数学的一般认识及现代数学观.ppt

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1、数学的一般认识及现代数学观现在学习的是第1页，共26页 教学目标：教学目标：1.1.了解数学的一般意义；了解数学的一般意义；2.2.了解数学的三个特点；了解数学的三个特点；3.3.了解数学的主要的三次危机了解数学的主要的三次危机.现在学习的是第2页，共26页第三章第三章 数学的一般认识及现代数学观数学的一般认识及现代数学观一、数学的一般认识一、数学的一般认识1.数学的概念：数学的概念：研究客观世界空间形式和数量关系的科学是数学。研究客观世界空间形式和数量关系的科学是数学。2、数学的归类、数学的归类 数学与其他许多学科不一样，它不是以某一类实物或某一种物质数学与其他许多学科不一样，它不是以某一类

2、实物或某一种物质运动形态作为研究对象，而是从各种事物中抽取出量的方面来加以研运动形态作为研究对象，而是从各种事物中抽取出量的方面来加以研究。究。M凯德洛夫曾作凯德洛夫曾作论科学分类论科学分类的报告，他把数学列在的报告，他把数学列在哲学哲学与自然科学之间与自然科学之间的位置上。这样的分类，曾使我国的数学家和哲学的位置上。这样的分类，曾使我国的数学家和哲学家受到启发。但是在我国的科学部门、教育部门，至今还是按照传统家受到启发。但是在我国的科学部门、教育部门，至今还是按照传统的看法，的看法，把数学算作自然科学的一个门类把数学算作自然科学的一个门类，与自然科学的其他学科与自然科学的其他学科如物理学、化

3、学、生物学等并列在一起。如物理学、化学、生物学等并列在一起。现在学习的是第3页，共26页 归于自然科学的数学归于自然科学的数学 从历史发展看，数学首先是和天文学、力学，以后又和物理学从历史发展看，数学首先是和天文学、力学，以后又和物理学等一起成长起来的，所以人们习以为常地把数学归在自然科学一类等一起成长起来的，所以人们习以为常地把数学归在自然科学一类。随着科学的发展和数学自身的发展，人们愈来愈清楚地看到随着科学的发展和数学自身的发展，人们愈来愈清楚地看到数学不能够数学不能够只被只被看作一门自然科学了，它对各门科学看作一门自然科学了，它对各门科学(包括自然科学包括自然科学和社会科学和社会科学)都

4、能起到方法论的作用都能起到方法论的作用。现在学习的是第4页，共26页 二、数学的特征二、数学的特征 作为一种科学理论的数学理论，当然也具有科学理论的各作为一种科学理论的数学理论，当然也具有科学理论的各种特点，但由于数学理论的特殊性，与其他科学理论相比较而种特点，但由于数学理论的特殊性，与其他科学理论相比较而言，它又具有以下三个主要的特征：言，它又具有以下三个主要的特征：1.抽象性抽象性（两个方面）（两个方面）数学理论作为一种认识形式，与其他学科相比，其最基本的特数学理论作为一种认识形式，与其他学科相比，其最基本的特点就是高度的抽象性。点就是高度的抽象性。当然，许多其他科学也具有抽象性。当然，许

5、多其他科学也具有抽象性。现在学习的是第5页，共26页 数学的抽象性更多地表现在以下两方面：数学的抽象性更多地表现在以下两方面：（1 1）舍弃事物的具体内容而抽取出量的关系。舍弃事物的具体内容而抽取出量的关系。正如恩格斯所形容：正如恩格斯所形容：“为了能够从纯粹的状态中研为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系，必须使它们完全脱离自己的内容，究这些形式和关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作为无关重要的东西放在一边，这样，我们就得把内容作为无关重要的东西放在一边，这样，我们就得到没有长宽高的点、没有厚度和宽度的线、到没有长宽高的点、没有厚度和宽度的线、a a和和b b 与与x x和和y y

6、，即常数数；，即常数数；”数学的这种点、线以及其他形式和关系，不同于客观实在的点、线或现实的形式和关系，已是一种“思想事物思想事物”了，或者就象现代数学家所说的是一种抽象结构。现在学习的是第6页，共26页（2）数学运用特制的抽象符号语言。）数学运用特制的抽象符号语言。在数学定理中，从前提到结论，每一推理步骤都是用符号进行的，所得到的结论也是用数学公式来表达的。数学的抽象程度确实是高于其他自然科学，有人说数学具有高度抽象性或极端抽高度抽象性或极端抽象性象性是不过分的。现在学习的是第7页，共26页 2.精确性精确性（两个方面）（两个方面）精确性指的是数学具有逻辑的严密性和结论的确定性精确性指的是数

7、学具有逻辑的严密性和结论的确定性数学的精确性数学的精确性主要表现在两个方面：主要表现在两个方面：（1 1）逻辑上的可靠性）逻辑上的可靠性 在数学中，每一个公式、定理都要严格地从逻辑上加以证在数学中，每一个公式、定理都要严格地从逻辑上加以证明以后才能够确立，获得承认。明以后才能够确立，获得承认。数学的推理步骤严格地遵守形式逻辑诸法则，以保证从前数学的推理步骤严格地遵守形式逻辑诸法则，以保证从前提到结论的推导过程中，每一个步骤都是在逻辑上准确无误的提到结论的推导过程中，每一个步骤都是在逻辑上准确无误的。所以，运用数学方法从已知的关系推求未知关系时，所得到。所以，运用数学方法从已知的关系推求未知关系

8、时，所得到的结论就具有逻辑上的可靠性。的结论就具有逻辑上的可靠性。现在学习的是第8页，共26页数学的这一特征自古就有。数学的这一特征自古就有。正如爱因斯坦所说：正如爱因斯坦所说：“为什么数学比其他一切科学受到特殊尊为什么数学比其他一切科学受到特殊尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其他一重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于会被新切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中；发现的事实推翻的危险之中；数学之所以有高声誉，还有数学之所以有高声誉，还有另一个理由，那就是数学给予精

9、密自然科学以某种程度的可靠另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。”现在学习的是第9页，共26页（2）数学运用公理化方法）数学运用公理化方法 数学的逻辑严密性还表现在它的公理方法。每一个认识领数学的逻辑严密性还表现在它的公理方法。每一个认识领域，当经验知识积累到相当数量的时候，需要进行综合、整理域，当经验知识积累到相当数量的时候，需要进行综合、整理，使之条理化，形成概念和论理的系统。以实现认识从感性阶，使之条理化，形成概念和论理的系统。以实现认识从感性阶段到理性认识的阶段，从理性认识的初级水平

10、发展到更高级的段到理性认识的阶段，从理性认识的初级水平发展到更高级的水平，表现在一个理论系统发展到逻辑严密程度更高的公理化水平，表现在一个理论系统发展到逻辑严密程度更高的公理化体系。体系。现在学习的是第10页，共26页辩证地理解数学的精确性辩证地理解数学的精确性 在数学中不能处处都要求逻辑的严密性 微积分刚建立时，逻辑上是很不严密的，有明显的漏洞，然而其结论是正确的，并获得了惊人的有效应用。当然，在数学中，逻辑上的漏洞、矛盾是不允许的，因此数学家总要千方百计地解决或消除这些矛盾，经过很长时间和许多数学家的努力，终于给微积分建立了比较严密的理论基础。像微积分这样的事例在数学中还有很多，不过，逻辑

11、上的不严密只能是暂时的(虽然可能上百年、上千年)，所以数学和其他的学科相比较，它还是以逻辑上的严格性而著称。小学数学中，对某些数学概念并不给出非常严格的定义，只是结合实例给出解释。现在学习的是第11页，共26页 3.应用的广泛性（两个方面）应用的广泛性（两个方面）数学应用的广泛性，体现在数学不但能应用于各门自然数学应用的广泛性，体现在数学不但能应用于各门自然科学，而且可以应用于社会科学；科学，而且可以应用于社会科学；不但应用于工程技术，农业生产，而且可以应用于国民不但应用于工程技术，农业生产，而且可以应用于国民经济和社会管理的各个领域。经济和社会管理的各个领域。（1）在数学中，各种的关系、变化

12、以及量之间，这种(些)变化与那种(些)量的变化之间的关系，都是用数学所特有的符号语言(包括图形、数字和各种符号)来表示的。在科学研究中，需要对这类巨大的或微小的数字进行计算，如果只靠日常用语是难以进行和表达的；自然界的或社会生活中的许多发展规律却可用微分方程来描述。在工程技术中、经济工作中，有些问题需要用若干个数量从整体上反映其数量关系，像电子网络系统，经济规划，商品产销关系等等都可用代数学中的矩阵来表示。随着数学语言愈来愈多地运用，许多科学家干脆就把数学称为“科学的语言”。而用数学语言描述出所要研究的问题，就构成一个数学问题，称为研究对象的数学模型。现在学习的是第12页，共26页（2）数学提

13、供有效的计算方法。一门科学从定性的描述进入到定数学提供有效的计算方法。一门科学从定性的描述进入到定量的分析和计算，是这门科学达到比较成熟阶段的重要标志。量的分析和计算，是这门科学达到比较成熟阶段的重要标志。在科学史上，力学，天文学、物理学都是由于将观测、实验与在科学史上，力学，天文学、物理学都是由于将观测、实验与数学方法相结合以后才迅速成长为数学方法相结合以后才迅速成长为“精密科学精密科学”的。近代、现代的的。近代、现代的许多学科都是通过大量运用数学方法而走向定量化、精确科学理许多学科都是通过大量运用数学方法而走向定量化、精确科学理论的一个重要特征就是具有预见性，而这种预见性一般是通过数论的一

14、个重要特征就是具有预见性，而这种预见性一般是通过数学方法来表现的一些准确的科学预言，就是依据科学理论进行数学方法来表现的一些准确的科学预言，就是依据科学理论进行数学的推导和计算而获得的理论结果。因此，当科学理论通过自己学的推导和计算而获得的理论结果。因此，当科学理论通过自己的预见性指导实践，同时又通过预言之能否实现和是否准确地实的预见性指导实践，同时又通过预言之能否实现和是否准确地实现来接受实践检验的时候，都是离不开数学计算的。现来接受实践检验的时候，都是离不开数学计算的。现在学习的是第13页，共26页（2）数学提供有效的计算方法。一门科学从定性的描述进入到定量的数学提供有效的计算方法。一门科

15、学从定性的描述进入到定量的分析和计算，是这门科学达到比较成熟阶段的重要标志。分析和计算，是这门科学达到比较成熟阶段的重要标志。在科学史上，力学，天文学、物理学都是由于将观测、实验与在科学史上，力学，天文学、物理学都是由于将观测、实验与数学方法相结合以后才迅速成长为数学方法相结合以后才迅速成长为“精密科学精密科学”的。近代、现代的。近代、现代的许多学科都是通过大量运用数学方法而走向定量化、精确科的许多学科都是通过大量运用数学方法而走向定量化、精确科学理论的一个重要特征就是具有预见性，而这种预见性一般是学理论的一个重要特征就是具有预见性，而这种预见性一般是通过数学方法来表现的一些准确的科学预言，就

16、是依据科学理通过数学方法来表现的一些准确的科学预言，就是依据科学理论进行数学的推导和计算而获得的理论结果。因此，当科学理论进行数学的推导和计算而获得的理论结果。因此，当科学理论通过自己的预见性指导实践，同时又通过预言之能否实现和论通过自己的预见性指导实践，同时又通过预言之能否实现和是否准确地实现来接受实践检验的时候，都是离不开数学计算是否准确地实现来接受实践检验的时候，都是离不开数学计算的。的。现在学习的是第14页，共26页三、数学的三次危机三、数学的三次危机 什么是数学危机？什么是数学危机？数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法

17、与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。的基础时，就产生数学危机。矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的

18、内容，矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。现在学习的是第15页，共26页 数学的这一特征自古就有。数学的这一特征自古就有。正如爱因斯坦所说：正如爱因斯坦所说：“为什么数学比为什么数学比其他一切科学受到特殊尊重，一个理由是其他一切科学受到特殊尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的

19、，而它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于会被新发现的事实争辩的，并且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中；推翻的危险之中；数学之所以有高声数学之所以有高声誉，还有另一个理由，那就是数学给予精誉，还有另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。学，这些科学是达不到这种可靠性的。”现在学习的是第16页，共26页1.第一次数学危机第一次数学危机 无理数的发现导致了第一次数学危机，无理数的发现导致了第一次数学危机，而危机

20、的解决也就促使而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。逻辑的发展和几何学的体系化。或者说数的或者说数的不可通约性不可通约性的发现引起第一次数学危机。的发现引起第一次数学危机。第一次数学危机发生在公元前第一次数学危机发生在公元前5百年左右的古希腊。百年左右的古希腊。毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。数之比。毕达哥拉斯学派的数都是整数。他们在数学上的一项重大毕达哥拉斯学派的数都是整数。他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三

21、边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。现在学习的是第17页，共26页 有人说，这种性质是希帕索斯（有人说，这种性质是希帕索斯（Hipparchus，公元前，公元前180125）约在公元前）约在公元前400 年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的

22、数学观点有极大的密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。有特殊地位。现在学习的是第18页，共26页 毕达哥拉斯悖论毕达哥拉斯悖论 大约公元前世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯大约公元前世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然

23、及社会中不变因素的研悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把究，把几何、算术、天文、音乐称为几何、算术、天文、音乐称为“四艺四艺”，在其中追求宇宙在其中追求宇宙的和谐规律性。的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为的直角三角形就是如此。这

24、一悖论直接触犯了毕氏学派的根边长均为的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的本信条，导致了当时认识上的“危机危机”，从而产生了第一次数学危机。，从而产生了第一次数学危机。现在学习的是第19页，共26页第一次数学危机的产物第一次数学危机的产物欧氏几何学。欧氏几何学。欧几里得的欧几里得的原本原本对数学发展的作用是毋容置疑的对数学发展的作用是毋容置疑的 欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学

25、、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的自然哲学的数学原自然哲学的数学原理理和斯宾诺莎的和斯宾诺莎的伦理学伦理学等都采用了欧几里得等都采用了欧几里得几何原本几何原本的体的体例。例。到了公元前到了公元前370370年，这个矛盾被毕氏学派的欧克斯通过给比例下新定义年，这个矛盾被毕氏学派的欧克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得原本原本第卷第卷中。欧多克斯和狄德金于中。欧多克斯和狄德金于18721872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中年给出的无理数的解释与

26、现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。处。现在学习的是第20页，共26页 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验

27、不一定靠得住，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！现在学习的是第21页，共26页2.第二次数学危机第二次数学危机 无穷小量究竟是不是零的讨论引发了第二次数学危机。无穷小量究竟是不是零的讨论引发了第二次数学危机。以求速度为例，瞬时速度是以求速度为例，瞬时速度是s/t当当t趋向于零时的值。趋向于零时的值。t是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不

28、是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零是零 第二次数学危机发生在公元前十七世纪至十九世纪的欧洲。第二次数学危机发生在公元前十七世纪至十九世纪的欧洲。第二次数学危机的产物第二次数学危机的产物微积分学和集合论的产生微积分学和集合论的产生现在学习的是第22页，共26页 在十七世纪晚期，形成了无穷小演算在十七世纪晚期，形成了无穷小演算微积分这门学科，这也就是数微积分这门学科，这也就是数学分析的开端。学分析的开端。牛顿和莱布尼兹牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：1.把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；把各种

29、问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；2.有明确的计算微分法的步骤；有明确的计算微分法的步骤；3微分法和积分法互为逆运算。微分法和积分法互为逆运算。柯西柯西在在1821 年的年的代数分析教程代数分析教程中从定义变量开始，认识到函数不一中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克雷狄里克雷给出了函数的现代定义。给出

30、了函数的现代定义。维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯给出现在通用的给出现在通用的-的极限、连续定义，并把导数、积分等概的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。现在学习的是第23页，共26页 十九世纪七十年代初，维尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。由

31、此，第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题，而这正是二十世纪数学基础中的首要问题 数学分析建立在极限理论基础上数学分析建立在极限理论基础上现在学习的是第24页，共26页3.第三次数学危机第三次数学危机 第三次数学危机源于罗素的悖论。第三次数学危机源于罗素的悖论。第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初。第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初。第三次数学危机的产物第三次数学危机的产物逻辑的数学化，促使了数理逻辑这逻辑的数学化，促使了数理逻

32、辑这门学科诞生。门学科诞生。现在学习的是第25页，共26页 数学史上的第三次危机，是由数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。整个基本结构的有效性的怀疑。现在学习的是第26页，共26页