2021届一轮复习人教版 第五章 第4讲　数系的扩充与复数的引入 学案（浙江专用）.docx

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1、第4讲数系的扩充与复数的引入1 .复数的有关概念复数的定义形如十万(小匕&R)的数叫做复数，其中实部是勿 虚部是心复数的分类复数 z=+bi(4, bR)(实数年三0),纯虚数。三0, b芒0), 非纯虚数(aWO, /?W0).(3)复数相等c, dR).。+/?i = c+di=4=c 且 b=d(a， b,(4)共轲复数.+bi 与 c+di 共掘uq=c 且 b= d(a, b, c dR).(5)复数的模向量宓的模叫做复数2=。+历的模，记作团或也士列,即|z| = |+Z?i| = r=M?T(r20, a、bR).2 .复数的几何意义对应(1)复数 z=a+bi复平面内的点 Z(

2、，b)(a, bR).复数z=Q+Oi(。，bR)平面向量走.3.复数的运算复数的加、减、乘、除运算法那么设 zi=a+/?i, Z2=c+di(a, h, c,R),那么加法：z +z2 =(4+0i) + (c+di) = (+c) + (b+tZ)i;减法：z Z2 = (o+Z?i) (c+di) = (-c) + (/7一好；2i a + 历历 (c-di)ac+bd bead乘法：zi Z2 = (a+0i)(c+di) = (。一。十+(4d+0c)i;除法：丁口= (c+di) If =再7土声声(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Z1，Z2, Z3w

3、C,有Z1+Z2 = Z2 + Z|,(Z|+z2)+ Z3 = Z1+(Z2 + Z3).疑误辨析判断正误(正确的打“ J，错误的打“义) (1)假设Q&C,那么标20.()(2)z=q+份(m /?R),当a=0时，复数Z为纯虚数.()根2 + 5 m+6 = 2,“0解得加=1.jrr 2m-15 = -12,(2)根据共机复数的定义得m2 + 5m+6= 12,0,解得m5.综合题组练1 .对任意复数z=x+yi(x, yR), i为虚数单位，以下结论正确的选项是()A. z-z = 2yB. z2=f+y2C. |z-z|N2xD. z|x| + y解析：选D.依次判断各选项，其中A

4、, C错，应为|zz| = 2|yi|; B错，应为z2=一y2 +2xyi, D正确，因为团=?+,2忘加叶+62+2叶回=4|卫+国2 =因+6.2 .假设虚数(x2)+yi(x, y0R)的模为小，那么:的最大值是 ()A坐B坐C.)D .小解析：选D.因为(x2)+yi是虚数，所以yWO, 又因为|(工一2)+刈=4，所以(x2)2+y2=3.由图的几何意义得，? 是复数x+yi对应点的斜率,NAOB=小,所以上的最大值为小.X3 .假设复数Z1.Z2满足阂=阂=2, |Z1+Z2|=2小,那么|Z1Z2|=.解析：由Zl, Z2均在以原点为圆心、以2为半径的圆上，口一Z2I为另一对角

5、线长，如图， 易知NZ|OZ2=60 ,所以|ziZ2| = 2.答案：24 .复数z=普3留神2时，|z|2+Q|+40恒成立，那么实数t的取值范围是.解析： 当 时， 复数 z =2港:= iJi= 也 a - 也 ai , z = 7也2+一也2 = 2a.22q2( 当22 时，|z|2+.|z|+40 恒成立，那么 4/+2必+40,化为：t=-2.d CLJ令人4）=。+（4三2）, f （0,所以./（）在时单调递增，所以q = 2时取得最小值,.所以t5.答案：（-5, +）5,假设虚数z同时满足以下两个条件：z+=是实数；z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在？假设

6、存在，求出Z；假设不存在，请说明理由. 解：这样的虚数存在，z= -12i或z=-2 i.设2=+历（，Z?R且/?WO）,.5_ ,_/,.工1.一z+历+,+/+4+/ +尻二（。55b因为z+1是实数，所以人一/翰=0.又因为bWO,所以/+匕2=5.又z+3 = m+3）+/?i的实部与虚部互为相反数, 所以+3 +。=0.。+/?+3 = 0, 由彳一，序+尻=5,。+/?+3 = 0, 由彳一，序+尻=5,解得a= ,b=-2,a= -2,或）5= . 1,故存在虚数z, z= - 1 2i或z=-2i.(3)复数z=a+i(Q, 金R)中，虚部为阮( )(4)方程f+x+l=。没

7、有解.()(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也 能比较大小.()答案：义(2)X (3)X(4)X (5)X教材衍化+z1 .(选修2-2P106B组T1改编)设复数z满足不；=i,那么|z|=.解析：l+z=i(lz), z(l+i) = i1,1 一 1 一i2 z= +j=2=i，所以lz| = |i| = 1答案：12.(选修2-2P112A组T2改编)在复平面内，向量赢对应的复数是2 + i,向量无对应的 复数是一13i,那么向量为对应的复数是.解析：CA = CB+BA=-l-3i + (-2-i)=-3-4i.答案：一3一4i3.(选修2

8、-2P116A组T2改编服设复数z=(fl) + (xl)i为纯虚数，那么实数x的值 为.相2 _ = 0解析：因为Z为纯虚数，所以|所以x= -1.x1W0,答案：一1易错纠偏(1)复数的几何意义不清致误；(2)复数的运算方法不当致使出错；(3)z与z的不清致误.1 .在复平面内，复数6 + 5i, 2+3i对应的点分别为A, A假设。为线段A5的中点, 那么点C对应的复数是()A. 4+8iB. 8 + 2iC. 2+4iD. 4+i解析：选C.因为A(6, 5), B(-2, 3),所以线段AB的中点C(2, 4),那么点C对应的 复数为z=2+4i.应选C.o I 2 .假设。为实数，

9、且+ 那么，=.解析：由不i=3 + i,得2+i = (3 + i)(l+i) = 2+4i,即ai=4i,因为。为实数，所以。=4.答案：43. (l+2i)z=4+3i,那么 z=解析：因为4+3i4+3il2i105iz 1 +2i l+2i 12i5所以z=2 + i.答案：2 + i复数的有关概念所(1)设有下面四个命题PI：假设复数Z满足;6R,那么ZWR；P2：假设复数Z满足z2R,那么zR；P3：假设复数Zl，Z2满足Z1Z2R,那么Z1=Z2；P4：假设复数zR,那么zWR.其中的真命题为()A. pi，P3B. pi， P4C. P2， P3D, P2， P4(2)q,(

10、+0i)2 = 3+4i(i 是虚数单位)，那么 2 + /=, ab=I (i-bi【解析】(1)对于命题0,设z=a+/7i(a, Z?R),由三=后需=户后口，得匕=0,那么zR成立，故命题pi正确；对于命题2,设z=i+Oi(a, /?R),由z2=/ /?2 + 2/?i eR,得4。=0,那么4=0或。=0,复数Z可能为实数或纯虚数，故命题P2错误；对于命 题3,设 zi=4+i(a, Z?R), Z2 = c+di(c, dR),由 zi Z2=(qc-%0 + (ad+Oc)iR,得 ad+hc=09不一定有zi=Z2,故命题3错误；对于命题4,设z=a+Z?i(a, bR),

11、那么由 zR,得/?=0,所以z=aR成立，故命题4正确.应选B.(2)因为(。+万)2=/Z?2+2/?i = 3+4i,a2b2=39 所以,2ab=4f所以 a2+b2=59【答案】(1)Ba=2, 2,所以彳 或b=l b= i9ab=2.(2)52反I思I提【升解决复数概念问题的方法及本卷须知(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问 题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为。+折(4, bR)的形式，以确定实部和虚部.2 i1 .(2021浙江省名校协作体高三联考)设复数那么z的共辗复

12、数为()A 1 3.n 1,3. A.B+mC. l-3iD. l+3i解析：选B.2 =解析：选B.2 =2 + i 2 + i 1 +i1,3.+卧a I 2 j2 . (2021 浙江省高中学科根底测试)复数;W(i是虚数单位)是纯虚数，那么实数a()A. -2B. -IC. 0D. 2._.+2i a+2 , 2a. . +2i 口 ,上, 一。+2“、.斛析：选A. = j +5-i,由/纯虚数得-5 -=，所以=-2,应选A.1 I I N41 I 1乙复数的几何意义他12(2021台州模拟)复数z=；jf+3i在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限

13、D.第四象限(2)在复平面内与复数2=系7所对应的点关于虚轴对称的点为人 那么A对应的复数 L I 4 0,解析：选A.由可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(加+3, m- 1),所以彳 m1|z + i|,那么实数。的取值范围为()A(_8,加(-8, I)C. I， +D.(j, +8)解析：选C.因为z=x+(x)i,且对任意实数x(l, 2),恒有|z|z+i|,所以:+X42*/+上q+2对任意实数X (1 , 2)恒成立.即2(工一)+1x+t(1x2).因为y,所以a2i.所以实数。的取值范围为i，+8)应选C.7. y R, i为虚数单位，复数zi = 3+4i, Z2 =

14、/+i,且ziZ2是实数，那么等于.解析：因为 zi = 3+4i, Z2=1+i,所以 zi Z2=(3，-4) + (4f+3)i,又 z/Z2 是实数，所3以41+3 = 0,所以/=一疝3宏享-u木48. (2021 杭州市学军中学联考)设复数z= -li(i为虚数单位)，z的共枕复数为z,那 么 |(1z) z|=解析：因为z= -1 i,所以z= 1+i,所以(lz)z=(2+i)(l+i)=-3+i,所以 |(lz)z| = | - 3 + i|=qi5.答案：Vw根+0mm9. (2021 宁波南三县六校联考)i是虚数单位，m, 金R,且根(1+i)= 1+i,那么解析：由根(

15、l+i)=l+i,得即 m=n= 1,所以答案：一14 + 2i10.复数z=(+i不为虚数单位)在复平面内对应的点在直线2y+，=0上,那 么实数m=.解析：z= 2=4:+=4芋ii=-2i,复数z在复平面内对应的点的坐标为 (1, -2),将其代入 x2y+2=0,得 m= -5.答案：一51i L 1+iQ)(1+i) 2 +I-1) 2；1小i市;i) T解:(i)l+2i*I=-3+黑3-3iii(2ij 12.= 2+i=5=5+5li 1+i1 i 1 +i 1+i 1+i1+i2+12=丁+万=二十= -1.1爽i _小 + ii_ T _一i而i小+ i2=小+ i2 =7Th=4_ 1 3.-4 4 L12.实数m分别取什么数值时，复数z=(m2+5m+6) + (m22/?2 15)i与复数212i相等；(2)与复数12+16i互为共辄复数；(3)对应的点在光轴上方.解：(1)根据复数相等的充要条件得