珠笔作图或者没有把铅笔削尖；徒手连线或者用直尺连曲线。4求斜率，截距使用了测量电。应注意，即使曲线通过了测量点，该点也不可用来求斜率和截距。最后应该指出，不要以为作图法仅仅是做完实验之后处理数据的一种方法，从分析实验任务设计方案时就可以运用作图法的思想。例 3 就巧妙地绕开了阻力矩地影响求得了转动惯量。作图法适用于物理实验的全过程。在教学中，作图法对于

15、物理思维，实验方法和技能的训练有着特殊的地位和作用。3 逐差法当两物理量成线性关系时，常用逐差法来计算因变量变化的平均值；当函数关系为多项式形式时，也可用逐差法来求多项式的系数。逐差法也成为环差法。一、逐差法的优点1充分利用测量数据，更好地发挥了多次测量取平均值的效果。2绕过某些定值未知量。3可验证表达式或求多项式的系数。二、逐差法的适用条件1两物理量 x，y 之间的关系可表达为多项式形式。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 16 页 -例如：yb0+b1x yb0+b1x+b2x2 yb0+b1x+b2x2 +b3x3 2变量 x 必须是等间距变化，且较因变量y 有

16、更高的测量准确度，以致通常 x的测量不确定度忽略不计三、逐项逐差逐项逐差就是把因变量y 的测量数据逐项相减，用来检查 y 对于 x 是否成线性关系，否则用多次逐差来检查多项式的幂次。1一次逐差若 yb0+b1x，测得一系列对应的数据 x1，x2，,，xk，,，xn y1，y2，,，yk，,，yn （3）逐项逐差，得到：y2y1 y1 y3y2y2,yk1ykyk因为 y 对于 x 成线性关系，且x 为等间距变化，故yk常量。所以，若对实验测量值进行逐项逐差，得到yk常量则证明 y 对于 x 成线性关系。2二次逐差若 yb0+b1xb2x2，则逐项逐差后所得结果yk常量，遂将yk再作一次逐项逐差

17、（称为二次逐差）y2y1y1 y3y2y2,yk1ykyk同理，若二次逐差结果yk常量，则可证明y 对于 x 为二次幂的关系。依此类推，还可以进行三次逐差或更高次逐差。四、分组进行逐差求多项式的系数用逐差法来求因变量变化的平均值，或求多项式的系数时，不能用逐项逐差，而是把 n 项测量值分为上、下两组，用下组中的每一个数据与上组中对应的数据一一相减。1当 y 对于 x 为线性关系yb0+b1x 时，用一次逐差即可求系数b0和b1。（1）求系数b1 测得值如（3）式，共有n 项对应值。分为上、下两组，每组有l n/2 项。隔 l 项相减作逐差：ykb0+b1xi （4）yk 1b0+b1xk l

18、两式相减得到 yk 1ykb1（xklxk）上式左边为因变量隔l 项得逐差值，记为lyk；右边括号中为l 倍自变量间隔，记为 l（x2 x1），则上式写为lykb1l（x2x1）（5）从 k1 到 k l 共可得到l 个lyi值，取平均记为ly。代入（5）式，求得系数b1得值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 16 页 -b1lylx2x1（2）求系数b0将系数b1值代入（4）式，有 y1b0+b1x1 y2b0+b1x2,一共 n 个 yk，每个 yk都可以求出一个b0，n 个b0取平均，即为所求系数b0得值：b01n1nkykb1xk=b01n1nkyk=b11n

19、1nkxk=b0yb1x2若 yb0+b1x+b2x2，求系数时，则须将第一次逐差得到的lyk再分成上、下两组，进行第二次逐差，从而求得系数b2，然后依次求出b1和b0。由此类推，也可以进行多次逐差求高次项的系数，但实际上很少使用。3系数b1和 b0的标准偏差（1）b1的标准偏差根据（6）式，b1由ly 而来，故通常用于求多次测量平均值标准偏差的公式S xS x()n求出 ly 的标准偏差s（ly），再用不确定度传播公式yf（x1，x2，,）求得系数b1的标准偏差s（b1）。（2）b0的标准偏差由（7）式可见，b0的标准偏差由y 和b1的标准偏差合成uiy()yxiu xi得到。如前所述，计算

20、过程中x 的测量不确定度忽略不计。五、应用举例例 5 仍以伏安法测电阻为例（见例一），用逐差法求电阻R。Ib0 b1U，R=1/b1;共 6 项，n 6，l n/2 3，故隔 3 项逐差，3Ik=Ik3Ik。表 3 用逐差法处理数据序号 k I/10 3AIk 3/10 3A3Ik/10 3A 1 0 1205 1205 2 385 15801195 3 815 1990 1175 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 16 页 -平 均3 l11.917求系数b1:b13Il U2U111.91761.986求被测量R:R1b10.5035k503.5求 b 的标准偏

21、差s3I13k3Ik3I2=l l1()0.0882s b1s3Il U2U10.08823 20.0147求R的标准偏差s R()Rs b1b10.01471.9860.00740s(R)=503.5*0.740%=3.7六、逐差法中常见错误1求系数时使用了逐项逐差上 例 中，若 用 逐 项 逐 差 求 电 流 变 化 的 平 均 值，则 算 式 为I2I1I3I2.I6I55I6I15显然，中间各测量值都被抵消掉了，只用了第一次和最后一次测量值，失去了多次测量取平均值的意义。2奇数项失（n奇数），上组少分一项假设上例中共测了9 次，n9，应分为上组5 项，下组4 项，隔 5 项逐差后得到4

22、项，若按上组少分一项分组，则是隔4 项逐差，似乎最后可多得到一项为I9I5。但仔细考察可见，该项和第一项I5I1的I5抵消掉了，仍旧是没有利用I5。所以，凡 n为奇数时，应上组多一项，作隔In1/项逐差。3列表表达不清楚表中应表达出是隔几项逐差，反映出l、yk、yk 1、lyk之间的对应关系。4 最小二乘法和一元线性回归从测量数据中寻求经验方程或提取参数，称为回归问题，是实验数据处理的重要内容。用作图法获得直线的斜率和截距就是回归问题的一种处理方法，但连线带有相当大的主观成分，结果会因人而异；用逐差法求多项式的系数也是一种回归方法，但它又受到自变量必须等间距变化的限制。本节介绍处理回归问题的又

23、一种方法最小二乘法。一、拟合直线的途径1问题的提出假定变量x 和 y 之间存在着线性相关的关系，回归方程为一条直线名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 16 页 -yb0+b1x （8）由实验测得的一组数据是xk、yk（k1，2，,，n），我们的任务是根据这组数据拟合出（8）式的直线，即确定其系数b0、b1。我们讨论最简单的情况，假设（1）系统误差已经修正；（2）n 次测量的条件相同，所以其误差符合正态分布，这样才可以使用最小二乘法原理；（3）只有 yk存在误差，即把误差较小的最为变量x，使不确定度的计算变得简单。2解决问题的途径最小二乘法原理由于测量的分散性，实验点不

24、可能都落在一条直线上，如图3。相对于我们所拟合的直线，某个测量值yk在 y 方向上偏离了vk，vk就是残差 vkyky y（b0b1xk）联想到贝塞尔公式S x()1n11nkxk2=1n1nkxk=2如果nkkV12的值小，那么标准偏差s（y）就小，能够使s（y）最小的直线就是我们所要拟合的直线。这就是最小二乘原理。最小二乘原理：最佳值乃是能够使各次测量值残差的平方和为最小值的那个值。由（9）式可见，b0和b1决定 vk的大小，能够使nkkV12为最小值的b0、b1值就是回归方程的系数。二 回归方程的系数1用最小二乘原理求回归方程的系数1nkvk2=1nkykb0b1xk2=（10）使 v2

25、k为最小值，极小值条件是一级导数等于零和二级导数大于零。这里xk、yk是测量值，变量b0和b1，（10）式分别对b0和b1求偏导数b01nkvk2=21nkykb0b1xk.xk=0(11)b01nkvk2=21nkykb0b1xk.xk=0名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 16 页 -整理后得x b1b0y(12)x2b1x b0 xy其中x1n1nkxk=.,y1n1nkyk=，x21n.1nkxk2=，xy1n.1nkxkyk=解联立方程（12），得到b1x.yxyx2x2（13）b0yb1x（14）（13）式对b0和b1再求一次导数，得到的二阶导数大于零。这

26、样（13）和1nkvk2=（14）式给出的b0和b1对应于的极小值，即为回归直线的斜率和截距的最佳1nkvk2=估计值，于是就求得了回归方程（8）。2为了便于记忆和用计算器或计算机编程计算，引入符号Lxy1nnxkxyky=Lxx1nkxkx2=(15)Lyy1nkyky2=很容易证明名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 16 页 -于是b1LxyLxx(17)3测量点的重心由（14）式，得到，可见回归直线通过点。点称为（xk，yk）的b0b1xyx yx y重心。理解这点，有助于用作图法处理数据时的连线。三、回归方程系数的标准偏差1yk的标准偏差由（12）式，我们很

27、容易求得yk的标准偏差(18)式中分母n2 是自由度，可以作如下解释：两点决定一条直线，只需测量两个点，即可解出直线的斜率和截距，现在多测了n2 个点，所以n2 是自由度。s(y)是因变量yk的标准偏差，在满足本节开始的三个假设的条件下，我们可以对照测量列的标准偏差的意义来理解s(y)：对于自变量的某一个取值，因变量是直线上相应的一个点，在重复条件下作任意次测量，实测点落在与直线上相应的距离在s(y)范围以内的概率是68。3。s(y)描述了测量点对于直线的分散性。2回归方程系数的标准偏差（1）b1的标准偏差s（b1）我们的任务是从s(y)求出b0和b1的标准偏差，所以首先要找到b1和 yk之间

28、的关系。由（17）01nkvk=1nkxkx1nkxkx2=yk=b1LxyLxx1nkxkxyky=1nkxkx2=（19）按照不确定度的传播与合成的方法，可求b1的标准偏差。注意到（19）式，b1由多项带有系数的yk求和得到，所以，s（b1）具有方和根的形式，方差s2（b1）为s2b11nkb1yk2s2y()=名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 16 页 -将（19）式代入上式，整理后开方得到s b1s y()Lxx（20）（2）b0的标准偏差s（b0）同理 可 推 导 出s b0 x s b1（21）3讨论（1）s（b0）是截距 b0的标准偏差。如果得到s（

29、b0）0，则b10，回归直线的斜率为正，称为正相关：r0，则b10.917，表明 I 与 U 显著相关，即回归直线的直线性很好。2求系数3求系数的标准偏差名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 16 页 -s b10.01694求电阻及其标准偏差5说明：在相关性很好的情况下，r 接近于 1，则（24）式中分子(1/r2)1 为零，以致不能计算出s（b1）和 s（b0）。所以表5 中的各项计算求和、平方、平均等要保留到比r 值所含的“9”的个数还要多23 位数字。例6 中 r0.999 856，小数点连续有3 个“9”，故求回归方程系数的运算（包括表5）取 56 位数字。中间运算过程亦如此，直到计算出合成不确定度或扩展不确定度之后，再把不确定度取为2 位有效数字，以及把测量结果修约到与不确定度的末位对齐。参考资料附录 1.美国斯坦福仪器厂生产的数字锁定放大器（附件）使用说明书。附录 2、3.浙江大学科教仪器厂制作的“激光实验仪使用说明光盘”。附录 4.傅思镜编赖天树校，光电专门实验，中山大学教材科，1995 附录 5.金重、刘金环等编著，大学物理实验教程（工科），南开大学出版社，2000,P30-44,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 16 页 -