数列求和的基本方法和技巧 (3)讲稿.ppt

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1、关于数列求和的基本方法和技巧(3)第一页，讲稿共二十九页哦)1(211nnkSnkn一、利用常用求和公式求和一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法本最重要的方法.1 1、等差数列求和公式：等差数列求和公式：2 2、等比数列求和公式：、等比数列求和公式：3 3、4 4、5 5、dnnnaaanSnn2)1(2)(11)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn)12)(1(6112nnnkSnkn213)1(21nnkSnkn第二页，讲稿共二十九页哦_2642.1n_2141211.2n)1(nnn2

2、12第三页，讲稿共二十九页哦 例例1 1 已知已知 ，求求 的前的前n n项和项和3log1log23x nxxxx32 由等比数列求和公式得由等比数列求和公式得nnnnnxxxxxxxS211211)211(211)1(32 第四页，讲稿共二十九页哦 公式法求和的前提是由已知条件能得到公式法求和的前提是由已知条件能得到此数列是等差或等比数列，因此，要求不仅此数列是等差或等比数列，因此，要求不仅要牢记公式，还要计算准确无误。要牢记公式，还要计算准确无误。在什么情况下，用公式法求和？在什么情况下，用公式法求和？第五页，讲稿共二十九页哦例例2_2642.1n1112._242n)212n()414

3、()212(nnnSS求第六页，讲稿共二十九页哦)414()212(nS)212n(n=(2+4+2n)4121()21n211)21(1 212)22(nnnnnn)21(1)1(1)21(2nnn分组求和分组求和解：解：第七页，讲稿共二十九页哦求前求前n项和关键的第一步：项和关键的第一步：在什么情况下，用分组求和？在什么情况下，用分组求和？nnnnncabab其中是等差数列是等比数列第八页，讲稿共二十九页哦例例3 求数列的前求数列的前n项和：项和：231,71,41,1112 naaan，解：设解：设)231()71()41()11(12 naaaSnn 将其每一项拆开再重新组合得将其每一

4、项拆开再重新组合得)23741()1111(12 naaaSnn（分组）（分组）2)13(nnnSn2)13(nn 当当a1时，时，（分组求和）（分组求和）1a2)13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan当当时，时，第九页，讲稿共二十九页哦变式训练变式训练1 1：求和：求和)221()21(122221()21n21na12n2121n12 n解：设解：设21Saanna222nn2nn21)21(2221nn)12()12()12(2n分组求和分组求和第十页，讲稿共二十九页哦 如果一个数列如果一个数列 a an n，与首末两项等距离的两项之和等，与首末两项等距离的两项之和等于首

5、末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒倒序相加法序相加法.4412 (),()()42201220122011().2012例、设求xxfxSfff()(1)()1,xxaf xaafxf x提示：函数具有一个特征，即满足可利用这一特征，解决求和的相关问题。第十一页，讲稿共二十九页哦 把数列中的把数列中的相邻几项合并相邻几项合并，进而求和的方法，进而求和的方法称为称为并项求和法并项求和法.22222121,2,3,4,5,(1),11.00

6、.nn 求求数数列列的的前前项项和和例例点评点评：此题的：此题的关键关键是把相邻两项分别是把相邻两项分别合并、分合并、分解因式解因式后，后，转化转化为等差数列求和为等差数列求和.四、并项求和法四、并项求和法13579959799 练练习习.50第十二页，讲稿共二十九页哦分析：此数列为特殊数列，其通项的分母是两个分析：此数列为特殊数列，其通项的分母是两个因式之积，且两数相差因式之积，且两数相差1,若把通项作适当变形为若把通项作适当变形为)2)(1(1541431321SnnnnS求2111)2)(1(1nnnn例例2裂项裂项五、裂项相消法五、裂项相消法第十三页，讲稿共二十九页哦 把数列的把数列的

7、通项拆成两项之差通项拆成两项之差，即数列的每，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一求和时一些正负项相互抵消些正负项相互抵消，于是前，于是前n n项的和变成项的和变成首尾首尾若干少数项之和若干少数项之和，这一求和方法称为，这一求和方法称为裂项相消裂项相消法法.五、裂项相消法五、裂项相消法 第十四页，讲稿共二十九页哦技巧小结技巧小结：常见的裂项变形：常见的裂项变形 11111n nnn+1211212112121nnnn11()ababab 11 11()n nnk+kkn 11221111(),1111();2nnnnnnnnnaa adaaa adaa

8、若是等差数列，则1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn第十五页，讲稿共二十九页哦解解:111(1)(2)12nannnn11111111()()()()23344512nSnn11()22n2(2)nn 求和求和)2)(1(1541431321Snnn裂项相消裂项相消第十六页，讲稿共二十九页哦解：由题意设解：由题意设1)(2nnan1)(12nn2111nSn 3211432322212)1(2nn3121211(2)111nn)111(2n)1(1431321211 2nn12nn求)(,32114321132112111*Nnn。第十七页，讲稿共二十九页哦11nnan已

9、知已知 ，若，若 前前n项和为项和为10，则项数，则项数n为为_.na120 第十八页，讲稿共二十九页哦 如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法位相减法.六、错位相减法六、错位相减法第十九页，讲稿共二十九页哦nnnS2226242232 2311242(1)222222nnnnnS 1432222222222222)211(nnnnS1122212nnn1224nnnS解解:设设得得（设计错位）（设计错位）（错位相减（错位相减）例例3.求数列求数列 ,22,26,2

10、4,2232nn前前n项的和项的和第二十页，讲稿共二十九页哦 是等比数列是等差数列其中nnnnnbabac第二十一页，讲稿共二十九页哦的值求nxnxxxS)1(432132第二十二页，讲稿共二十九页哦 2323123111112121123(1)2011234(1)23(1).(1)1(1)1(1)1111112nnnnnnnnnnnxSnxxSxxxnxxSxxxn xnxx SxxxxnxxnxxxnxSx 当 时，；当且时，因为 ，所以 由得 ，所以【解析】x第二十三页，讲稿共二十九页哦七、利用数列的通项求和七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的先根据数列的结

11、构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前律来求数列的前n n项和，是一个重要的方法项和，是一个重要的方法.第二十四页，讲稿共二十九页哦例例 求求11111111111个n 之和之和.解：由于解：由于)110(91999991111111 kkk 个个（找通项及特征）（找通项及特征）11111111111个n )110(91)110(91)110(91)110(91321 n)1111(91)10101010(911321 个nn )91010(8119110)110(10911nnnn第二十五页，讲稿共二十九

12、页哦练习练习 1.数列数列 的的前前 n项之和为项之和为Sn，则，则Sn的值等于的值等于()(A)(B)(C)(D)，nn2112161781541321112211-nnnn2112nnn21122nnn2112A第二十六页，讲稿共二十九页哦 1111(2),1111221(1),1 33313 5242 4n nnn，2.练习：练习：求下列数列前求下列数列前n项的和项的和Sn：第二十七页，讲稿共二十九页哦 解：由题可知，解：由题可知，的通项是等差数列的通项是等差数列2n1 的通项与等比数列的通项与等比数列 的通项之积的通项之积 设设 （设制错位）（设制错位）得得 （错位相减（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：再利用等比数列的求和公式得：3 3、求和：132)12(7531 nnxnxxxS1)12(nxn1nxnnxnxxxxxS)12(7531432 nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432 nnnxnxxxSx)12(1121)1(121)1()1()12()12(xxxnxnSnnn第二十八页，讲稿共二十九页哦2022-9-72022-9-7感谢大家观看第二十九页，讲稿共二十九页哦