欧氏空间的定义与基本性质.ppt

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1、欧氏空间的定义与基本性质现在学习的是第1页，共29页性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.其具体模型为几何空间 、23,RR 1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，但几何空间的度量 长度：都可以通过内积反映出来：,cos,夹角 ：2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.现在学习的是第2页，共29页满足性质：,VkR 1(,)(,)2(,)(,)kk 3(,),(,)4(,)0,当且仅当 时0 (,)0.1.定义设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量、定义一个二元实函数，记作 ，若,(,)(,)（对称性）（数乘）（可

2、加性）（正定性）现在学习的是第3页，共29页 V为实数域 R上的线性空间;V除向量的线性运算外，还有“内积”运算;(,).R 欧氏空间 V是特殊的线性空间则称 为 和 的内积，并称这种定义了内积的(,)实数域 R上的线性空间V为欧氏空间.现在学习的是第4页，共29页例1在 中，对于向量 nR 1212,nna aab bb 当 时，1）即为几何空间 中内积在直角3n 3R 坐标系下的表达式.即(,).这样 对于内积就成为一个欧氏空间.nR(,)易证 满足定义中的性质.(,)141）定义 1 12 2(,)n na ba ba b （1）所以,为内积.(,)现在学习的是第5页，共29页2）定义

3、1 122(,)2kknna ba bka bna b 从而 对于内积也构成一个欧氏空间.nR(,)由于对 未必有,V (,)(,)注意：所以1），2）是两种不同的内积.从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.nR易证 满足定义中的性质.(,)14所以 也为内积.(,)现在学习的是第6页，共29页例2 为闭区间 上的所有实连续函数(,)C a b,a b所成线性空间，对于函数 ，定义(),()f xg x(,)()()baf gf x g x dx （2）则 对于（2）作成一个欧氏空间.(,)C a b证：(),(),()(,),f xg xh xC a bkR 1.(,)()()()()

4、(,)bbaaf gf x g x dxg x f x dxg f 2.(,)()()()()bbaak f gk f x g x dxkf x g x dx (,)k f g 现在学习的是第7页，共29页 3.(,)()()()bafg hf xg xh x dx ()()()()bbaaf x h x dxg x h x dx(,)(,)f hg h 24.(,)()baf ffx dx 2()0,fx (,)0.f f 且若()0,f x 则2()0,fx 从而(,)0.f f 故 (,)0()0.f ff x 因此，为内积，为欧氏空间.(,)f g(,)C a b现在学习的是第8页，共

5、29页 21)(,)(,),(,)kkkkk 2)(,)(,)(,)推广：11(,)(,)ssiiii 3)(0,)0 2.内积的简单性质,VkR V为欧氏空间，现在学习的是第9页，共29页2)欧氏空间V中，,(,)0V 使得 有意义.1.引入长度概念的可能性1）在 向量的长度（模）.3R 2.向量长度的定义,(,)V 称为向量 的长度.特别地，当 时，称 为单位向量.1 现在学习的是第10页，共29页1)0;00 3.向量长度的简单性质3）非零向量 的单位化：1.2)kk（3）现在学习的是第11页，共29页1）在 中向量 与 的夹角 3R 2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先1.引入夹

6、角概念的可能性与困难应证明不等式：(,)1 此即,cosarc （4）现在学习的是第12页，共29页对欧氏空间V中任意两个向量 ，有、(,)（5）2.柯西布涅柯夫斯基不等式当且仅当 线性相关时等号成立.、证：当 时，0 (,0)0,0 结论成立.(,)0.当 时，作向量 0 ,ttR 现在学习的是第13页，共29页由内积的正定性，对 ，皆有 tR (,)(,)tt 2(,)2(,)(,)0tt （6）取 代入（6）式，得(,)(,)t 22(,)(,)(,)2(,)(,)0(,)(,)即 2(,)(,)(,)两边开方，即得 ,.现在学习的是第14页，共29页当 线性相关时，不妨设、k 于是，2

7、(,)(,)(,).kkk 2kk (,).(5)式等号成立.反之，若（5）式等号成立，由以上证明过程知 或者 ，或者 0 ,0,也即 线性相关.、现在学习的是第15页，共29页1 12 2n na ba ba b,1,2,.iiabRin 3.柯西布涅柯夫斯基不等式的应用柯西不等式2222221212nnaaabbb （7）1）现在学习的是第16页，共29页22()()()()bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx 施瓦兹不等式(),()()()baf xg xf x g x dx 由柯西布涅柯夫斯基不等式有(),()()()f xg xf xg x 从而得证.证：在 中，与

8、的内积定义为(,)C a b()()f xg x2）现在学习的是第17页，共29页（7）证：2(,)(,)2(,)(,)2222 两边开方，即得（7）成立.对欧氏空间中的任意两个向量 有,、3）三角不等式现在学习的是第18页，共29页设V为欧氏空间，为V中任意两非零、向量，的夹角定义为、4.欧氏空间中两非零向量的夹角定义1：(,),cosarc 0,现在学习的是第19页，共29页 零向量与任意向量正交.注：即 .,2 cos,0 设 为欧氏空间中两个向量，若内积、,0 则称 与 正交或互相垂直，记作 .定义2：现在学习的是第20页，共29页5.勾股定理设V为欧氏空间，,V 222证：2,2,2

9、22(,)0 .现在学习的是第21页，共29页若欧氏空间V中向量 两两正交，12,m 推广：则 22221212.mm证：若(,)0,ijij 则 21211(,)mmmijij1(,)(,)mmiiijiij 222121(,)miimi (,)0,1,2,ijiji jm 即现在学习的是第22页，共29页例3、已知 2,1,3,2,1,2,2,1在通常的内积定义下，求,(,),.解：2222,2132183 2 (,)2 11 2322 10 ,2 又 1,1,5,1 22221151282 7 通常称为与的距离，记作 (,).d 现在学习的是第23页，共29页设V为欧氏空间，为V的一组基

10、，对V中12,n 任意两个向量1 122nnxxx 1 122nnyyy 令(,),1,2,.ijijai jn 1111(,)(,)(,)nnnniijjijijijijxyx y （8）现在学习的是第24页，共29页定义：矩阵 111212122212(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)nnnnnnA 称为基 的度量矩阵.12,n 1122,ijn nnnxyxyAaXYxy（9）则 11(,)nnijijija x yX AY （10）现在学习的是第25页，共29页 度量矩阵A是实对称矩阵.由内积的正定性，度量矩阵A还是正定矩阵.事实上，对 ，即 ,0V 0X 有(,)0X

11、 AX A为正定矩阵.由（10）知，在基 下，向量的内积12,n 由度量矩阵A完全确定.现在学习的是第26页，共29页 对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.证：设 为欧氏空间V的两组1212,;,nn 基，它们的度量矩阵分别为A、B，且1212(,)(,)nnC 设 12,ijnn nCcC CC 1,1,2,nikikkcin 则现在学习的是第27页，共29页11(,)(,)nnijkikljlklcc 11(,)nnklkiljklc c 11nnklkiljkla c c ijC AC 于是 (,)ijijBC AC 1212,nnCCA C CCC ACC 现在学习的是第28页，共29页欧氏空间V的子空间在所V中定义的内积之下也是一个欧氏空间，称之为V的欧氏子空间.现在学习的是第29页，共29页