2022年洛伦兹变换的详细推导 .pdf

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1、第三节洛伦兹变换式教学 内容：1.洛伦兹变 换式的推导；2.狭义相对 论的时空观：同 时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓；重点 难点：狭义相对论时 空观的主要结论。基本 要求：1.了解洛伦 兹坐标变换和速 度变换的推导；2.了解狭义 相对论中同时性 的相对性以及 长度收缩和时间延缓概念；3.理解牛顿 力学中的时空观 和狭义相对论 中的时空观以及两者的差异。三、洛伦兹坐标变换的推导22211cvcvxttzzyycvvtxx或22211cvcxvttzzyycvt vxx据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。1.时 空坐标间的变换关系作为 一条 公 设，我们 认 为时间 和空 间都是

2、均匀的，因 此时空 坐标 间的变 换必须是 线 性的。对于任意事件 P 在 S 系 和S系中的 时空坐标(x，y，z，t)、(x，y，z，t)，因 S 相对 于 S以平 行于 x 轴 的速度 v 作匀 速运动，显然有 y=y,z=z。在 S系中观察 S系的原点，x=0；在S 系 中 观 察 该 点，x=-vt，即 x+vt=0。因此x=x+vt。在任意的一个 空间点上，可以 设：x=k（x+vt），k 是比例常数。同样地可得到：x=k（x-vt）=k（x+(-v)t）根据相对性原 理，惯性系 S系和 S系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k=k。名师资料总结-精品资料欢迎下

3、载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -2.由光速 不变原理可求出 常数 k设 光信号在 S 系和 S系的原点重 合的瞬时从重合点沿 x 轴前进，那么在任一瞬时 t（或 t），光信 号到达点在 S系和 S系中的坐 标分别是：x=ct,x=ct，则：t tcxx2t vt cvtctkt vxvtxk22222vct tk由由此此 得得 到到22211cvvcck。这样，就得到21cvvtxx，21cvt vxx。由上面二式，消去 x得到221cvcvxtt；若消去 x 得到221cvcxvtt，综合以上结果，就得 到洛仑兹 变换，或洛仑兹 反变换22211cvcvxttzzyycvvtxx

4、22211cvcxvttzzyycvvtxx可见 洛仑兹变换是 两条基本原理的 直接结果。3.讨论（1）可以证明，在洛 仑兹变换下，麦 克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。故麦克斯 韦方程组能够用来描述高速运 动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象，故它 有一定的适用 范围。（2）当|v/c|1时，洛仑兹变换就成 为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情形。故牛顿力学仅 是相对论力学的 特殊情形低速极限。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -四、相对论速度变换公式洛仑兹变换是 事件的时空坐标 在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义

5、相对 论的速度变换 公式。设物体在 S、S系中的的速度分别为zyxuuu,，zyxuuu,，根据洛仑兹变换式 可得：222111cvdtvucvdtvdtdxcvvdtdxxdx2222111cvcvudtcvcvdxdttdx因因此此：222111cvcvudtcvdtvutdxdxx，即：21cvuvuuxxx因y=y,z=z，有dy=dy,dz=dz则2211cvcvudtdytdydx，即2211cvucvuuxyy。同 理：2211cvucvuuxzz因此 得相对论的速 度变换公式：21cvuvuuxxx、2211cvucvuuxyy、2211cvucvuuxzz其逆 变换为：21c

6、uvvuuxxx、2211cuvcvuuxyy、2211cuvcvuuxzz。讨论（1）当 速度 u、v 远小于光速 c 时，即 在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为 伽利略速度变 换式vuuxx。（2）利 用速度变换公 式，可证明光速 在任何惯性系中都是 c。证明：设 S系 中观察者测得沿 x 方向 传播的一光信号的光速为 c，在 S 系中的观察者测得 该光信号的速 度为：ccvcvcux21，即光信号在 S系和 S系中都相同。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -第四节狭义相对论的时空观一、一、同时的相对性1.概念狭义相对论的时空观认为：同时是相

7、对的。即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。如图设S系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯P。当灯发出闪光时：S系的观察者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此同时到达A、B 两端；S系（地面上）的观 察者认为，A 与光相 向运动（v、c 反向），B 与光同向运动，所以光 先到达 A 再到达 B，不同时到达。结论：同时性 与参考系有关 这就是同时的相对性。假设两个事件 P1和 P2，在 S 系和S系中测得其时空坐标为：222211112222111

8、1tzyxtzyxStzyxtzyxS，：，：由洛伦兹变换 得：222222211111cvcxvttcvcvxtt，在 S 系和S系中测得的时间 间隔为12tt和（t2-t1），它们之间的关系为：221212121cvcxxvtttt可见，两个彼此间 作匀速运动的惯 性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -2.讨论（1）在 S系 中同时发生：t2=t1，但在不同地点发生，12xx，则有：2221121cvcxxvtt这就 是同时的相对 性。（2）在 S系中同时发生：t2=t1，而且在相同地点发生，12xx，则有：122

9、2121212101ttcvcvxxttttt，12212121201xxcvttvxxxx，即在 S系中同时同 地点发生的两个 事件，在 S 系中也同时同地点发生。（3）事件的 因果关系不会颠倒，如人出生的先后假设在 S系中，t 时刻在 x 处的质点经 过t时间后到达xx处，则由：221cvcvxtt得到txucvcvutcvcvxtt1112222因为 vc，uc，所以 t与 t 同 号。即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。（4）上述情况 是相对的。同理 在 S 系中不同地点同时发生的两个事件，在 S系看 来同样也是不 同时的。（5）当cv时，tt，回 到牛顿力学。名师资料总结-精品资料欢

10、迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -二、长度收缩（洛伦兹收缩）假设一刚性棒 A B 静止于 S 系中12xxl，在 S 系中同时ttt21测量得12xxl。由 洛伦兹坐标变换 式：2222211111cvvtxxcvvtxx，得：212212121211cvxxcvttvxxxx即21cvll1.固有长度观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用 l0表示。即201cvll2.洛伦兹收缩（长度缩短）观 察 者 与 被 测 物 体 有 相 对 运 动 时，长 度 的 测 量 值 等 于 其 原 长 的21cv倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦

11、兹收缩（长度缩短）。讨论：（1）长 度缩短效应具 有相对性。若在 S 系中有一静止物体，那么在S系中观察者将同时 测量得该物体 的长度沿运动方 向缩短，同理有21cvll即看 人家运动着的 尺子变短了。（2）当 v c 时，有ll三、时间膨胀（时间延缓）由洛伦兹变换得221212121cvcxxvtttt，事件 P1、P2在 S系名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -中的 时间间隔为12ttt，事件 P1、P2在 S 系中的时间间隔为12ttt。如果 在 S 系中两事 件同地点发生，即12xx，则有：22121211cvtcvttttt1.固有时间（原时）的概

12、念在某一惯性系 中同一地点先后 发生的两事件之间的时间间隔，叫固有时间（原时）。用0表示，且：201cvt。2.时间膨胀在 S系看来：0t，称为时间膨胀。3.讨论（1）时间膨胀效应具有相对性。若在S系中 同一地点先后发生两事件的时间间隔为 t（称 为原时），则同理有21cvtt就好象时钟变慢了，即看人家运动着的钟变慢了。（2）当v c时，有tt（3）实 验已证实 子，介子等基本粒 子的衰变，当它 们相对实验室静止和高速运动时，其寿命完全不同。例 1:在 惯 性 系 S 中，有 两 个 事 件 同 时 发 生，在xx轴 上 相 距m.31001处，从另一惯性系S中观察到这两个事件相距m3100.

13、2。问由 S系测得此两事件的时间间隔为多少？解：由题 意知，在S系 中，12tt，即012ttt，mxx312100.1。而在 S 系看来，时间间隔为12ttt，空间间隔为mxx312100.2。由洛伦兹坐标变 换式得：1112122121212cvxxcvttvxxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -212212121cvxxcvttttt212122212xxcvcvxxcv由（1）式得ccxxxxv2341112121212212代入（2）式 得sct63331077.510310310223例 2:半人马星座 星是离太阳系最近的恒星，它距地球为16103.4m。设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座 星之间。若宇宙飞船的速度为 0.999 c，按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？解：以地球上的时 钟计算：816103999.0103.42vsta91087.28（a 为 annual 之首字母）；若以 飞船上的时钟 计算：（原时），因为21cvtt所以 得282999.011087.21cvttas4.01028.17名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -