2022年梅涅劳斯定理与塞瓦定理 .pdf

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1、.板块一梅涅劳斯定理及其逆定理知识导航梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么1AFBDCEFBDCEA这条直线叫ABC的梅氏线，ABC叫梅氏三角形GFEDCBAGFEDCBAH3H2H1FEDCBA证法一：如左图，过C作CGDFDBFBDCFG，ECFGAEAF1AFBDCEAFFBFGFBDCEAFBFGAF证法二：如中图，过A作AGBD交DF的延长线于GAFAGFBBD，BDBDDCDC，CEDCEAAG三式相乘即得：1AFBDCEAGBDDCFBDCEABDDCAG证法三：如右图，分别过AB C、作DE的垂线，分别交于123HHH、则有1

2、23AHBHCH，所以3122311CHAHBHAFBDCEFBDCEABHCHAH梅涅劳斯定理的逆定理：若F、D、E分别是ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果1AFBDCEFBDCEA，则F、D、E三点共线梅涅劳斯定理与塞瓦定理名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -夯实基础【例 1】如图，在ABC中，AD为中线，过点C 任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求证：:2:AE EDAFFB ECDBFA【解析】直线 FEC 是ABD的梅氏线，1AEDCBFEDBCFA而12DCBC，112AEBFEDFA，即2AEAFEDBF习题 1.在 AB

3、C 中，D是 BC 的中点，经过点D的直线交AB于点E，交 CA 的延长线于点F求证：FAEAFCEBEFBDCA【解析】直线截ABC三边于D、E、F三点，应用梅氏定理，知1CDBEAFDBEAFC，又因为BDBC，所以1BEAFEAFC，即FAEAFCEB习题 2.如图，在ABC 中，90ACB，ACBC AM为 BC 边上的中线，CDAM 于点D，CD 的延长线交AB于点E求AEEB名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -.DEBMCA【解析】由题设，在 RtAMC中，CDAM，2ACCM，由射影定理224ADADAMACDMDMAMCM对ABM和截线 E

4、DC，由梅涅劳斯定理，1AEBCMDEBCMDA，即2 1114AEEB所以2AEEB探索提升【例 2】如图，在ABC中，D为AC中点，BEEFFC，求证：:5:3:2BMMNNDNMDCFEBA【解析】直线AE是BCD的梅氏线，1BMDACEMDACEB1212 1BMMD，11BMMD直线AF是BCD的梅氏线，1BNDACFNDACFB，11122BNND，41BNND:5:3:2BMMNND习题 3.如图，在ABC中，D为 BC 的中点，:4:3:1AE EFFD求:AG GHAB 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -CEFDBHGA【解析】HFC

5、是ABD的梅氏线，1AHBCDFHBDCFAD为 BC 的中点，:4:3:1AE EFFD，21BCDC，17DFFA21117AHHB，72AHHB GEC 是ABD的梅氏线，1AGBCDEGBDCEA，2 111 1AGGB，12AGGB:3:4:2AG GHHB:3:4:9AG GHAB【例 3】过ABC的重心 G 的直线分别交AB、AC 于点E、F，交 CB 的延长线于点D求证：1BECFEAFADGFECBAMDGFECBA【解析】作直线 AG 交 BC 于M，:1:2MG GA，BMMC AEBDMGEBDMGA112AEBDEBDM2EBBDAEDM同理，2CFDCFADM，而2

6、BDDCBDBDBM2()2BDBMDM名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页 -.21222BECFBDDCDMEAFADMDMDM【例 4】如图，点D、E分别在ABC的边 AC、AB上，AEEB，23ADDC，BD与 CE 交于点F，40ABCS求AEFDSFDECBA【解析】对ECA和截线BFD，由梅氏定理得：1EFCDABFCDABE，即3 212 1EFFC，所以13EFFC所以1148BFEBECABCSSS，进而211140115840AEFDABDBEFABCSSSS习题 4.如图，在ABC中，三个三角形面积分别为5，8，10四边形AEFD的面积

7、为 x，求 x的值x1085FDECBA【解析】对ECA和截线BFD，由梅氏定理得：1CDABEFDABEFC，即1823 115152xx，解得22x【备选】如图，ABC被通过它的三个顶点与一个内点O 的三条直线分为6 个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求ABC的面积354030OFECDBA【解析】对ABD和截线 COF，由梅氏定理得：1AFBCDOFBCDOA，即41132BCCD，所以名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -32BCCD，所以3BCBD所以33 105315ABCABDSS非常挑战【例 5】如图，在ABC中，A的外角平分线与边

8、BC 的延长线交于点P，B的平分线与边 CA 交于点 Q，C 的平分线与边AB交于点R，求证：P、Q、R三点共线PCBQRA【解析】AP是BAC 的外角平分线，则BPABPCCABQ 是ABC 的平分线，则CQBCQAABCR 是ACB 的平分线，则ARCARBBC 得1BPCQARABBCCAPCQARBCAABBC因R在AB上，Q 在 CA 上，P在 BC 的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P、Q、R三点共线习题 5.证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点FEDCBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -.PFEDCBA

9、【解析】如图，CDBEAF、分别为三角形ABC 的三个外角平分线，分别交ABACBC、于DEF、过 C 作BE的平行线，则BCPCBEEBDCPB，所以BPC是等腰三角形则PBCB 则有：CEPBCBEABABA同理ADACDBCB；BFBAFCAC所以1CEADBFCBACBAEADBFCBACBAC所以 DEF、共线板块二塞瓦定理及其逆定理知识导航塞瓦定理：如果ABC的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于点D、E、F，如图，那么1BDCEAFDCEAFB通常称点P为ABC的塞瓦点PFEDCBA证明：直线FPC、EPB分别是ABD、ACD的梅氏线，1BCDPAFCDPAF

10、B，1DBCEAPBCEAPD两式相乘即可得：1BDCEAFDCEAFB塞瓦定理的逆定理：如果点D、E、F分别在ABC的边BC、CA、AB上或其延长线上，并且1BDCEAFDCEAFB，那么AD、BE、CF相交于一点（或平行）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -FPFEDCBAFEDCBA证明：若AD与BE相交于一点P时，如图，作直线CP交AB于F由塞瓦定理得：1BDCEAFDCEAF B，又已知1BDCEAFDCEAFB，AFAFFBF B，ABABFBF B，FBF BF与F重合CF与CF重合AD、BE、CF相交于一点 若AD与BE所在直线不相交，则A

11、DBE，如图BDEADCAC，又已知1BDCEAFDCEAFB，1EACEAFACEAFB，即CEFBACAF/BEFC，ADBEFC说明：三线平行的情况在实际题目中很少见探索提升【例 6】（1）设AXBYCZ，是ABC的三条中线，求证：AXBYCZ，三线共点ZYXCBA（2）若 AXBYCZ，为ABC的三条内角平分线求证：AXBYCZ，三线共点名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -.ZYXCBA【解析】（1）由条件知，BXXCYCYAZAZB，1BXCYAZXCYAZB，根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AXBYCZ，共点这个点称为这个三角形的重心（2）由三

12、角形内角平分线定理得：BXABCYBCAZACXCACYABAZBBC，三式分别相乘，得：1BXCYAZABBCACXCYAZBACABBC根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AXBYCZ，共点，这个点称为这个三角形的内心习题 6.若 AXBYCZ，分别为锐角ABC的三条高线，求证：AXBYCZ，三线共点ZYXCBA【解析】由ABXCBZ得：BXABBZBC；由BYACZA得：AZACAYAB；由AXCBYC可得：YCBCCXAC所以1BXAZYCABACBCBZAYCXBCABAC根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AXBYCZ，共点对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点我们

13、把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心【例 7】如图，M为ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点D，求证：EFBCFDEMCBA【解析】对ABC和点M应用塞瓦定理可得：1AFBDCEFBDCEA又因为BDDC，所以1AFCEFBEA进而AFAEFBEC，所以EFBC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -习题7.如果梯形ABCD的两腰AD、BC的延长线交于M，两条对角线交于N 求证：直线MN必平分梯形的两底BQANCPDM【解析】ABCDMDCMDABC1MDBCDACM1MDAQBCDAQBCM（由塞瓦定

14、理得）1AQQB，AQQBDPPCAQQB，DPPC板块三梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合非常挑战【备选】如图，E、F分别为ABC的AC、AB边上的点，且3AEEC，3BFFA，BE、CF交于点P，AP的延长线交BC于点D求:AP PD的值ABCDEFP名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -.【解析】P为ABC的塞瓦点11133AFBDCEBDFBDCEADC91BDDC，910BDBCEPB为ACD的梅氏线，91110 3APDBCEAPPDBCEAPD103APPD【备选】如图，四边形ABCD的对边AB和DC，DA和CB分别相交于点LK，对角线AC与BD交于点M直线KL与BD、AC分别交于点FG、求证：KFKGLFLGFGLKMDCBA【解析】对DKL与点B应用塞瓦定理得：1DAKFLCAKFLCD对DKL和截线ACG应用梅涅劳斯定理可得：1DAKGLCAKGLCD进而可得KFKGLFLG名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -