薄板的小挠度弯曲问题及经典解法.ppt
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1、现在学习的是第1页,共47页图9-11.名词解释名词解释(1)板板 两个平行面与垂直于该平面的棱柱面所围成的物体称为平板两个平行面与垂直于该平面的棱柱面所围成的物体称为平板,简称板。,简称板。(2)中面中面 平分板厚度平分板厚度d d的平面称为中面。的平面称为中面。(3)弹性曲面弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面。板弯曲时中面所形成的曲面。现在学习的是第2页,共47页(4)挠度挠度 中面在中面在 z方向上的位移。方向上的位移。(5)薄板薄板 板的厚度板的厚度d d远小于中面的最小尺寸远小于中面的最小尺寸 b。(3)弹性曲面弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面。板弯曲时中面所形成的曲面。(如小于(
2、如小于b/8至至b/5)的平板。)的平板。2.荷载的分解荷载的分解 将板受到的一般荷载分解为两种:将板受到的一般荷载分解为两种:作用于中面之内的荷载(平面应力问题)。作用于中面之内的荷载(平面应力问题)。垂直于中面的荷载(板的弯曲问题)。垂直于中面的荷载(板的弯曲问题)。3.小挠度弯曲理论小挠度弯曲理论4.三个基本假定三个基本假定 板的弯曲刚度较大,板的挠度远小于其厚度。板的弯曲刚度较大,板的挠度远小于其厚度。(1)形变分量)形变分量 、都可以不计。都可以不计。zzyzx 现在学习的是第3页,共47页1)由几何方程,)由几何方程,知,知 即在垂直于中面的任一法线上,薄即在垂直于中面的任一法线上
3、,薄板全厚度内各点的挠度相同。板全厚度内各点的挠度相同。0zwz),(yxww 2)由几何方程,)由几何方程,得,得 0zvywzy0 xwzuzxywzvxwzu,(9-1)(2)引起的形变可以不计。引起的形变可以不计。z由物理方程(由物理方程(7-12),有:),有:xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(1(9-2)即薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同。即薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同。现在学习的是第4页,共47页(3)薄板中面内各点都没有平行于中面的位移)薄板中面内各点都没有平行于中面的位移0)(0zu0)(0zv,(9-3)
4、、即投影保持形状不变。即投影保持形状不变。0)(0zx0)(0zy0)(0zyzxuxyvyyuxvxy、现在学习的是第5页,共47页按位移求解,基本未知量按位移求解,基本未知量 。),(yxww 1.用用w表示形变分量表示形变分量 将假定(将假定(1),即式(),即式(9-1)对)对z积分:积分:),(1yxfzywv),(2yxfzxwu,应用假定(应用假定(3),即式(),即式(9-3),有:),有:,即,即0),(1yxf0),(2yxfzywvzxwu,zyxwyuxvzywyvzxwxuxyyx222222(a)现在学习的是第6页,共47页2.用用w表示应力分量表示应力分量(1)由
5、物理方程()由物理方程(9-2)式解得应力分量:)式解得应力分量:)(12yxxE)(12xyyExyxyE)1(2,(b)(2)用用w表示应力分量表示应力分量 x、y、xy 将(将(a)式代入()式代入(b)式,有)式,有)(1)(1)(122222222222yxwEzxwywEzywxwEzxyyx(9-4)现在学习的是第7页,共47页(3)用用w表示应力分量表示应力分量 zx、zy 由空间问题的平衡方程(由空间问题的平衡方程(7-1)式的第一式有(令)式的第一式有(令fx=fy=0):):yxzyxxzx,将(,将(9-4)式代入,有:)式代入,有:wxEzyxwxwEzzzx2223
6、3321)(1),()1(21222yxFwxEzzx由边界条件由边界条件 ,有,有,0)(2dzzxwxEyxF2221)1(8),(d即有:即有:wxzEzx2222)4()1(2d同理,有:同理,有:wyzEzy2222)4()1(2d现在学习的是第8页,共47页wyzEwxzEzyzx22222222)4()1(2)4()1(2dd(9-5)(4)用用w表示应力分量表示应力分量 z 由平衡方程(由平衡方程(7-1)式的第三式有(取)式的第三式有(取 fz=0):):yxzyzzxz(c)若体力不为零,可把薄板单位面积内的体力及面力归入薄板上面的面力若体力不为零,可把薄板单位面积内的体力
7、及面力归入薄板上面的面力,并用,并用 q表示。表示。2222)()(dddddzfffqzzzzz(d)现在学习的是第9页,共47页由于由于 、,将(,将(9-5)式代入()式代入(c)式,)式,xzzxyzzywzEzz4222)4()1(2d),()34()1(234322yxFwzzEzd在薄板下面,边界条件在薄板下面,边界条件 (面力已等效),可得:(面力已等效),可得:0)(2dzzwEyxF43323)838()1(2),(dd回代(回代(e)式,有:)式,有:wzzEwzzEz422343322)1()21()1(6)8(31)2(4)1(2dddddd(9-6)现在学习的是第1
8、0页,共47页3.弹性曲面微分方程弹性曲面微分方程(1)在薄板上边界,)在薄板上边界,q薄板单位面积内的薄板单位面积内的横向荷载横向荷载,包括横,包括横向面力及体力。向面力及体力。qzz2)(d(2)将()将(9-6)式代入上式,有:)式代入上式,有:qwE423)1(12dqwD4其中其中:)1(1223dED称为薄板的称为薄板的弯曲刚度弯曲刚度,它的量纲是:,它的量纲是:L2MT-2(9-7)(9-8)(9-9)现在学习的是第11页,共47页方程(方程(9-8)称为薄板的)称为薄板的弹性曲面微分方程。是薄板弯曲问题的基本微分方。是薄板弯曲问题的基本微分方程。具体求解时要考虑(板边上)薄板侧
9、面的边界条件。程。具体求解时要考虑(板边上)薄板侧面的边界条件。1.横截面上的内力横截面上的内力 一般情况下,很难使应力分量精确满足边界条件,应用圣维南原理,应使应一般情况下,很难使应力分量精确满足边界条件,应用圣维南原理,应使应力组成的内力整体地满足边界条件。力组成的内力整体地满足边界条件。图9-2取出平行六面体取出平行六面体dxdyd d。(1)在)在x为常量的截面上,作用有为常量的截面上,作用有 x、xz、xy。由于应力分量由于应力分量 x和和 xy都与都与 z成正比,全成正比,全截面上其合力为零,只能合成为弯矩和扭矩。截面上其合力为零,只能合成为弯矩和扭矩。1)弯矩(沿)弯矩(沿y方向
10、取单位宽度)由方向取单位宽度)由 x合成:合成:现在学习的是第12页,共47页2222)1(dddddzzzdzMxxx将(将(9-4)式中的第一式代入,对)式中的第一式代入,对z积分,有:积分,有:(a)22222322222222)1(121ywxwEdzzywxwEMxddd2)扭矩由)扭矩由 xy合成:合成:22dddzzMxyxy(b)将(将(9-4)式中的第三式代入,对)式中的第三式代入,对z积分,有:积分,有:yxwEdzzyxwEMxy232222)1(121ddd现在学习的是第13页,共47页3)横向剪力(由)横向剪力(由 xz合成)合成)22dddzFxzSx(c)将(将(
11、9-5)式中的第一式代入,对)式中的第一式代入,对z积分,有:积分,有:wxEdzzwxEFSx223222222)1(12)4()1(2dddd(2)同样在)同样在y为常量的截面上,每单位宽度内的为常量的截面上,每单位宽度内的 y、yx、yz也分别合成为如下也分别合成为如下的弯矩、扭矩和横向剪力:的弯矩、扭矩和横向剪力:22222322)1(12xwywEdzzMyyddd(d)现在学习的是第14页,共47页xyyzyxMyxwEdzzM2322)1(12ddd(e)wyEdzFyzSy22322)1(12ddd(f)(3)利用()利用(9-9)式,各个内力的表达式可以简写为:)式,各个内力
12、的表达式可以简写为:2222ywxwDMx2222xwywDMyyxwDMMyxxy2)1(wxDFSx2wyDFSy2 (9-10),现在学习的是第15页,共47页图9-3 薄板内力的正负方向的规定,是从应力的正负方向的规定得出:正的应力合成的主矢量为正,正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正;反之为负。薄板内力的正方向如图9-3所示。现在学习的是第16页,共47页2.横截面上的应力横截面上的应力 由式(9-4)至(9-6)及(9-10)式,有:zMxx312dzMyy312dzMxyyxxy312d)4(6223zFxSxzdd)4(6223zFySyzdd)1()21(22ddzzqz(9-
13、11),3.分析分析 (1)上述各内力分量均为薄板单位宽度上的内力,弯矩、扭矩的量纲为)上述各内力分量均为薄板单位宽度上的内力,弯矩、扭矩的量纲为LMT-2,横向剪力的量纲是,横向剪力的量纲是MT-2。现在学习的是第17页,共47页 (2)一定荷载引起的)一定荷载引起的弯应力弯应力和和扭应力扭应力数值上最大,是主要的应力;数值上最大,是主要的应力;横向剪应力横向剪应力数值较小,是次要的应力;数值较小,是次要的应力;挤压应力挤压应力数值更小,是更次数值更小,是更次要的应力。所以计算薄板内力时,主要计算弯矩和扭矩,横向剪要的应力。所以计算薄板内力时,主要计算弯矩和扭矩,横向剪力无须计算。力无须计算
14、。(3)应用时可查相关手册,若是双向配筋时,扭矩的影响也可不考)应用时可查相关手册,若是双向配筋时,扭矩的影响也可不考虑。虑。现在学习的是第18页,共47页矩形薄板,矩形薄板,OC边简支;边简支;OA边固支;边固支;AB和和BC边自由。边自由。图9-41.固支边固支边,OA边(边(x=0)0)(0)(00 xxxww(9-13)2.简支边简支边,OC边边(y=0)0)(0)(00yyyMw0)(0)(022220yyxwyww(a)(b)(1)无外力作用时:)无外力作用时:现在学习的是第19页,共47页若(若(a)第一条件满足,则)第一条件满足,则w在在OC边上处处为零,则边上处处为零,则 ,
15、故,故 022xw0)(0)(0220yyyww(9-14)(2)若在)若在OC边上作用有分布力矩边上作用有分布力矩M(为(为x的函数)时,则(的函数)时,则(b)式及()式及(9-14)的第二式为:)的第二式为:MywDwyy0220)(0)((b)3.自由边自由边,AB边边(y=b)(1)薄板的弯矩、扭矩和横向剪力都应为零,即:)薄板的弯矩、扭矩和横向剪力都应为零,即:现在学习的是第20页,共47页0)(byyM0)(byyxM0)(bySyF (c),(2)薄板边上的扭矩可以变换为等效的横向剪力,即扭矩的等效剪力。总的)薄板边上的扭矩可以变换为等效的横向剪力,即扭矩的等效剪力。总的分布剪
16、力是:分布剪力是:图9-5xMFFyxSytSy现在学习的是第21页,共47页角点角点A、B处的集中剪力(集中反力)为:处的集中剪力(集中反力)为:AyxRABMFByxRBAMF (d),则边界条件(则边界条件(c)变为:)变为:0)(byyM0)()(byyxSybytSyxMFF,(e)由式(由式(9-10)可知,自由边)可知,自由边AB的边界条件为:的边界条件为:0)2(0)(23332222bybyyxwywxwyw(9-15)4.自由边自由边,BC边边(x=a)同样,有总的分布剪力是:同样,有总的分布剪力是:现在学习的是第22页,共47页yMFFxySxtSx(9-16)角点角点C
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