2022年三角形有关专题复习讲义 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载三角形专题复习讲义一、基础知识及考点剖析 夯实基础考点 1、轴对称图形(1)轴对称图形及对称轴定义：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。(2)有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴。(3)折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。考点 2、轴对称(1)轴对称图形及对称轴定义：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称.(2)图形轴对称的性质关于某直线对称的两个图

2、形是全等形。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。考点 3、轴对称与轴对称图形的区别轴对称图形轴对称图形区别(1)轴对称图形是指(一个)具有特殊形状的图形，只对(一个)图形而言；(2)对称轴(不一定)只有一条(1)轴对称是指(两个)图形的位置关系，必须涉及(两个)图；(2)只有(一条)对称轴联系若把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称。若把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体，那么它就是一个

3、轴对称图形。考点 4、线段的垂直平分线(1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合考点 5、常考模型(1)图形的翻折模型：抓住翻折前后哪些量(边、角)不变。(2)最短距离问题：在直线l 上找一点 P，使得 P 到 A、B 两点的距离和最短。A、B 两点在直线l 的同侧A、B 两点在直线l 的异侧名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 15 页 -学习好资料欢迎下载2

4、1BCAD题型 1：对称的性质1.如图，点 A、B 的坐标分别为（0，3）、（4，6），点 P 为 x 轴上的一个动点，若点B 关于直线 AP的对称点 B 恰好落在坐标轴上，则点B 的坐标为第 1 题图第 2 题图第 3 题图2.如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，BC=1，点 D 在 AC 上，将 ADB 沿直线 BD 翻折后，将点 A 落在点 E 处，如果 AD ED，那么线段DE 的长为3.如图：在 RtABC 中，ACB=90,AB,M 是斜边的中点，将三角形ACM 沿 CM 折叠，点A 落在点 D 处，若 CD 恰好与 AB 垂直且垂足为E，则 A 的度数为4.如图，ABC

5、 中，已知 BAC=45，AD BC 于 D，BD=2，DC=3，求 AD 的长。小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以 AB、AC 为对称轴，画出 ABD、ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为E、F，延长 EB、FC 相交于 G 点，证明四边形AEGF 是正方形；(2)设 AD=x，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值考点 6、等腰三角形的定义(1)等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。(2)在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角

6、(3)等腰三角形中边与角的分类谈论思想分类讨论三部曲：分类讨论确认能否构成三角形确定答案考点 7、等腰三角形的性质(1)性质 1：文字表达为：等腰三角形的两个底角相等（在同一三角形中，简写成“等边对等角”）几何语言：在ABC 中，AB=AC，B=C（同一三角形中，等边对等角）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 15 页 -学习好资料欢迎下载(2)性质 2：文字描述：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（简称“三线合一”）几何语言：在ABC 中，AB=AC，且点 D 为 BC 的中点，1=2，BD=CD，AD BC（等腰三角形三线合一）(3)补充性质：对称

7、性：等腰三角形是轴对称图形，有一条或者三条对称轴。等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.考点 8、等腰三角形的判定(1)判定 1：文字描述：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。(在同一三角形中，简写成“等角对等边”)几何语言：在ABC 中，B=C，AB=AC(同一三角形中，等角对等边)ABC 是等腰三角形(2)判定 2：文字描述：有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形。即三角形中有一边上的三线合一，那么这个三角形是等腰三角形。(注意：只能运用于填空选择题，解答题需要证明)几何语言：在ABC 中，BD=DC，BAD=CAD，AD BC，ABC 是

8、等腰三角形其实在判定三角形是否是等腰三角形时，只需要一边的三线中的任意两线合一就能证明出该三角形为等腰三角形。如下表(3)其他判定方法：(注意：只能运用于填空选择题，解答题需要证明)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形。有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形。有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形。三角形中有一条或者三条对称轴的三角形是等腰三角形考点 4、等腰三角形的性质5.若等腰三角形的周长为12，腰长为 x，则腰长 x 的取值范围是。6.若等腰三角形的一个角为50，则它的顶角为7.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理

9、-第 3 页，共 15 页 -学习好资料欢迎下载8.如图，在 ABC 中，BAC=106，EF、MN 分别是 AB、AC 的中垂线，E、M 在 BC 上，则 EAM等于()A58B32C36D34第 8 题图第 9 题图9.如图，ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA,则 A 的度数为.10.如图，在五边形ABCDE 中，BE，C=D，BC=DE，M 为 CD 中点，求证：AM CD11.如图，已知1=2，EFAD 于点 P，交 BC 延长线于点M.求证：EMB=12(ACB-B).考点 9、特殊的等腰三角形 等边三角形(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做

10、正三角形(2)等边三角形的性质：性质：等边三角形的三边都相等。性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60。性质：等边三角形的每边上的三线均合一，且都等于a23.(a为等边三角形的边长)。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 15 页 -学习好资料欢迎下载性质：等边三角形有3 条对称轴。性质：等边三角形的面积为243a.(a为等边三角形的边长)(注意：性质只能运用于填空选择题，解答题需要证明)(3)等边三角形的判定方法判定 三条边都相等的三角形是等边三角形；判定 三个角都相等的三角形是等边三角形；判定 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。（该判定方法

11、经常运用）其他判定方法：每边上的三线均合一，且均相等，的三角形为等边三角形；有三条对称轴的三角形为等边三角形；(注意：其他判定方法中的只能运用于填空选择题，解答题需要证明)考点 10、直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。几何表示：RtABC，C=Rt=90考点 11、直角三角形的性质性质 1、直角三角形的两个锐角互余。几何表示：在RtABC 中，C=90 A+B=90 性质 2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。几何表示：在RtABC 中，点D 为斜边 AB的中点CD=21AB 性质 3、在直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半。几何表示：在 RtABC 中，

12、B=30，AC=21AB 性质 4、勾股定理：直角三角形的两条直角边的平分和等于斜边的平分。几何表示：222cba(其中a，b分别为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边)勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：勾股定理主要应用于计算直角三角形的边长。勾股数：满足22ba=2c的三个正整数，称为勾股数，如 3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；7，24，25；9,40,41利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题性质 5、常用关系式：由三角形面积公式可得：ABh=ACBC考点 12、直角三角形的判定判定 1、有一

13、个角是直角的三角形是直角三角形判定 2、有两个角互余的三角形是直角三角形判定 3、勾股定理的逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即三角形的三边满足222cba则它是一个直角三角形.(其中a，b分别为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边)注意：若三角形的三边满足一组勾股数的k 倍，那么这个三角形也是直角三角形。当题目中要判断三边长是否可以构成直角三角形时，边长比较大的时候我们可以化简缩小，就能很快名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 15 页 -学习好资料欢迎下载判断。判定 4、补充：如果三角形中一边上的中线等于这条边的一半

14、，那么这个三角形是一个直角三角形。考点 13、特殊角的直角三角形边之间的关系题型 2：含特殊角的三角形12.如图，点O 事等边 ABC 内一点，AOB=110，BOC=，将 BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60 得 ADC,连接 OD,则 COD 是等边三角形；(1)当 为多少度时，AOD 是等腰三角形？(2)求证：COD 是等边三角形？(3)当=150时，试判断AOD 的形状，并说明理由.13.已知：等腰三角形的底角为15，腰长为20，求：腰上的高。考点 14、直角三角形全等的判定方法 HL 两 Rt三角形一条斜边与一条直角边对应相等则两三角形全等，简称HL 定理。该定理只适用于直角三角

15、形。以前学习的SSS、SAS、ASA、AAS 四种判断方法，对于直角三角形同样适用。几何语言：在 RtABC 和 RtDEF 中，DFACDEABRtABC RtDEF(HL)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 15 页 -学习好资料欢迎下载注意：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。考点 15、角平分线的性质定理的逆定理在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。二、课堂重难点题型精讲 方法能力提升题型 1：将军饮马模型例 1.(1)如图，在公路a 的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M

16、应建在公路旁的哪个位置比较合理？(2)已知：A、B 两点在直线 l 的同侧，在 l 上求作一点 M，使得|AMBM|最小题型 2：立体图形展开与勾股定理综合问题例 2.如图，长方体的长为15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是（）A521B25 C35 D1055例 2 题图例 3 题图例 3.如图是一块长，宽，高分别是 6，4 和 3 的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A32 13B97C85D1

17、09题型 3：如何寻找等腰三角形例 4.在等边 ABC 所在的平面内求一点P，使 PAB、PBC、PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点 P有()A1 个B4 个C7 个D10 个例 5.已知 A、B 是线段 MN 上的两点，MN=4，MA=1，MB 1，以 A 为中心顺时针旋转点M，以 B名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 15 页 -学习好资料欢迎下载为中心逆时针旋转点N，使 M、N 两点重合成一点C，构成 ABC，设 AB=x，(1)求 x 的取值范围；(2)若 ABC 为直角三角形，求x 的值。题型 4：直角三角形斜中线定理例 6.如图，在 ABC 中，三边

18、 BC、AC、AB 上的高 AE、BF、CD 相交于点M，P 为 BM 的中点，Q为 AC 的中点，求证；PQED。题型 5：直角三角形的判定例 7.如图，已知MCN=900，A 是MCN 平分线上一定点，B 为 CM 上一动点，点D 在 CN 上且BAD=450。问：RtBCD的周长是否是定值？请说明理由。题型 6：勾股定理的实际应用问题例 8.如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为 10 cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P 落在 AD 边上(不与 A、D 重合)并在 AD 上平行移动：能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点 C？若能，请你求出这时AP 的长

19、；若不能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在 AD 上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与 DC 的延长线交于点Q，与 BC 交于点 E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由.题型 7：翻折与勾股定理综合例 9.如图，把一张长8,宽 4 的长方形纸片折叠,折叠后使相对的两个点A、C 重合,点 D 落在 D，折痕为 EF,求:重合部分的面积.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 15 页 -学习好资料欢迎下载例 10.正方形 ABCD 折叠，使顶点A 与 CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于 E，交 BC 于

20、F，边 AB折叠后与 BC 边交于点 G（如图）（1）如果正方形边长为2，M 为 CD 边中点求EM 的长（2）如果 M 为 CD 边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5；（3）如果 M 为 CD 边上的任意一点，设 AB=2a，问 CMG 的周长是否与点M 的位置有关？若有关，请把 CMG 的周长用含DM 的长 x 的代数式表示；若无关，请说明理由题型 8：勾股定理与三角形边的关系例 11.在锐角 ABC 中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是()A2c4 B2 c 3 C2 c10D8 c 10例 12.如图，一架长2.5m 的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B 离墙脚 O

21、 的距离是0.7m，当梯子的顶部 A 向下滑 0.4m 到 A 时，梯子的底部向外移动多少米?题型 9：勾股定理与因式分解综合例 13.已知cba、为ABC 的三边，且满足442222bacbca，试判断 ABC 的形状题型 10：截长补短类型例 14.已知：如图，等腰 ABC 中，AB AC，A100，ABC 的平分线交AC 于 E，试比较 AE+BE与 BC 的大小？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 15 页 -学习好资料欢迎下载例 15.五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD 平分 CDE。题型 11：K 字型

22、模型例 16.如图所示,已知A、B为直线l上两点,点C为直线l上方一动点,连接AC、BC,分别以AC、BC为边向ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,过点D作1DDl于点1D,过点E作1EEl于点1E.(1)如图,当点E恰好在直线l上时(此时1E与E重合),试说明1DDAB；(2)在图中,当D、E两点都在直线l的上方时,试探求三条线段1DD、1EE、AB之间的数量关系,并说明理由；(3)如图,当点E在直线l的下方时,请直接写出三条线段1DD、1EE、AB之间的数量关系.(不需要证明)题型 12：勾股树模型例 17.如图 1，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、

23、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3(1)如图 2，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么 S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）(2)如图 3，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 15 页 -学习好资料欢迎下载请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明题型 13：利用旋转法求图形内部角度或者线段长度问题例 18.如图，设P 是等边 ABC 内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则 APB 的度数是。题型 14：勾股定理

24、证明问题例 19.如图，在RtABC 中，A=90，D 为斜边 BC 中点，DEDF，求证：222CFBEEF。题型 15：等边三角形证明问题例 20.已知：在 ABC 中，CAB 和 ABC 的平分线 AD、BE 交于点 P（1）当 ABC 为等边三角形（如图1）时，求证：EP=DP；（2）当 ABC 不是等边三角形，但ACB=60 （如图 2）时，（2）中的结论是否还成立？例 21.已知：如图，ABC、CDE 都是等边三角形，AD、BE 相交于点O，点 M、N 分别是线段AD、BE 的中点(1)求证：AD=BE；(2)求 DOE 的度数；(3)求证：MNC 是等边三角形名师资料总结-精品资

25、料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 15 页 -学习好资料欢迎下载三、课堂举一反三精炼理解、消化、升华1.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则 S1+S2+S3+S4=（）A3.65 B2.42 C2.44 D2.65 2.图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1 开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和 2，依次类推，若正方形7 的边长为1cm，则正方形1的边长为 _cm.3.如图，点 C 在线段 AB 上，在 AB

26、的同侧作等边三角形ACM 和 BCN，连接 AN，BN，若 MBN=38，则 ANB 的大小等于。第 3 题图第 4 题图4.在正方形ABCD 中 P 是正方形内一点，PA=1，PB=2，PC=3，则 PD=5.直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）A22dSdB2dSdC222dSdD22 dSd6.如图，已知RtABC 中，C=90，A=30，在直线 BC 或 AC 上取一点P，使得 PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有()A2 个B4 个C6 个D8 个名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 15 页 -学习好资料欢迎下载第 6 题

27、图第 7 题图7.如图所示，当四边形PABN 的周长最小时，a=8.若 ABC 的三边长为cba、，根据下列条件判断ABC 的形状。(1)22220012a 16b20abcc(2)322223bcb0babaaac9.如图，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C1处(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当 AB4，BC4，CC15 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；(3)求点 B1到最短路径的距离10.如图，在ABC中，B=2A，CDAB 于点 D，E 为 BC 的中点，EFCA 交 AB 于点 F，求证：DF=12B

28、C。11.如图，已知MON 和线段 AB，求作一点P，使 PA=PB 并使点 P 到 OM、ON 的距离相等。12.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220 千米 B 处有一台风中心，其中心最大名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 15 页 -学习好资料欢迎下载风力为 12 级，每远离台风中心20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15 千米/时的速度沿北偏东 30o方向往 C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响。(1)该城市是

29、否会受到这交台风的影响？请说明理由。(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？13.如图，将长方形纸片ABCD 沿直线 AC 折叠，使点B 落到点 B 的位置，AB 与 CD 交于点 E.(1)试找出一个与AED 全等的三角形，并加以证明.(2)若 AB=8，DE=3，P 为线段 AC 上的任意一点，PGAE 于 G，PHEC 于 H，试求 PG+PH 的值，并说明理由.14.一架方梯长25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 米。（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？15.已知：如图，ABCD 是正方形，FAD=FAE。求证：BE+DF=AE 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 15 页 -学习好资料欢迎下载16.如图，已知：90C，AMCM，MPAB于 P。求证：222BPAPBC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 15 页 -