无穷小的比较无穷小的阶讲稿.ppt

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1、关于无穷小的比较无关于无穷小的比较无穷小的阶穷小的阶第一页，讲稿共二十六页哦一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如,23;xx比比要要快快得得多多;sin大大致致相相同同与与xxxxx3lim20,0 xxxsinlim0,1 观察下列极限当 时,0 x 221,sin,sinx xx xx都是无穷小.不可比.,不不 存存 在在2201sinlimxxxxxx1sinlim0 00型极限不同,反映了无穷小趋向于零的速度的“快慢”程度不同.第二页，讲稿共二十六页哦定义:lim0,(1)如果 则称 是比 高阶的无穷小设 是同一过程中的两个无穷小,且0 ()o 记作 (2)如果 ,lim 则称 是比

2、低阶的无穷小；(3)如果 ,lim0C 则称 与 是同阶的无穷小；特殊地,如果lim1,则称 与 是等价的无穷小；;记作 (4)如果 ,lim0,0kCk k无穷小；则称是的 阶的第三页，讲稿共二十六页哦，03lim20 xxx例如，因为所以当0 x 时，sin x与x是等价无穷小2(3),(0).xoxx 即所以当0 x 时，2x是比3x高阶的无穷小因为，1sinlim0 xxxsin,(0).xxx 即2201lim9(3)xxx，而所以当时，0 x 2x是3x二阶无穷小第四页，讲稿共二十六页哦证明 因为30 xxxxsintanlim)cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,

3、21 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 例1 证明：0 x 当时，tansinxx 为的三x阶无穷小所以tansinxx 为x的三阶无穷小301sin(1)coslimxxxx 30sin(1cos)limcosxxxxx 第五页，讲稿共二十六页哦二、等价无穷小代换二、等价无穷小代换(2),lim 定理(等价无穷小代换定理)证 limlimlim(3)lim 存在 lim则是同一极限过程的(1)()()()()xxxx 、无穷小；lim()limlim 第六页，讲稿共二十六页哦几个常见的等价无穷小:上述等价无穷小中的 可以是函数形式,xsin;xx211cos;

4、2xx sinxx tan x arcsin x arctan x ln(1)x 1,xxe (1)1,(0)axaxa 1 lnxaxa 当 时,0 x 但在所考虑的极限过程中,此函数的极限应为零.第七页，讲稿共二十六页哦例2解22021)2(limxxx 原原式式.8 例3 求极限201sin1lim1xxxxe 解 因为0 x11sin1sin,2xxxx 221 xex 所以有20sin 2lim.1cosxxx 求211cos,2xx sin2 2.xx0 x 当时,201sin1lim1xxxxe 201sin2limxxxx 12 第八页，讲稿共二十六页哦例4.1sin)1(li

5、m0 xxexx求求解.1,sin,0 xexxxx 时时当当xxxx)1(lim0 原原式式.1)1(lim0 xx若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,不能滥用等价无穷小代换.切记:只可对函数的乘积因子作无穷小等价代换,注意：则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换,而不会改变原式的极限对于代数和中各无穷小不能分别代换.第九页，讲稿共二十六页哦解解错例530tansinlim.sin 2xxxx 求当 时,0 x tan,sin.xxxx 30lim(2)xxxx 原式0.23012lim(2)xxxx 原式1.16 301sin(1)coslim(2)xxxx 30sin(

6、1cos)lim(2)cosxxxxx 第十页，讲稿共二十六页哦例 6 计算)()ln()ln(sinlim型型0022220 xexxexxxx 解)ln()sinln(lim112220 xxxexxe因为,时时0 x,sin)sinln(xexexx221 xx)ln(1,所以22221xexexx )ln(于是xexxexxxx2)ln()ln(sinlim2220 xxxexxe2220sinlim 1 22220ln(sin)lnlimln()lnxxxxxxeexee 原式第十一页，讲稿共二十六页哦解)()(lim0 xxx 201arcsincoslim(1arcsincos)

7、xxxxkxxxx)arcsincos1(lim2120 xxxxkx )121(21 k1 34k 当 时,与 0 x2)(kxx xxxxcosarcsin1)(_ k是等价无穷小,则例7 (0702)第十二页，讲稿共二十六页哦例8(040210)计算极限1)3cos2(1lim30 xxxx解)1ln(t t由 与 等价 得:)0(t113232 xxxexcosln)cos(原式20cos13limxxx 0 xcos13xx 16 32xxcosln第十三页，讲稿共二十六页哦三、小结三、小结1、无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.

8、2、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.第十四页，讲稿共二十六页哦练习(030104)21ln(1)0_lim(cos)xxx 解221lncosln(1)ln(1)00lim(cos)limxxxxxxe 20lncoslimln(1)xxx 20cos1limxxx 20ln(1cos1)limxxx 211ln(1)20lim(cos).xxxe 12 第十五页，讲稿共二十六页哦练习),(,sinsinlim且且不不同同时时为为零零求求 xxeexxx0解xxeexxx222110 cossinlim原原式式)cossincoss

9、in(limxxexxexxx222122210 而xxexx2cos2sin21lim0 xxx)(lim0第十六页，讲稿共二十六页哦xxexx2cos2sin21lim0 所以xxeexxx sinsinlim0 1 xxx)(lim0 第十七页，讲稿共二十六页哦任何两个无穷小都可以比较吗？思考题思考题第十八页，讲稿共二十六页哦思考题解答,1)(xxf xxxgsin)(都是无穷小量但 )()(limxfxgxxxsinlim 不存在且不为无穷大不能时时例例如如，当当 x故当 x函数)()(xgxf和和不能比较.第十九页，讲稿共二十六页哦一、填空题：1、2、3、4、_;2sin3tanli

10、m0 xxx_;)(sinarcsinlim0 nmxxx_;)21ln(lim0 xxx_;arctan1sin1lim20 xxxxx练习题练习题第二十页，讲稿共二十六页哦56 6、xaxnx1)1(lim10 =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _._;2sin2lim nnnx第二十一页，讲稿共二十六页哦7 7、当、当0 x时，时，)0(3 aaxa 对于对于x是是_阶无穷小阶无穷小.8 8、当、当0 x时，无穷小时，无穷小xcos1 与与nmx等价，等价，则则 ._,nm 第二十二页，讲稿共二十六页哦二、求下列极限axaxax tantanlim(1)xxxx30sinsintan

11、lim(2)eelim(3)xxxx sinsinlim0(4)第二十三页，讲稿共二十六页哦三、三、证明：若证明：若 ,是无穷小，则是无穷小，则)(0 .四、设四、设 f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表达式的表达式.2 2、确定、确定ba,的值的值,使得使得)1()(lim1fxfx，)1()(lim1 fxfx.第二十四页，讲稿共二十六页哦一、一、1 1、23；2 2、nmnmnm,1,0；3 3、2 2；4 4、；5 5、x；6 6、na；7 7、3 3；8 8、21,2.2.二、二、1 1、21；2 2、e；3 3、；4 4、a2sec.练习题答案第二十五页，讲稿共二十六页哦感谢大家观看第二十六页，讲稿共二十六页哦