2022年最新中考数学版专题复习第十三讲：反比例函数 .pdf

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1、最新中考数学2013 版专题复习第十三讲反比例函数【基础知识回顾】一、反比例函数的概念：一般地：互数 y（k 是常数，k0）叫做反比例函数【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k0、x0、y0 2、反比例函数的另一种表达式为y=（k 是常数，k0）3、反比例函数解析式可写成xy=k（k0）它表明反比例函数中自变量 x 与其对应函数值 y 之积，总等于】二、反比例函数的同象和性质：1、反比例函数 y=kx（k0）的同象是它有两个分支，关于对称2、反比例函数 y=kx（k0）当 k0 时它的同象位于象限，在每一个象限内 y 随 x 的增大而当 k0 时，它的同象位于象限，在每一个象限内，y 随 x

2、 的增大而【名师提醒：1、在反比例函数 y=kx中，因为 x0，y0 所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x 轴 y 轴2、在反比例函数 y 随 x 的变化情况中一定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数k 的几何意义：反曲线 y=kx（k0）上任意一点向两坐标轴作垂线两线与坐标轴围成 的形面积，即如图：AOBP=SAOP=【名师提醒：k 的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k 联系起来理解和应用】三、反比例函数解析式的确定因为反比例函数 y=kx（k0）中只有一个被定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y 值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法名师资料总结-精

3、品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 18 页 -一、反比例函数的应用二、解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用同象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的【重点考点例析】考点一：反比例函数的同象和性质例 1（2012?张家界）当 a0 时，函数 y=ax+1 与函数ayx在同一坐标系中的图象可能是（）ABCD思路分析：分 a0 和 a0 两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象解：当 a0 时，y=ax+1 过一、二、三象限，y=ayx过一、三象限；当 a0 时，y=ax+1 过一、二、四象限，y=ayx过二、四象限；故选 C点评：本题考查了一

4、次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a 值的前提下图象能共存例 2（2012?佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数22aayx图象的两个分支分别在（）A第一、三象限B第二、四象限C第一、二象限D第三、四象限思路分析：把 a2-a+2 配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0 的代数式，再根据反比例函数的性质解答解：a2-a+2，=a2-a+14-14+2，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 18 页 -=（a-12）2+7 4，（a-12）20，（a-12）2+7 4 0，反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限故选 A点评：本题考查了反比例函数图

5、象的性质，先判断出a2-a+2 的正负情况是解题的关键，对于反比例函数kyx（k0）：（1）k0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k0，反比例函数图象在第二、四象限内例 3（2012?台州）点（-1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数6yx的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay3y2y1By2y3y1 Cy1y2y3 Dy1y3y2思路分析：先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答解：函数6yx中 k=60，此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随 x 的增大而减小，-10，点（-

6、1，y1）在第三象限，y10，023，（2，y2），（3，y3）在第一象限，y2y3 0，y2y3 y1故选 D点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键对应训练1（2012?毕节地区）一次函数y=x+m（m0）与反比例函数myx的图象在同一平面直角坐标系中是（）ABCD1C 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 18 页 -2（2012?内江）函数1yxx的图象在（）A第一象限B第一、三象限C第二象限D第二、四象限2A 2解：x中 x0，1x中 x0，故 x0，此时 y0，则函数在第一象限故选 A3（2012?佛山）

7、若 A（x1，y1）和 B（x2，y2）在反比例函数2yx的图象上，且0 x1x2，则 y1与 y2的大小关系是y1 y23考点二：反比例函数解析式的确定例 4（2012?哈尔滨）如果反比例函数1kyx的图象经过点（-1，-2），则 k 的值是（）A2 B-2 C-3 D3 思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k 的方程，通过解方程即可求得k 的值解答：解：根据题意，得-2=11k，即 2=k-1，解得 k=3故选 D点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点 解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标

8、特征”这一知识点对应训练4（2012?广元）已知关于 x 的方程（x+1）2+（x-b）2=2 有唯一的实数解，且反比例函数1byx的图象在每个象限内y 随 x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A3yxB1yxC2yxD2yx4D 4分析：关于 x 的方程（x+1）2+（x-b）2=2 有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可求得 b 的值，然后根据反比例函数1byx的图象在每个象限内y 随 x 的增大而增大，则比例系数1+b0，则 b 的值可以确定，从而确定函数的解析式解：关于 x 的方程（x+1）2+（x-b）2=2 化成一般形式是：2x2+（2-2b）x+（b2-1）=0，=（

9、2-2b）2-8（b2-1）=-4（b+3）（b-1）=0，解得：b=-3 或 1反比例函数1byx的图象在每个象限内y 随 x 的增大而增大，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 18 页 -1+b0 b-1，b=-3则反比例函数的解析式是：y=1 3yx，即2yx故选 D考点三：反比例函数k 的几何意义例 5（2012?铁岭）如图，点A 在双曲线4yx上，点 B 在双曲线kyx（k0）上，ABx 轴，分别过点 A、B 向 x 轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD 的面积是 8，则 k 的值为（）A12 B10 C8 D6 思路分析：先根据反比例函数的图象在第一

10、象限判断出k 的符号，再延长线段BA，交 y 轴于点 E，由于 ABx 轴，所以 AEy 轴，故四边形 AEOD 是矩形，由于点 A 在双曲线4yx上，所以S矩形AEOD=4，同理可得S矩形OCBE=k，由 S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值解：双曲线kyx（k0）上在第一象限，k0，延长线段 BA，交 y 轴于点 E，AB x 轴，AEy 轴，四边形 AEOD 是矩形，点 A 在双曲线4yx上，S矩形AEOD=4，同理 S矩形OCBE=k，S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8，k=12 故选 A点评：本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即

11、反比例函数kyx图象中任取一点，过这一个点向x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 18 页 -对应训练5（2012?株洲）如图，直线x=t（t0）与反比例函数21,yyxx的图象分别交于B、C 两点，A 为 y 轴上的任意一点，则 ABC 的面积为（）A3 B32tC32D不能确定5C 5解：把x=t 分别代入21,yyxx，得21,yytt，所以 B（t，2t）、C（t，1t），所以 BC=2t-（1t）=3tA 为 y 轴上的任意一点，点 A 到直线 BC 的距离为 t，ABC 的面积=13322tt故

12、选 C考点四：反比例函数与一次函数的综合运用例 6（2012?岳阳）如图，一次函数y1=x+1 的图象与反比例函数22yx的图象交于A、B两点，过点作AC x 轴于点 C，过点 B 作 BDx 轴于点 D，连接 AO、BO，下列说法正确的是（）A点 A 和点 B 关于原点对称B当 x1 时，y1y2CSAOC=SBOD D当 x0 时，y1、y2都随 x 的增大而增大思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B 的坐标，即可判断A；根据图象的特点即可判断B；根据 A、B 的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断 C；根据图形的特点即可判断D名师资料总结-精品资料欢迎下载-

13、名师精心整理-第 6 页，共 18 页 -解：A、12yxyx，把代入得：x+1=2x，解得：x1=-2，x2=1，代入得：y1=-1，y2=2，B（-2，-1），A（1，2），A、B 不关于原点对称，故本选项错误；B、当-2x0 或 x1 时，y1y2，故本选项错误；C、SAOC=1212=1，SBOD=12|-2|-1|=1，SBOD=SAOC，故本选项正确；D、当 x0 时，y1随 x 的增大而增大，y2随 x 的增大而减小，故本选项错误；故选 C点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型

14、，是一道具有一定代表性的题目对应训练6（2012?达州）一次函数y1=kx+b（k0）与反比例函数y2=mx(m0)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1y2，则 x 的取值范围是（）A-2x0 或 x1Bx-2 或 0 x1 Cx 1 D-2x1 6A 6解：由函数图象可知一次函数y1=kx+b 与反比例函数y2=mx(m0)的交点坐标为（1，4），（-2，-2），由函数图象可知，当-2x0 或 x1 时，y1在 y2的上方，当 y1y2时 x 的取值范围是-2x0 或 x1故选 A名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 18 页 -【聚焦山东中考】1（2012?青

15、岛）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数3yx的图象上，若 x1x20 x3，则 y1，y2，y3的大小关系是（）Ay3y1y2 By1y2y3Cy3y2y1Dy2y1y31A 1解：反比例函数y=-3 x 中，k=-3 0，此函数图象在二四象限，且在每一象限内y 随 x 的增大而增大，x1x20 x3，y30，y30y1y2，y3y1y2故选 A2（2012?菏泽）反比例函数2yx的两个点（x1，y1）、（x2，y2），且x1x2，则下式关系成立的是（）Ay1y2By1y2Cy1=y2D不能确定2D 3（2012?滨州）下列函数：y=2x-1；y=5x；y=x

16、2+8x-2；y=22x；y=12x；y=ax中，y 是 x 的反比例函数的有（填序号）。34（2012?济宁）如图，是反比例函数2kyx的图象的一个分支，对于给出的下列说法：常数 k 的取值范围是k2；另一个分支在第三象限；在函数图象上取点A（a1，b1）和点 B（a2，b2），当 a1a2时，则 b1b2；在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点 B（a2，b2），当 a1a2时，则 b1b2；其中正确的是（在横线上填出正确的序号）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 18 页 -44解：根据函数图象在第一象限可得k-20，故 k2，故正确；根据反比例函数的

17、性质可得，另一个分支在第三象限，故正确；根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y 随 x 的增大而减小，A、B 不一定在图象的同一支上，故错误；根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y 随 x 的增大而减小，故在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点 B（a2，b2），当 a1a2时，则 b1b2正确；故答案为：5（2012?潍坊）点 P 在反比例函数kyx（k0）的图象上，点Q（2，4）与点 P 关于 y轴对称，则反比例函数的解析式为58yx5解：点Q（2，4）和点 P 关于 y 轴对称，P 点坐标为（-2，4），将（-2，4）解析式kyx

18、得，k=xy=-2 4=-8，函数解析式为8yx故答案为8yx6（2012?聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P（3a，a）是反比例函数kyx（k0）的图象上与正方形的一个交点若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为63yx6解：反比例函数的图象关于原点对称，阴影部分的面积和正好为正方形面积的14，设正方形的边长为b，则14b2=9，解得 b=6，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 18 页 -正方形的中心在原点O，直线 AB 的解析式为：x=3，点 P（3a，a）在直线 AB 上，3a=3，解得 a=1

19、，P（3，1），点 P 在反比例函数kyx（k0）的图象上，k=3，此反比例函数的解析式为：3yx故答案为：3yx7（2012?泰安）如图，一次函数y=kx+b 的图象与坐标轴分别交于A，B 两点，与反比例函数myx的图象在第二象限的交点为C，CDx 轴，垂足为D，若 OB=2，OD=4，AOB的面积为1（1）求一次函数与反比例的解析式；（2）直接写出当x0 时，kx+b-mx0 的解集7解：（1）OB=2，AOB 的面积为 1 B（-2，0），OA=1，A（0，-1）120bkb，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 18 页 -121kb，y=12x-1 又 OD

20、=4，ODx 轴，C（-4，y），将 x=-4 代入 y=12x-1 得 y=1，C（-4，1）1=4m，m=-4，y=4x。（2）当 x0 时，kx+b-mx0 的解集是 x-4【备考真题过关】一、选择题1（2012?南充）矩形的长为x，宽为 y，面积为 9，则 y 与 x 之间的函数关系式用图象表示大致为（）ABCD1C 2（2012?孝感）若正比例函数y=-2x 与反比例函数kyx图象的一个交点坐标为（-1，2），则另一个交点的坐标为（）A（2，-1）B（1，-2）C（-2，-1）D（-2，1）2B 3（2012?恩施州）已知直线y=kx（k0）与双曲线3yx交于点 A（x1，y1），B

21、（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为（）A-6 B-9 C0 D9 3A 3思路分析：先根据点 A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线3yx上的点可得出x1?y1=x2?y2=3，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 18 页 -再根据直线y=kx（k0）与双曲线3yx交于点 A（x1，y1），B（x2，y2）两点可得出x1=-x2，y1=-y2，再把此关系代入所求代数式进行计算即可解：点 A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线3yx上的点x1?y1=x2?y2=3，直线 y=kx（k0）与双曲线y=3 x 交于点 A（x1，y1），B（x2，y2）

22、两点，x1=-x2，y1=-y2，原式=-x1y1-x2y2=-3-3=-6 故选 A4（2012?常德）对于函数6yx，下列说法错误的是（）A它的图象分布在一、三象限B它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C当 x0 时，y 的值随 x 的增大而增大D当 x0 时，y 的值随 x 的增大而减小4C 5（2012?淮安）已知反比例函数1myx的图象如图所示，则实数 m 的取值范围是（）Am1 Bm0 Cm1 Dm0 5A 6（2012?南平）已知反比例函数1yx的图象上有两点A（1，m）、B（2，n）则 m 与 n的大小关系为（）Amn Bmn Cm=n D不能确定6A 7（2012?内江）已

23、知反比例函数kyx的图象经过点（1，-2），则 k 的值为（）A2 B12C1 D-2 7D 8（2012?荆门）已知：多项式x2-kx+1 是一个完全平方式，则反比例函数1kyx的解析式为（）A1yxB3yxC1yx或3yxD2yx或2yx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 18 页 -8C 8解：多项式x2-kx+1 是一个完全平方式，k=2，把 k=2 分别代入反比例函数y=k-1 x 的解析式得：y=1 x 或 y=-3 x，故选：C9（2012?铜仁地区）如图，正方形ABOC 的边长为 2，反比例函数kyx的图象过点A，则 k 的值是（）A2 B-2 C4

24、 D-4 9D 10（2012?黔东南州）如图，点A 是反比例函数6yx（x0）的图象上的一点，过点A作ABCD，使点 B、C 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，则ABCD 的面积为（）A1 B3 C6 D12 10 C 10解：过点A 作 AEOB 于点 E，因为矩形 ADOC 的面积等于AD AE，平行四边形的面积等于：AD AE，所以?ABCD 的面积等于矩形ADOE 的面积，根据反比例函数的k 的几何意义可得：矩形ADOC 的面积为6，即可得平行四边形ABCD的面积为6故选 C11（2012?无锡）若双曲线kyx与直线 y=2x+1 的一个交点的横坐标为-1，则 k 的值为（）A-1

25、 B1 C-2 D2 11B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 18 页 -12（2012?梅州）在同一直角坐标系下，直线 y=x+1 与双曲线1yx的交点的个数为（）A0 个B1 个C2 个D不能确定12 C 13（2012?阜新）如图，反比例函数11kyx的图象与正比例函数y2=k2x 的图象交于点（2，1），则使y1 y2的 x 的取值范围是（）A0 x2 Bx 2 Cx 2 或-2x0 Dx-2 或 0 x2 13 D 13解：反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，A、B 两点关于原点对称，A（2，1），B（-1，-2），由函数图象可知，当0 x2

26、或 x-2 时函数 y1的图象在y2的上方，使 y1y2的 x 的取值范围是x-2 或 0 x2故选 D14（2012?南京）若反比例函数kyx与一次函数y=x+2 的图象没有交点，则k 的值可以是（）A-2 B-1 C1 D2 14 A 14解：反比例函数kyx与一次函数y=x+2 的图象没有交点，2kyxyxa无解，即kx=x+2 无解，整理得x2+2x-k=0，=4+4k0，解得 k-1，四个选项中只有-2-1，所以只有A 符合条件故选 A二、填空题16（2012?连云港）已知反比例函数2yx的图象经过点A（m，1），则 m 的值为16 2 17（2012?盐城）若反比例函数的图象经过点

27、P（-1，4），则它的函数关系式是名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 18 页 -174yx18（2012?衡阳）如图，反比例函数kyx的图象经过点P，则 k=18-6 19（2012?宿迁）在平面直角坐标系中，若一条平行于x 轴的直线l 分别交双曲线6yx和2yx于 A，B 两点，P是 x 轴上的任意一点，则ABP 的面积等于19 4 19解：如图所示：分别过点A、B 作 AC x 轴，BDx 轴，点 A、B 分别在双曲线6yx和2yx上，S矩形ACOE=6，S矩形BEOD=2，S矩形ACBD=S矩形ACOE+S矩形BEOD=6+2=8，即 AB?AC=8，SAB

28、P=12AB?AC=128=4故答案为：4名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 18 页 -20（2012?毕节地区）如图，双曲线kyx(k0)上有一点A，过点 A 作 AB x 轴于点 B，AOB 的面积为 2，则该双曲线的表达式为204yx21（2012?益阳）反比例函数kyx的图象与一次函数y=2x+1 的图象的一个交点是（1，k），则反比例函数的解析式是213yx三、解答题24（2012?湖州）如图，已知反比例函数kyx（k0）的图象经过点（-2，8）（1）求这个反比例函数的解析式；（2）若（2，y1），（4，y2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1、

29、y2的大小，并说明理由名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 18 页 -24解：（1）把（-2，8）代入kyx，得 8=2k，解得：k=-16，所以 y=-16 x；（2）y1y2理由：k=-160，在每一个象限内，函数值y 随 x 的增大而增大，点（2，y1），（4，y2）都在第四象限，且24，y1y225（2012?资阳）已知：一次函数y=3x-2 的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为 1（1）求该反比例函数的解析式；（2）将一次函数y=3x-2 的图象向上平移4 个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；（3）请直接写出一个同时满足如下条件的

30、函数解析式：函数的图象能由一次函数y=3x-2 的图象绕点（0，-2）旋转一定角度得到；函数的图象与反比例函数的图象没有公共点25解：（1）把 x=1 代入 y=3x-2，得 y=1，设反比例函数的解析式为kyx，把 x=1，y=1 代入得，k=1，该反比例函数的解析式为1yx；（2）平移后的图象对应的解析式为y=3x+2，解方程组321yxyx，得133xy或11xy平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为（13，3）和（-1，-1）；（3）y=-2x-2（结论开放，常数项为-2，一次项系数小于-1 的一次函数均可）26（2012?肇庆）已知反比例函数1kyx图象的两个分支分别位于第一、第三

31、象限（1）求 k 的取值范围；（2）若一次函数y=2x+k 的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4求当 x=-6 时反比例函数y 的值；当 0 x12时，求此时一次函数y 的取值范围26解：（1）反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 18 页 -k-10，解得：k1；（2）一次函数与反比例函数交点纵坐标为4，将 y=4 代入1kyx得：4x=k-1，即 x=14k，将 y=4 代入得：2x+k=4，即 x=42k，14k=42k，即 k-1=2（4-k），解得：k=3，反比例解析式为2yx，当 x=-6 时，y=2163；由 k=3，得到一次函数解析式为y=2x+3，即 x=32y，0 x12，032y12，解得：3y4，则一次函数y 的取值范围是3y4名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 18 页 -