电磁场与电磁波第四章时变电磁场.ppt

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1、电磁场与电磁波第四章时变电磁场1现在学习的是第1页，共53页 本章内容 4.1 波动方程 4.2 电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定律 4.4 惟一性定理 4.5 时谐电磁场2现在学习的是第2页，共53页4.1 波动方程 在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有 无源区的波动方程 波动方程 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。麦克斯韦方程 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。麦克斯韦方程组 波动方程。问题的提出0222tHH0222tEE电磁波动方程3现在学习的是第3页，共53页0222tHH0222tEE22)(tHHH2)(tEH00HtHtH同

2、理可得 推证 问题 若为有源空间，结果如何？若为导电媒质，结果如何？4现在学习的是第4页，共53页4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 讨论内容 位函数的性质 位函数的定义 位函数的规范条件 位函数的微分方程5现在学习的是第5页，共53页引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。引入位函数的意义 位函数的定义0)(tA0 BABtBtAE6现在学习的是第6页，共53页 位函数的不确定性()()()AAAAAAtttt ）、（A 满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同一个电磁场问题。）、（AAAt 即也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位函数之间的上述变换称为规

3、范变换。A 原因：未规定 的散度。为任意可微函数7现在学习的是第7页，共53页除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即 在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即 位函数的规范条件0 A0tA 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方程得以简化。AA8现在学习的是第8页，共53页tDJH)(tAtJA)(222tAJtAAtEJBJtAA222 位函数的微分方程BHEDtAEABAAA2)(0tA9现在学习的是第9页，共53页 D)(tA222t同样tAEED、0tA10现在学习的是第10页，共53页222t 说明JtAA222

4、 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程?具有什么特点?问题 应用洛仑兹条件的特点：位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；矢量位只决定于J，标 量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需 解出 就可得到待求的电场和磁场。电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的。11现在学习的是第11页，共53页4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 讨论内容 坡印廷定理 电磁能量及守恒关系 坡印廷矢量12现在学习的是第12

5、页，共53页 进入体积V的能量体积V内增加的能量体积V内损耗的能量电场能量密度：e12w E D磁场能量密度：m12w H B电磁能量密度：em1122wwwE DH B空间区域V中的电磁能量：11d()d22VVWw VE DH BV 特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动。电磁能量守恒关系：电磁能量及守恒关系ddWtVS13现在学习的是第13页，共53页其中：单位时间内体积V 中所增加 的电磁能量。单位时间内电场对体积V中的电流所做的功；在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率。通过曲面S 进入体积V 的电磁功率。表征电磁能量守恒关系的定理积分

6、形式：VVSVJEVBHDEtSHEdd)2121(ddd)(VVJEdVVBHDEtd)2121(ddSSHEd)(JEBHDEtHE)2121()(坡印廷定理微分形式：14现在学习的是第14页，共53页在线性和各向同性的媒质中，当参数都不随时间变化时，则有将以上两式相减，得到由tBtDJHtBHHtDJHtBHtDJHH)21()(21DttttD)21()(21BHttHHtHHtBH 推证15现在学习的是第15页，共53页即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式：)(HHHJBHDtH)2121()(在任意闭曲面S 所包围的体积V上，对上式两端积分，并应用散度定理，即可得到坡印廷定

7、理的积分形式VVSVJEVBHDEtSHEdd)2121(ddd)(物理意义：单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等于 体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。16现在学习的是第16页，共53页 定义：(W/m2)HS 物理意义：的方向 电磁能量传输的方向S 的大小 通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率S 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）H S 能能流流密密度度矢矢量量 E O17现在学习的是第17页，共53页 例4.3.1 同轴线的内导体半径为a、外导体的内半径为b，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U，导体中流过的

8、电流为I。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。同轴线18现在学习的是第18页，共53页 解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为,ln()UEeb a()ab2IHe2()ln()22ln()zUIUISEHeeeb ab a内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量19现在学习的是第19页，共53页电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即

9、由电源流向负载，如图所示。2d2 d2ln()bzSaUIPS e SUIb a 穿过任意横截面的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）20现在学习的是第20页，共53页 （2）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场内2zJIEea根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为zzEE外 内2ln()zaUIEeeab aa外2aIHea外磁场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a 外外外同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）21现在学习的是第21页，共53页221

10、22320()d2 d2SaIIPSSa zRIaa e外21Ra式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图所示。进入每单位长度内导体的功率为 以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）22现在学习的是第22页，共53页4.4 惟一性定理惟一性定理 在以闭曲面S为边界的有界区域V 内，如果给定t0 时刻的电场强度和磁场强

11、度的初始值，并且在 t 0 时，给定边界面S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t 0 时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。惟一性定理的表述 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。惟一性问题VS23现在学习的是第23页，共53页 惟一性定理的证明 利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟一的，那么至少存在两组解 、和 、满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。1E2H2E1H000EHE

12、t00HEt 0()0H0()0E则在区域V 内 和 的初始值为零；在边界面S 上电场强度 的切向分量为零或磁场强度 的切向分量为零，且 和 满足麦克斯韦方程0E0H0E0H0E0H012EEE012HHH令24现在学习的是第24页，共53页根据坡印廷定理，应有222000d11()dd0d22VVHEVEVt所以由于场的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得222000011()d(d)d022tVVHEVEVt 00nn000n0()()()0SSSEHeeEHHeE根据 和 的边界条件，上式左端的被积函数为0E0HVVSVEVEHtSeHEdd)2121(ddd)(202020n002

13、5现在学习的是第25页，共53页00,E 00H 12,EE12HH上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有（证毕）即 惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场 问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的 应用。26现在学习的是第26页，共53页4.5 时谐电磁场时谐电磁场 复矢量的麦克斯韦方程 时谐电磁场的复数表示 复电容率和复磁导率 时谐场的位函数 亥姆霍兹方程 平均能流密度矢量27现在学习的是第27页，共53页 时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时

14、谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。研究时谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。4.5.1 时谐电磁场的复数表示28现在学习的是第28页，共53页 时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题的分析得以简化。设 是一个以角频率 随时间t 作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成(,)A r t 0(,)cos()A r tAtrj()j0(,)ReeRe()etrtA r tA

15、A r其中j()0()erA rA时间因子空间相位因子 利用三角公式式中的A0为振幅、为与坐标有关的相位因子。()r 实数表示法或瞬时表示法复数表示法复振幅 时谐电磁场的复数表示29现在学习的是第29页，共53页 复数式只是数学表示方式，不代表真实的场。照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成 j()jm(,)Re()eReeitrtiiiE r tE rEjm(,)Re()etE r tErj()j()j()mmmm()()e()e()eyxzrrrxxyyzzEre Ere Ere Er各分量合成以后，电场强度为 有关复数表示的进一步说明复矢量 真实场是复数式的实部，即

16、瞬时表达式。由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有 关的部分就可表示复矢量。30现在学习的是第30页，共53页 例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式mm(,)cos()sin()xxxyyyE z te Etkze Etkz（2）mm(,)()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta解：（1）由于mm(,)cos()cos()2xxxyyyE z te Etkze Etkzj(/2)j()mmReeeyxt kzt kzxxyye Ee Ej(/2)j()mmm()eeyxkzkzxxyyEze Ee Ejjj

17、mm(eje)eyxkzxxyye Ee E（1）所以31现在学习的是第31页，共53页（2）因为 cos()cos()kzttkzsin()cos()cos()22kztkzttkzjj 2jmmm(,)()sin()ecos()ekzkzxzaxxHx ze H ke Haa故 mm(,)()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta所以 mm()sin()cos()2cos()cos()xzaxe H ktkzaxe Htkza32现在学习的是第32页，共53页 例4.5.2 已知电场强度复矢量mm()jcos()xxzEze Ek

18、z解jmj()2m(,)Rejcos()eRecos()etxxztxxzE z te Ek ze Ek zmcos()cos()2xxze Ek zt其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量mcos()sin()xxze Ek zt 33现在学习的是第33页，共53页以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得tBEjjmmRe(e)Re(e)ttEBt jjjmmmRe(e)Re(e)Re jetttEBBt mmjEB t Re 将 、与 交换次序，得上式对任意 t 均成立。令 t0，得4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程mmReRejEB 令t/2，得mmRejRej(j)EBm

19、mImIm(j)EB即34现在学习的是第34页，共53页 例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为),(),(),(21tzEtzEtzE8182(,)0.03sin(10)(,)0.04cos(10/3)xxE z tetkzEz tetkz式中888888j(10/2)j(10/3)j(/2)j(/3)j(,)0.03sin(10)0.04cos(10/3)0.03cos(10)0.04cos(10/3)2Re0.03eRe0.04eRe0.03e0.04eexxxxt kzt kzxxkzkzxxE z tetkzetkzetkzetkzeeee810 t 解：（1）因为j/2j/3j()0.

20、03e0.04eekzxE ze故电场的复矢量为试求：（1）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。35现在学习的是第35页，共53页mmmmmmmmjj0HJDEBBD 0tt DHJBEBDjj0HJDEBDB 从形式上讲，只要把微分算子 用 代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程jtjt 略去“.”和下标m36现在学习的是第36页，共53页（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量00jjj32054321j()()j0.03e0.04ee7.6 10 e1.01 10 eexykzyjjjkzyEH zE zezkee k

21、j58(,)Re()e7.6 10sin(10)tyH z tH ze ktkz481.01 10cos(10)3tkz磁场强度瞬时值37现在学习的是第37页，共53页实际的介质都存在损耗：导电媒质当电导率有限时，存在欧姆损耗。电介质受到极化时，存在电极化损耗。磁介质受到磁化时，存在磁化损耗。损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质 的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。4.5.3 复电容率和复磁导率 cjj(j)j HEEEE 导电媒质的等效介电常数其中c=j/、称为导电媒质的等效介电常数。对于介电常数为、电导率为 的导电媒质，有38现在学习的是第38页，共53页 电介质

22、的复介电常数 同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质c j(+)磁介质的复磁导率c j 对于存在电极化损耗的电介质，有 ，称为复介电常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数为c j 对于磁性介质，复磁导率数为 ，其虚部为大于零的数，表示磁介质的磁化损耗。39现在学习的是第39页，共53页 损耗角正切 导电媒质导电性能的相对性tantan，电介质tan，导电媒质磁介质1 弱导电媒质和良绝缘体1 一般导电媒质1 良导体 工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义为复介电常数或复磁导率的

23、虚部与实部之比，即有 导电媒质的导电性能具有相对性，在不同频率情况下，导电媒质具有不同的导电性能。40现在学习的是第40页，共53页导电媒质理想介质4.5.4 亥姆霍兹方程 在时谐时情况下，将 、，即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。222t tj 瞬时矢量复矢量22222200ttEEHH222200kkEEHH()k 22222200ttttEEEHHHkcc()22c22c00kkEEHH41现在学习的是第41页，共53页4.5.5 时谐场的位函数 在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式。t BAAE洛仑兹条件达朗贝尔方程瞬时矢量复矢量j BAEAt

24、Aj A222222tt AAJ2222kk AAJ42现在学习的是第42页，共53页4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量 二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形式，不能将复数形式的场量直接代入。00(,)cos()(,)cos()ttttE rErH rHr 设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为 电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。时谐场中二次式的表示方法43现在学习的是第43页，共53页则能流密度为 200cos()trSEHEH如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有j()0()erE rEj()0()erH rHj()

25、j()jj00j2(0000Re(ee)ReeeRe ecos 22()trtrtttr)trSEHEHEHEHj()j()00200ReeReecos()trtrtrSEHEH先取实部，再代入 44现在学习的是第44页，共53页使用二次式时需要注意的问题 二次式只有实数的形式，没有复数形式。场量是实数式时，直接代入二次式即可。场量是复数式时，应先取实部再代入，即“先取实后相乘”。如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因 子。45现在学习的是第45页，共53页 二次式的时间平均值 在时谐电磁场中，常常要关心二次式在一个时间周期 T 中的 平均值，即平均能流密度矢量av0011d()d

26、TTtEHtTTSS平均电场能量密度eave00111dd2TTwwtE D tTT平均磁场能量密度mavm00111dd2TTwwtH B tTT 在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计 算，有av1Re(),2EHSmav1Re()4wH Beav1Re(),4wE D46现在学习的是第46页，共53页则平均能流密度矢量为 2av000000111()dcos()d2TTttrtTTSEHEHEH如果电场和磁场都用复数形式给出，即有 j()0j()0()e()errE rEH rHjjavav001Re(e)Re(e)2ttSEHEH*av1Re()2SEHj()j()000

27、011Reee22rrEHEH时间平均值与时间无关00(,)cos(),(,)cos()ttttE rErH rHr 例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度都用实数形式给出47现在学习的是第47页，共53页 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他 时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。(,)tS rav()Sr 在 中，和 都是实数形式且是 时间的函数，所以 也是时间的函数，反映的是能流密度 在某一个瞬时的取值；而 中的 和 都是复矢量，与时间无关，所以 也与时间无 关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。(,)(,)(,)tttS rE rH r(,)tH r(,)tE r(,

28、)tS rav1()Re()()2SrE rHr()E r()H rav()Srav01()(,)dTttTSrS r 利用 ，可由 计算 ，但不能直 接由 计算 ，也就是说(,)tS rav()Srav()Sr(,)tS rjav(,)Re()ettS rSr(,)tS rav()Sr 关于 和 的几点说明48现在学习的是第48页，共53页 解：（1）由得0j EHj000jj000011()()()(e)jj1(e)ejkzzykzkzxxzzEzkEEz HEeeee（2）电场和磁场的瞬时值为j00(,)Re()ecos()txkEz tztkz HHej0(,)Re()ecos()ty

29、z tzEtkzEEe 例4.5.4已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为 ，其中k 和 E0 为常数。求：（1）磁场强度复矢量 ；（2）瞬时坡印廷矢量 ；（3）平均坡印廷矢量 。j0()ekzyzEEeSavSH49现在学习的是第49页，共53页 （3）平均坡印廷矢量为jj0av002200001Ree(e)221Re()2zkzkzyxzkEEkEkE Seeee2av002222000001dd2cos()d22TzzttTkEktkztESSSee或直接积分，得瞬时坡印廷矢量为2200cos()zkEtkze000cos()cos()yxkEEtkztkz SEHee50现在学

30、习的是第50页，共53页 例4.5.5 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为00(,)cos(),(,)cos()xyz tEtkzz tHtkzEeHe解:(1)22em002222000011()()221cos()cos()2wwwEHEtkzHtkzE DB H*22aveavmav000011Re()()44wwwEHE DB Hj*jj*j000000e,e,e,ekzkzkzkzxxyyEEHHEeDeHeBe由于(2)200(,)(,)cos()zz tz tE HtkzSEHe*av0011Re()22zE HSEHe所以其中E0、H0 和 k 为常数。求：(1)w

31、 和 wav；(2)S 和 Sav。51现在学习的是第51页，共53页例4.5.6 已知截面为 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为baj0j00jsin()ejsin()cos()ezyzxzaxEeHaaxxHeHe Haa 式中H0、都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。解：（1）和 的瞬时值为EHj0(,)Re esin()sin()tyaxE x z tEeHtza0cos()cos()zxe Htzaj0(,)Reesin()sin()txaxH x z tHeHtza 52现在学习的是第52页，共53页202220(,)(,)(,)2sin()sin(22)4()sin()sin()xzx z tE x z tH x z taxeHtzaaxeHtzaS*222av011Re()sin()22zaxEHeHaS（2）平均坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量53现在学习的是第53页，共53页