角（提高）知识讲解.docx

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1、角(提高)知识讲解责编：康红梅【学习目标】1 .掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换;.借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；2 .会利用角平分线的意义进行有关表示或计算;.掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1.角的定义：(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.如图1所示,条射线是角的两条边.如图1所示,(2)定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角 的内部.如图2所示，射线0A绕它的端点0旋转到0B的位置时，形成的图形叫做角，起始 位置0A是

2、角的始边，终止位置0B是角的终边.要点诠释：(1)两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关.(2)平角与周角：如图1所示射线0A绕点0旋转，当终止位置0B和起始位置0A成一条直 线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，0B和0A重合时，所形成的角叫做周角. boaLZab)平角周角图1图22 .角的表示法：角的几何符号用表示，角的表示法通常有以下四种：表示方法塞峰;图示记法适用范(1)用三个大 写字母表示乙AOB任何情况都适或 用，表示顶点的 乙BOA字母写在中间(2)用一个大 写字母表示乙。以某一点为顶点 的角只有一个 时，可以用顶点 表示角(3)用阿

3、拉 伯数字表示任何情况都适用任何情况都适用要点诠释：.用数字或小写希腊字母表示角时，耍在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或 小写希腊字母.3 .角的画法(1)用三角板可以画出30。、45。、60。、90等特殊角.(2)用量角器可以画出任意给定度数的角.(3)利用尺规作图可以画一个角等于已知角.要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1。的角，1的,为1分，记作”，1的,为1秒，记作“1 这种以度、分、秒为单位的角6060的度量制，叫做角度制.1 周角=360。，1 平角= 180。, 1 =60，1 =60 .要点诠释：在进行有关度分秒的

4、计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除 的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得 数大于60时要向高一位进位.要点三、角的比较与运算1 .角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种.方法1：度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.方法2：叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较.如比较NA0B和NA O B的大小：如下图，由图(1)可得NAOBVNA O B；由 图可得NA0B=NA O B；由图(3)可得NA0BNA 0, B.(1)2 .角的和、差运算如图所示，NAOB是N1与N2的和，记作：ZA

5、OB=Z1 + Z2； N1是NAOB与N2的差,要点诠释：（1）用量角器量角和画角的一般步骤：对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；重合（一边 与刻度尺上的零度线重合）;读数（读出另一边所在线的度数）.（2）利用三角板除了可以做出30。、45。、60。、90外，根据角的和、差关系，还可以画 出 15。，75 , 105 , 120 , 135 , 150 , 165 的角.3 .角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图 所示，0C 是NA0B 的角平分线，ZA0B = 2ZA0C = 2ZB0C,ZA0C=ZB0C =-ZA0B.要点诠释：由角平分线

6、的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样.要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.例如，图中射线0A的方向是北偏 东60。；射线0B的方向是南偏西30。.这里的“北偏东60。”和“南偏西30。”表示方 向的角，就叫做方位角.北要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示.（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60 ”一般不说成“东偏北30。”.（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”， 确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向.（4）图中的点。是观测点，所有方向线（射线）都必须以0为

7、端点.要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30的角，分针1分钟转6。， 时针每小时转30。，时针1分钟转0.5。，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计 算问题.【典型例题】类型一、角的概念C1.利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180的角，试一一画出来.【思路点拨】首先发现一副三角板上有30。，45 , 60 , 90这样4个不相等的角，利 用这些角进行一次和差，可得小于180。的所有角.【答案与解析】解：除了可以画 30 , 45 , 60 , 90 外，还可画 15 , 75 , 105 , 120 , 135 , 150 , 165的七个

8、度数的角，画法如图所示.乙405=135。(5)乙405=135。(5)44。氏 150。(6)【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30 , 45 , 60 , 90 , 15 , 75 , 105 , 120 , 135 , 150 , 165 .举一反三：【变式】(2015春成武县期末)下列说法中，正确的是()A.两条射线组成的图形叫做角B.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C.角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D.角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C.类型二、角度制的换算2.计算下列各题：(1)152 497 12 +20

9、. 18 ；(2)82 -36 42, 15 ；(3)35 36, 47 X9；(4)41 37 4-3.【答案与解析】解:解法一: 20. 18 =20。10 481524917.+ 20010好i725960”即:152 49 12 +20. 18 =173 .解法二：152 49f 12 =152.82。,， 152. 82 +20. 18 =173 .即：152 49 12 +20. 18 =173 .(2)将 82。化为 81。59f 60，则8159,60,/ 3642：1545。17,45，82 -36 42, 15 =45 17, 45 .3536,4/(3), N- 315O

10、324/423Z，423 =7 3，324 +7，=5 3T , 35 36 47 X9 = 320 31， 3 .(4)1352z2(yz3)4137,311J二(将余数2。化为120) 157,1507纥(将余数1，化为60)606_ 0- 41 37/ +3=13 52, 20 .【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算; 在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60进1,，满60,进1。； 对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以 前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入.举一反三：【变式】

11、计算：(1)23 45 36 +66 14 24 ； (2) 180 -98 24 30；(3)15 50, 42 X3；(4)88 14 48 +4.【答案】(1)23。457 36 +66。14，24 =90 ；(2)180 -98 24 30 =81 35, 30 ；(3)15 507 42 X3=47 32 6 ；(4)88 14, 48 +4 = 22。3, 42 .类型三、角的比较与运算Cs.如图所示表示两块三角板.&3,弗笠|(1)用叠合法比较Nl, Na, N2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用或“=”连接.【答案与解析】解：(1)如图所示，

12、把两块三角板叠在一起，可得N1N&,用同样的方法，可得Na/a.(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是N1 = N2=45。，Z3 = 90 , Za =30 , NB=60。，Zy=90 ,把它们从小到大排列，有N a VN1 = N2VN B VN3=N 丫.【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：先将两个角的顶点与顶点重合，一条 边与一条边重合再比较.先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较.举一反三：【变式】如图，ZAOB的平分线OM,ON为NMOA内的一条射线，OG为NAOB外的一 条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是NMON=，(NBON-NAON),你认为 2

13、这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：V ZAOB的平分线OM,AZAOM=ZMOB又NMON= ZAOM- ZAON=ZMOB- ZAON=(ZBON- ZMON) ZAON 即有NMON=NBON-NMON -ZAON2ZMON= ZBON- ZAONAZMON=- (ZBON-ZAON)2C4.(武汉武昌区期末调研考试)已知点O是直线AB上的一点，ZCOE=90 , OF是NAOE的平分线.(1)当点C、E、F在直线AB的同侧(如图所示)时,试说明NBOE=2NCOF；(2)当点C与点E、F在直线AB的两旁(如图所示)时(1)中的结

14、论是否仍然成立?请 给出你的结论并说明理由；(3)将如图中的射线OF绕点。顺时针旋转m(0m180),得到射线OD,设/,则NDOE的度数是多少？(用含n的式子表示),则NDOE的度数是多少？(用含n的式子表示)【思路点拨】由于本题中涉及角的数量关系,故可以选择代数的方法来说明理由.【答案与解析】解：如图，设NCOF=a,贝lNEOF=90。-a 因为OF是NAOE的平分线所以NAOF=90。-a所以 NAOC=(90。-a )-a =90 -2 QZBOE=180 -ZCOE-ZAOC= 180-90-(90-2a)=2a即 NBOE=2NCOF(2)成立.如图290 设NAOC=B,则/A

15、Ob =匕2所以/CO /= /AOC + /AO b=45。+ 2 = (90。+ /)2 2ZBOE=180 -ZAOE=180 -(90 -3)=90 +B所以 NBOE=2NCOF(3)因为NDOE=180。-ZAOE-ZBOD2= 180-(90-)。-(60-铲)。=(30 + |/?)故乙DOE的度数是(30 + -).【总结升华】根据角平分线，互余及互补的定义，进行有关角的计算.有一定的综合性和代 表性，主要培养分析问题和解决问题的能力.【高清课堂：角397364角的有关计算例4】举一反三：【变式】如图，已知O是直线AC上一点，OD平分/AOB, OE在/BOC内，且/BOE=

16、 -ZEOC, ZDOE=70 ，求 NEOC 的度数.2【答案】解：设NEOC=x。，贝I/BOE=L/EOC=x。，根据题意可得：22180 Xx 2 + 3 = 70 ,22解得：x = 80 .ZEOC = 2ZBOE=80.类型四、方位角C5. （2015浦东新区三模）已知小岛A位于基地0的东南方向，货船B位于基地0的北偏东50。方向，那么NAOB的度数等于.【答案】85。.【解析】解：如图：*/ Z 2=50,/. Z 3=40,/ Z 1=45。，. Z AOB=Z 1+Z 3=45+40=85,故答案为：85.【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表

17、示出A, B的 方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键.类型五、钟表上有关夹角问题Cg.在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线？【答案与解析】解：设7时x分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：6x x 30 x 5211答：7时5分钟时针与分针成一条直线.11【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一 定的角度.如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： 分针的速度为 =6。/分；时针的速度为上=0.5。/分.6060分故分针速度是时针速度的12倍.举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110。，下午7点多回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110 ,试算出此人外出用了多长时间？【答案】解：设此人外出用了 x分钟，则分针转了 6x度，时针转了 0.5x度.根据题意得：6x-0. 5x=110X2,解之得 x=40.答：此人外出购物用了 40分钟的时间.