2022年中考复习最短路线问题 .pdf

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1、中考复习：最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段这里还想指出的是，我们

2、常遇到的球面是不能展成一个平面的例如，在地球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法例 1 如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没

3、有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线作点 A关于河岸的对称点 A，即作 AA垂直于河岸，与河岸交于点C，且使 AC=A C，连接 AB交河岸于一点P，这时 P 点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PAPB就是侦察员应选择的最短路线证明：设河岸上还有异于P点的另一点P，连接 PA，PB，P APA+PBPA+P BAB=PA+PB=PA+PB，而这里不等式 PA P BAB成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以 PA+PB是最短路线名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -此例利用对

4、称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段AB，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等看下面例题例 2 如图一只壁虎要从一面墙壁上 A点，爬到邻近的另一面墙壁上的 B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？解：我们假想把含B点的墙 顺时针旋转90（如下页右图），使它和含A点的墙 处在同一平面上，此时 转过来的位置记为，B点的位置记为B，则 A、B之间最短路线应该是线段AB，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折线4PB就是从 A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线证明：在墙棱上任取异于P点的 P点，若沿折线AP B走，也就是沿在墙转90后的路线AP B走都比直线段

5、APB 长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线例 3 长方体 ABCD AB CD中，AB=4，AA=2，AD=1，有一只小虫从顶点D出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1）解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 D B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D点出发，到

6、B点共有六条路线供选择从 D点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2），这时在这个平面上D、B间的最短路线距离就是连接D、B两点的直线段，它是直角三角形ABD 的斜名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -边，根据勾股定理，DB2=DA2+AB2=（1+2）242=25，DB=5容易知道，从D出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5从 D点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D、B两点间的最短路线（上页图（3），有：DB222+（1+4）2=29容易知道，从D出发

7、经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29从 D点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D、B两点间的最短路线（见图），DB2=（2+4）2+12=37容易知道，从D出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37比较六条路线，显然情形、中的路线最短，所以小虫从D点出发，经过上底面然后进入前侧面到达 B点（上页图（2），或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度利用例 2、例 3 中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面

8、上A和 B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段 AP1P2B，P1、P2是线段 AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是 AB间的最短路线圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题例 4 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将

9、金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A、B 分别与A、B重合），连接AB，再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB 在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线请看下面例题例 5 有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为 AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A、B分别与 A、B重合），在扇形

10、中连AB，则将扇形还原成圆锥之后，AB 所成的曲线为所求例 6 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12 厘米，B 点沿母线到桶口 D 点的距离是8 厘米，而 C、D两点之间的（桶口）弧长是15 厘米如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将 BD延长到 F，使 DFBD，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点 F，用 F代替 B，即可找出最短路线了名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -解：将

11、圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到 F，使 DF=BD，即作点B关于直线 CD的对称点 F，连结 AF，交桶口沿线CD于 O因为桶口沿线CD是 B、F 的对称轴，所以OB OF，而 A、F 之间的最短线路是直线段AF，又 AF=AOOF，那么 A、B之间的最短距离就是AO OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去延长 AC到 E，使 CE=DF，易知 AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2（128）2152625=252，解得 AF=25即蚂蚁爬行的最短路程是25 厘米例 7 A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在

12、小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出 B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D点，作 DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点即两村的最短路程是AE ED DB 例 8 在河中有 A、B两岛（如下图），六年

13、级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A和 B，连结 A、B分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则 AEF BA是最短路线，即最短路程为：AE EFFBBA 证明：由对称性可知路线AEFB的长度恰等于线段AB的长度 而从 A岛到甲岸，又到乙岸，再到 B岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A、B之间的折线，它们的长度都大于线段 A B，例如上图中用“”表示的路线AE F B的长度等于折线AE FB的长度，它大于AB的长度，所以AEFB A是最短路线名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -