中考一轮复习专题：全等三角形与相似三角形（解析版）.docx

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1、全等三角形与相似三角形【考点总结】一、三角形的概念及性质1概念：(1)由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形(2)三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形2性质：(1)三角形的内角和是180；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角(2)三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边【考点】一、三角形的边角关系例1、若三角形三边长分别为3,4，x1，则x的取值范围是()A0x8B2x8C0x6D2x6解析：已知三角形两边a，b的长，确定第三边c的取值范围，c应满足|ab|ca

2、b；要判断三条线段能否组成三角形，只要检验较短的两条线段之和是否大于第三条线段即可根据三角形的三边关系定理，得1x17，来源:学,科,网Z,X,X,K2x8.答案：B三角形边的关系的应用：(1)判定三条线段是否构成三角形；(2)已知两边的长，确定第三边的取值范围；(3)可证明线段之间的不等关系变式1.已知三角形两边的长分别是3和7,则此三角形第三边的长可能是() 来源:Z*xx*k.ComA.1B.2C.8D.11答案C解析设三角形第三边的长为x,由题意得7-3x7+3,4x10.故选C.xxk.Com变式2.一个三角形三个内角的度数之比为123,则这个三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三

3、角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案B解析根据三角形的内角和为180,可知最大角为90,因此这个三角形是直角三角形.故选B.【考点总结】一、全等三角形的性质与判定1概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等3判定：(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)【考点

4、】一、全等三角形的性质与判定例一.如图,点B,F,C,E在一条直线上,ABED,ACFD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定ABCDEF的是()A.A=DB.AC=DFC.AB=EDD.BF=EC答案A解析添加A=D,只能知道两个三角形三个角相等,没有相等的边,故不能判定两个三角形全等,故选A.变式1.已知,ABCDEF,ABC的周长为64 cm,AB=20 cm,AC=18 cm,则DE=,EF=.答案20 cm26 cm解析ABC的周长为64 cm,AB=20 cm,AC=18 cm,BC=64-20-18=26 cm,ABCDEF,DE=AB=20 cm,EF=BC=26 cm.变式2.

5、如图，C是线段AB的中点，CD平分ACE，CE平分BCD，CDCE. (1)求证：ACDBCE；来源:学科网(2)若D50，求B的度数分析：本题综合考查三角形的全等及性质，利用“SAS”判定ACDBCE后，再利用性质可得到E50，从而求出B解：(1)证明：C是线段AB的中点，ACBCCD平分ACE，CE平分BCD，来源:学科网ZXXK12，23.13.又CDCE，ACDBCE(SAS)(2)12，23，123.360.由ACDBCE，得DE.D50，E50.来源:学&科&网Z&X&X&K则B180E3180506070.1判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应

6、相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等2全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系【考点总结】一、比例线段1比例线段的定义：在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或abcd)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段2比例线段的性质：来源:学科网(1)基本性质：adbc；(2)合比性质：；(3)等比性质：若(bdn0)，那么.3黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比例一下列各组

7、线段中，成比例的是（）A2cm，3cm，4cm，5cmB2cm，4cm，6cm，8cmC3cm，6cm，8cm，12cmD1cm，3cm，5cm，15cm解：A、2534，选项A不成比例；B、2846，选项B不成比例；C、31268，选项C不成比例；D、11535，选项D成比例故选：D变式若2x3y，且x0，则的值为（）ABCD解：2x3y，且x0，两边除以2y得：，11，故选：C变式如图，直线abc，则下列结论不正确的为（）ABCD解：A、abc，本选项结论正确，不符合题意；B、abc，本选项结论正确，不符合题意；C、abc，本选项结论正确，不符合题意；D、连接AF，交BE于H，bc，ABH

8、ACF，本选项结论不正确，符合题意；故选：D【考点总结】三、相似三角形1定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形2判定：来源:Z_xx_k.Com(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似3性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；来源:学科网ZXXK(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比

9、；(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方例一如图，已知：ABCDAC，B36，D117，BAD的度数为（）A36B117C143D153解：ABCDAC，DACB36，BACD117，BADDAC+BAC153，故选：D例一如图，在ABC中，AC3，BC6，D为BC边上的一点，且BACADC若ADC的面积为a，则ABC的面积为（）A4aBaCaD2a解：ACDBCA，BACADCCADCBA，（）2（）24，SABC4a故选：A变式1如图，将ABC绕点A旋转至ABC的位置，点B刚好在BC上，连接CC，AC，BC交AC于点E（1）请写出图中所有的相似三角形 （不包括全等）；（2）求证：BACC

10、解：（1）由旋转的性质可知：BABC，ACBACB，ABAB，ACAC，CACCBC，来源:学_科_网Z_X_X_KBACBAC，BABCAC，BABBABCACC，BACBCC，ABECCE，ABBACC，故答案为：ABECCE，ABBACC，AECBEC；（2）由题意可知：ABAB，ACAC，BACBAC，BABCAC，BABB，ACCACC，即BACC变式2如图，RtABC，C90，AC10cm，BC8cm点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止（1）求经过几秒后，PCQ的面积

11、等于ABC面积的？（2）经过几秒，PCQ与ABC相似？解：（1）设经过x秒，PCQ的面积等于ABC面积的，解得：x1x24，答：经过4秒后，PCQ的面积等于ABC面积的；（2）设经过t秒，PCQ与ABC相似，因为CC，所以分为两种情况：，解得：t；，解得：t；答：经过秒或秒时，PCQ与ABC相似巩固练习1.如图,D,E分别是ABC边AB,AC上的点,ADE=ACB,若AD=2,AB=6,AC=4,则AE的长是()A.1B.2C.3D.4答案C解析ADE=ACB,A=A,ADEACB.ADAC=AEAB,即24=AE6.解得AE=3,故选C.2如图，在RtABC中，C90，以顶点A为圆心，适当长

12、为半径画弧，分别交AB，AC于点N，M，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D，若DACABC，则B 度解：由作图可知，AD平分CAB，CADDAB，DACABC，CADB，CAB2B，CAB+B90，3B90，B30，故答案为303.如图,已知AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=90,试判断CD与BE的大小关系和位置关系,并进行证明.来源:学科网ZXXK证明CD=BE,CDBE,理由如下:因为BAD=CAE=90,所以BAD+DAE=CAE+DAE,即BAE=DAC.因为AB=AD,BAE=DAC,AE=AC,所以BAEDAC(SAS).所以B

13、E=DC,BEA=DCA.设AE与CD相交于点F,因为ACF+AFC=90,AFC=DFE,所以BEA+DFE=90.即CDBE.4.如图,在正方形ABCD中,E为边AD的中点,点F在边CD上,且BEF=90,延长EF交BC的延长线于点G.(1)求证:ABEEGB;(2)若AB=4,求CG的长.(1)证明四边形ABCD为正方形,且BEG=90,A=BEG.ABE+EBG=90,G+EBG=90,ABE=G,ABEEGB.(2)AB=AD=4,E为AD的中点,AE=DE=2.在RtABE中,BE=AE2+AB2=22+42=25,由(1)知,ABEEGB,AEEB=BEGB,即:225=25GB,BG=10,CG=BG-BC=10-4=6.学科网（北京）股份有限公司