2022年一元二次函数讲义 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载九年级数学二次函数知识点（下）(4)一次函数0knkxy的图像 l 与二次函数02acbxaxy的图像 G 的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点;方程组只有一组解时l 与G 只有一个交点；方程组无解时l 与G 没有交点.知识点 5 二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关

2、系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值【典型例题】题型 3 用配方法将二次函数cbxaxy2化为khxay2)(的形式，求顶点及对称轴、开口方向、最值等（基础题型）例6、将二次函数322xxy配成khxay2)(的形式.由此可得：抛物线322xxy的顶点坐标为 _，对称轴为 _ 例 7、求34212xxy抛物线的顶点坐标和对称轴、开口方向。例 8、已知二次函数6422xxy(1)将其化成khxay2)(的形式；(2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；(3)求图象与两坐标轴的交点坐标；(4)根据(1)(2)(3)的结果画出其图象；（图象上要标出顶点、与坐标轴交点的坐标）(5)说明其

3、图象与抛物线y2x2的关系；(6)当 x 取何值时，y 随 x 增大而减小；(7)当 x 取何值时，函数y 有最值?其最值是多少?题型 4 用待定系数法求二次函数的解析式名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -学习好资料欢迎下载知识归纳：用三种方法：1已知抛物线过三点，设一般式为yaxbxc22已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式ya(xh)2 k 3已知抛物线与 x 轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：ya(xx1)(xx2)（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）如果是给出的图象，通过观察，找出图象上最适合用上述三种方法之一的点，再求

4、。例 9、二次函数 yaxbxc2与x轴的两交点的横坐标是12，32，与 y 轴交点的纵坐标是 5，求这个二次函数的关系式。例 10、已知二次函数 yaxbxc2的图象如图所示，求这个二次函数的关系式。（能用几种方法？试一试与同学交流。）题型 5 用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值。例 11、给你长 8m的铝合金条，试问：你能用它制成一矩形窗框吗？怎样设计，窗框的透光面积最大？如何验证？例 12、在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中 AB和 AD分别在两直角边上.（1）如果设矩形的一边AB=xm，那么 AD边的长度如何表示？设矩形的面积为y，名师资料总结-精品资料欢迎下载-

5、名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -学习好资料欢迎下载40m30mDNOABCM当x取何值时，y 的值最大？最大值是多少？（2）将问题（1）变式：“设AD边的长为xm，则问题会怎样呢？”（3）如图,将问题变为：在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点 A和点 D分别在两直角边上,BC 在斜边上.设矩形的一边 BC=xm,那么 AB边的长度如何表示？设矩形的面积为 y,当 x 取何值时,y 的值最大？最大值是多少?方法与思路：解决此类问题的基本方法：涉及到变量的最大值或最小值的应用问题，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。步骤：第一步设自变量；第二步建立函数的解析式；第三步确定

6、自变量的取值范围；第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）基本流程为：理解题目分析已知量与未知量转化为数学问题 解决此类问题的基本思路是：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -学习好资料欢迎下载(5)检验结果的合理性，拓展等【跟进练习】一、选择题1下列说法中错误的是()A在函数2xy中，当0 x时，y 有最大值 0 B在函数22xy中，当x0 时，y 随x的增大而增大C抛物线22xy，2xy，221xy中，抛物

7、线22xy的开口最小，抛物线2xy的开口最大D不论 a 是正数还是负数，抛物线yax2的顶点都是坐标原点2.对于抛物线 y=-12x2和 y=-12x2-2 叙述正确的个数为()两条抛物线开口方向都向下两条抛物线都关于y 轴对称当 x0 时,两条抛物线的性质都是y 随 x 的增大而增大两条抛物线的顶点坐标相同A.1 B.2 C.3 D.4 3.对于抛物线22yx和2yx的论断：(1)开口方向不同；(2)形状完全相同；(3)对称轴相同其中正确的有（）A0 个B1 个C 2 个D3 个4.抛物线24yx与 x 轴交于 B、C 两点，顶点为 A，则 ABC的面积为（）A 16 B 8 C 4 D 2

8、 5顶点坐标为（2，3），开口方向和大小与抛物线221xy相同的解析式为（）A3)2(212xyB3)2(212xyC3)2(212xyD3)2(212xy6直线 ymx1 与抛物线 y2x28xk8 相交于点(3，4)，则 m、k 值为()Am1k3Bm1k2C.m1k2D.m2k17 一 个二 次 函 数 的 图象 经 过 点 A(0,0),B(-1,-11),C(1,9)三点.则 它 的 解析 式 为()A.y=x2+10 xB.y=-x2-10 xC.y=x2-10 xD.y=-x2+10 x 二、填空题1已知抛物线cbxaxy2的图象如图，判断下列式子与0 的关系.(填、)0_a；0

9、_b；0_c；0_cba；0_cba；0_42acb；0_2ba；0_2ba；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -学习好资料欢迎下载2抛物线142xy关于x轴对称的抛物线解析式为_ 3如图:2axy2bxy2cxy2dxy比较a、b、c、d 的大小，用“”连接：。4 二 次 函 数2)1(xky的 图 象 如 图 所 示，则 k 的 取 值 范 围为。5写出一个顶点坐标为（0，3），开口方向与抛物线2xy的方向相反，形状相同的二次函数解析式_ 6写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线22xy都相同的二次函数解析式_。7 二次函数222 xy化成一般

10、形式为 _，其中a_，b_，c_；当x_时，函数值 y 有最_（填大或小）值为 _。8抛物线2)2(21xy当x时，函数值 y 随x的增大而减小；当x_时，函数值y 随x的增大而增大；当x时，函数取得最值，最值 y=_。9362xy与10)1(62xy_ 相同，而 _ 不同10二次函数2)1(2xy的最小值为 _ 11将抛物线3)1(52xy先向左平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位后，得到抛物线的解析式为 _ 12抛物线1)4(32xy中，当x_时，y 有最_值是_13若抛物线kxay2)1(上有一点 A（3，5），则点 A 关于对称轴对称点A 的坐标为_ 14一条抛物线的对称轴是1x，

11、且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为 _ （任写一个）15抛物线222xxy与x轴的交点坐标是 _，与 y 轴的交点坐标是 _。16 若（5，0）是抛物线caxaxy22与x轴的一个交点，则另一交点坐标为.17 已知抛物线 y=x2+mx-5 经过点(2,-3),则该抛物线的解析式为.18已知抛物线y=ax2+bx+c 的顶点是(0,2),且过点(3,4),则该抛物线的解析式为。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -学习好资料欢迎下载19 已知抛物线y=x2+bx+c 过点 A(4,2),B(5,7),则它的解析式为。20如图 2.

12、7-1,在等腰三角形ABC 中,作矩形 CDEF,若 BC=2,CD=x,矩形CDEF 的面积为 S,则 S用 x 表示为,当 x=时,S有最有最值为。21某商场销售某品种的纯牛奶,每箱进价为40 元,若平均每天的销售量y(箱)与每箱售价 x(元)之间的函数关系式满足:y=240-3x.(1)每天可获利润 W的表达式为;(2)当销售价 x=时,每天所获的利润最大,最大利润为.22 一台机器原价为 60 万元,如果每的折旧率为x,两年后这台机器的价格为y 万元,则 y与 x 之间的函数关系式是()A.y=60(1-x)2B.y=60(1-x)C.y=60-x2D.y=60(1+x)2 三、求解题

13、1已知函数)3(my232mmx为二次函数(1)若其图象开口向上，求函数关系式；(2)若当x0 时，y 随x的增大而减小，求函数的关系式.2已知抛物线2axy经过点 A(2，1)(1)求这个函数的解析式并写出抛物线上点A 关于 y 轴的对称点 B 的坐标；(2)求OAB 的面积；3已知函数412xy。（1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）若图象与 x 轴的交点为 A、B 和与 y 轴的交点 C，求 ABC 的面积；（3）指出该函数的最值和增减性；（4）若将该抛物线先向右平移2 个单位，在向上平移4 个单位，求得到的抛物线的解析式；（5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点。（6）画

14、出该函数图象，并根据图象回答：当 x 取何值时，函数值大于 0；当 x 取何值时，函数值小于0。4已知抛物线kxxy2与直线12xy的交点的纵坐标为3。(1)求抛物线的关系式；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -学习好资料欢迎下载(2)求抛物线kxxy2与直线12xy的另一个交点坐标5函数2axy(a0)与直线32xy交于点 A(1，b)，求：(1)a和 b的值；(2)求抛物线2axy的顶点和对称轴；(3)x 取何值时，二次函数2axy中的 y 随x的增大而增大，(4)求抛物线与直线y2 两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积6已知抛物线经过A（3，0），B

15、（-1，0），C（0，-3）三个点，求二次函数解析式。7已知抛物线经过点（4，3），且当3x时，y有最小值是 4，求二次函数解析式8已知抛物线的对称轴是直线2x，且经过点（1，4），（5，0），求二次函数解析式四、用二次函数解应用题1某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为 15m当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到 0.01m)？此时，窗户的面积是多少？2 下面是某商场经理接到的采购部和销售部的两个电话，根据电话内容完成下列问题：写出该商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式，并指出自变量

16、x的取值范围.当销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -学习好资料欢迎下载400 3060 70 y(件)x(元)3某服装公司试销一种成本为每件50 元的 T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70 元，试销中销售量 y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）（1）求 y与x之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为 P 元，求 P 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？4如图是抛物线形拱桥，当水面在L 时，拱顶离水面m2，水面宽m4，水面下降 m1，水面宽度增加多少？友情提示：（1）如何建立平面直角坐标系；（2）怎样设出函数的解析式；（3）如何求出相应的待定系数。L42名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -