定积分的应用讲稿.ppt

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1、第一页，讲稿共四十七页哦一、定积分应用的微元法二、用定积分求平面图形的面积三、用定积分求体积四、平面曲线的弧长第一节第一节 定积分的几何应用定积分的几何应用第二页，讲稿共四十七页哦 第一节 定积分的几何应用 用定积分计算的量的特点：(1 1)所所求求量量（设设为为 F）与与一一个个给给定定区区间间 ba,有有关关，且且在在该该区区间间上上具具有有可可加加性性.就就是是说说，F是是确确定定于于 ba,上上的的整整体体量量，当当把把 ba,分分成成许许多多小小区区间间时时，整整体体量量等等于于各各部部分分量量之之和和，即即niiFF1 .(2 2)所所求求量量 F在在区区间间 ba,上上的的分分布

2、布是是不不均均匀匀的的，也也就就是是说说，F的的值值与与区区间间 ba,的的长长不不成成正正比比.（否否则则的的话话，F使使用用初初等等方方法法即即可可求求得得，而而勿勿需需用用积积分分方方法法了了）.一、一、定积分应用的微元法定积分应用的微元法 第三页，讲稿共四十七页哦用定积分概念解决实际问题的四个步骤：第第一一步步：将将所所求求量量 F分分为为部部分分量量之之和和，即即:niiFF1;第第二二步步：求求出出每每个个部部分分量量的的近近似似值值，iF);,2,1()(nixfii 第三步：写出整体量第三步：写出整体量 F的近似值，的近似值，niiFF1iniixf)(1；第第四四步步：取取0

3、maxix时时的的iniixf)(1极极限限，则则得得 nibaiixxfxfF10d)()(lim.第四页，讲稿共四十七页哦而而第第三三、第第四四两两步步可可以以合合并并成成一一步步：在在区区间间 ba,上上无无限限累累加加，即即在在 ba,上上积积分分.至至于于第第一一步步，它它只只是是指指明明所所求求量量具具有有可可加加性性，这这是是 F能能用用定定积积分分计计算算的的前前提提，于于是是，上上述述四四步步简简化化后后形形成成实实用用的的微微元元法法.定积分应用的微元法：(一一)在在区区间间 ba,上上任任取取一一个个微微小小区区间间 xxxd,，然然后后写写出出在在这这个个小小区区间间上

4、上的的部部分分量量F的的近近似似值值，记记为为xxfFd)(d(称称为为 F的的微微元元);（二二）将将微微元元Fd在在ba,上上积积分分（无无限限累累加加），即即得得 .d)(baxxfF观观察察上上述述四四步步我我们们发发现现，第第二二步步最最关关键键，因因为为最最后后的的被被积积表表达达式式的的形形式式就就是是在在这这一一步步被被确确定定的的，这这只只要要把把近近似似式式iixf)(中中的的变变量量记记号号改改变变一一下下即即可可（i换换为为 x；ix换换为为 xd）.第五页，讲稿共四十七页哦微元法中微元的两点说明：(1 1)xxfd)(作作为为F的的近近似似值值表表达达式式，应应该该足

5、足够够准准确确，确确切切的的 说说，就就 是是 要要 求求 其其 差差 是是 关关 于于x的的 高高 阶阶 无无 穷穷 小小.即即 )(d)(xoxxfF.这这 样样 我我 们们 就就 知知 道道 了了，称称 作作 微微 元元 的的 量量 xxfd)(，实实际际上上是是所所求求量量的的微微分分 Fd;(2 2)具具体体怎怎样样求求微微元元呢呢?这这是是问问题题的的关关键键，这这要要分分析析问问题题的的实实际际意意义义及及数数量量关关系系，一一般般按按着着在在局局部部 xxxd,上上，以以“常常代代变变”、“匀匀代代不不匀匀”、“直直代代曲曲”的的思思路路（局局部部线线性性 化化），写写 出出

6、局局 部部 上上 所所 求求 量量 的的 近近 似似 值值，即即 为为 微微 元元 xxfFd)(d .第六页，讲稿共四十七页哦 1.直角坐标系下的面积计算 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.二、用定积分求平面图形的面积二、用定积分求平面图形的面积第七页，讲稿共四十七页哦O y x x x d x a b)(x f y x O y x x d x a)(x f y )(x g y b 第八页，讲稿共四十七页哦 例例 1 1 求求两两条条抛抛物物线线22,xyxy所所围围成成的的图图形形的的面面积积 .解解（1 1）画画出出图图形形简简图图（如如右右上

7、上图图）并并求求出出曲曲线线交交点点以以确确定定积积分分区区间间：O y x x x d x 1(1,1)O y x y c d()xy ()xy dyy 第九页，讲稿共四十七页哦解解方方程程组组,22xyxy得得交交点点（0 0，0 0）及及（1 1，1 1）.2d()d,xxx(3 3)将将A表表示示成成定定积积分分，并并计计算算 13123200211()d333.xxxxx第十页，讲稿共四十七页哦例例 2 2 求求xy22及及4 xy所所围围成成图图形形面面积积.解解 作作图图（如如下下图图）求求出出交交点点坐坐标标为为)4,8(),2,2(BA.观观察察图图得得知知，宜宜取取 y为为

8、积积分分变变量量，y 变变化化范范围围为为 2 2，4 4（考考虑虑一一下下，若若取取 x为为积积分分变变量量，即即竖竖条条切切割割，有有什什么么不不方方便便之之处处），于于是是得得 21d(4)d,2yyy4422322111(4)d418.226yyyyyyO y B A 4-2 y x y+dy 第十一页，讲稿共四十七页哦xy0ab第十二页，讲稿共四十七页哦 2.极坐标下的面积计算 曲曲边边扇扇形形：是是指指由由曲曲线线)(rr 及及两两条条射射线线,所所围围成成的的图图形形（如如右右下下图图）.取取 为积分变量，其变化范围为为积分变量，其变化范围为,，在微小区间，在微小区间 d,上上“

9、以常代变以常代变”，即以小扇形面积，即以小扇形面积 Ad作为小曲边扇形面积的近似作为小曲边扇形面积的近似值，于是得面积微元为值，于是得面积微元为 21d()d,2r将将Ad在在,上积分上积分,便得曲便得曲边边 扇形面积为扇形面积为 21()d.2rO x ()rr d 第十三页，讲稿共四十七页哦 例例 4 4 计算双纽线计算双纽线)0(2cos22aar所围成的所围成的图形图形的的面积（面积（如下图所示如下图所示）.解解 由由于于图图形形的的对对称称性性，只只需需求求其其在在第第一一象象限限中中的的面面积积，再再 4 4 倍倍即即可可，在在第第一一象象限限 的的变变化化范范围围为为 4,0，于

10、于是是 222440014cos2 dsin2.2aaaO a y x 4 第十四页，讲稿共四十七页哦 解解 先先求求两两线线交交点点，以以确确定定 的的变变化化范范围围，解解方方程程组组 1cos,3cos.rr 由由cos1cos3得得 21cos ，故故 3 ，考考虑虑到到图图形形的的对对称称性性，得得所所求求的的 面面积积为为 O x 2 3 3cosr 1 cosr 222303112(1 cos)d(3cos)d22例例 5 5 求求心心形形线线 1 cosr 及及圆圆cos3r所所围围成成的的阴阴影影部部分分面面积积（如如右右下下图图）.第十五页，讲稿共四十七页哦3023d)2c

11、os1(29d)22cos1cos21(23302sin21292sin41sin223.451.平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直设一物体被垂直于某直于某直线的平面所截线的平面所截的的面积面积可求，则该物体可求，则该物体可用定积分求其体积可用定积分求其体积.三、用定积分求体积三、用定积分求体积第十六页，讲稿共四十七页哦为为求求体体积积微微元元，在在微微小小区区间间 d,xxx上上视视 )(xA不不变变，即即把把d,xxx上上的的立立体体薄薄片片近近似似看看作作 )(xA为为底底，xd为为高高的的柱柱片片，于于是是得得 ,d)(dxxAV 再再在在x的的变变化化区区间间,ba上上积积分

12、分，则则得得公公式式 .d)(baxxAV不不妨妨设设上上述述直直线线为为 x轴轴，则则在在 x处处的的截截面面面面积积 )(xA是是x的的已已知知连连续续函函数数，求求该该物物体体介介于于 ax 和和 )(babx之之间间的的体体积积（如如右右下下图图）.O x y b x a()A xdxx 第十七页，讲稿共四十七页哦O y x R R a 222xyR a 解 取坐标系如图，则底圆方程为 222,xyRRRRxxRxxRV02222d)(tandtan)(21tan32)3(tan3022RxxRR.第十八页，讲稿共四十七页哦2、旋转体体积 设设 旋旋 转转 体体 是是 由由 连连 续续

13、 曲曲 线线)(xfy 和和 直直 线线)(,babxax，及及 x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕 x轴轴旋旋转转而而成成（如如下下图图），我我们们来来求求它它的的体体积积 V.在在x的变化区间的变化区间,ba内积分，得旋转体体积为内积分，得旋转体体积为 O y x b a A(x)2()().xfx.d)(2baxxfV类类似似地地，由由曲曲线线)(yx，直直线线dycy,及及 y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕 y轴轴旋旋转转，所所得得旋旋转转体体体体积积（如如下下页页左左图图）为为.d)(2dcyyV第十九页，讲稿共四十七页哦例例 7 7 求求由由星星形形线线 2223

14、33(0)xyaa 绕绕 x 轴轴旋旋转转所所成成旋旋转转体体体体积积（如如上上右右图图）.解解 由由方方程程 323232ayx O y x c d()xy y O x a-a 第二十页，讲稿共四十七页哦解解出出 2y33232)(xa ，于于是是所所求求体体积积为为 aaaxxaxyV0332322d)(2d.10532d)33(2320343232342axxxaxaaa第二十一页，讲稿共四十七页哦222d(d)(d)1 d.LMTMQQTxyyx22四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长O x a y x b A M N B x d s d Q y d ydxy T 第二十二页，讲稿共四

15、十七页哦2222d(d)(d)()()d.Lxyxxt在在x的的变变化化区区间间,ba内内积积分分，就就得得所所求求弧弧长长 221 d1()d.bbaaLyxfxx第二十三页，讲稿共四十七页哦O x a y-a 第二十四页，讲稿共四十七页哦221d1 d1(ee)d.41()dee2xxaaxxaaLyxxx第二十五页，讲稿共四十七页哦例例 1 10 0 求求摆摆线线(sin),(1 cos)xa ttyat 在在 20 t的的一一段段长长)0(a.由由于于在在2,0上上，02sint，故故这这一一拱拱摆摆线线长长为为 22002 sind4cos8.22ttLataa第二十六页，讲稿共四十

16、七页哦 思考题 1 1.什什么么叫叫微微元元法法?用用微微元元法法解解决决实实际际问问题题的的思思路路及及步步骤骤如如何何?2 2 求求平平面面图图形形的的面面积积一一般般分分为为几几步步?第二十七页，讲稿共四十七页哦一、定积分的物理应用二、经济应用问题举例第二节第二节 定积分的物理应用与经济应用举例定积分的物理应用与经济应用举例第二十八页，讲稿共四十七页哦第二节 定积分的物理应用与经济应用举例 1.功(1)变力做功 设设物物体体在在变变力力)(xF作作用用下下沿沿 x轴轴由由 a处处移移动动到到 b处处，求求变变力力)(xF所所做做的的功功.由于力由于力)(xF是变力是变力，所求功是区间，所

17、求功是区间 ,ba上非均匀分布的整上非均匀分布的整体量，故可以用定积分来解决体量，故可以用定积分来解决.利利用用微微元元法法，由由于于变变力力)(xF是是连连续续变变化化的的，故故可可以以设设想想在在微微小小区区间间 d,xxx上上作作用用力力)(xF保保持持不不变变（“常常代代变变”求求微微元元的的思思想想），按按常常力力做做功功公公式式得得这这一一段段上上变变力力做做功功近近似似值值.一、定积分的物理应用一、定积分的物理应用 第二十九页，讲稿共四十七页哦,d)(dxxFW 将将微微元元Wd从从 a到到 b求求定定积积分分，得得)(xF在在整整个个区区间间上上所所做做的的功功为为 .d)(b

18、axxFWO x x x d x a b()F x如如图图所所示示建建立立坐坐标标系系，变变力力)(xF使使物物体体从从微微小小区区间间 d,xxx的的左左端端点点x处处移移动动到到右右端端点点xxd处处，所所做做功功的的近近似似值值，即即功功微微元元为为 第三十页，讲稿共四十七页哦 例例 1 1 在原点在原点O有一个带电量为有一个带电量为+q 的点电荷，它所产生的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力的电场对周围电荷有作用力.现有一单位正电荷从距原点现有一单位正电荷从距原点 a处沿射线方向移至距处沿射线方向移至距 O点为点为 )(bab的地方，求电场力做功的地方，求电场力做功.又如果把该单

19、位电荷移至无穷远处，电场力做了多少功？又如果把该单位电荷移至无穷远处，电场力做了多少功？解解 取取电电荷荷移移动动的的射射线线方方向向为为 x轴轴正正方方向向，那那么么电电场场力力为为2xqkF（k为为常常数数），这这是是一一个个变变力力.在在d,xxx上上，以以“常常代代变变”得得功功的的微微元元为为 xxkqWdd2 于是功为.)11(1d2bababakqxkqxxkqW若移至无穷远处，则做功为.1d2akqxkqxxkqaa物物理理学学中中，把把上上述述移移至至无无穷穷远远处处所所做做的的功功叫叫做做电电场场在在 a处处的的电电位位，于于是是知知电电场场在在 a处处的的电电位位为为 a

20、kqV.第三十一页，讲稿共四十七页哦例例 2 2 设设汽汽缸缸内内活活塞塞一一侧侧存存有有定定量量气气体体，气气体体做做等等温温膨膨胀胀时时推推动动活活塞塞向向右右移移动动一一段段距距离离，若若气气体体体体积积由由 1V变变至至 2V，求求气气体体压压力力所所做做的的功功（如如下下图图）.解解 气气体体膨膨胀胀为为等等温温过过程程，所所以以气气体体压压强强为为 VCP (V气气体体体体积积，C常常数数），而而活活塞塞上上的的总总压压力力为为 ,SCVCPFQQ O S 1 S 2 S 第三十二页，讲稿共四十七页哦（Q活塞的截面积，活塞的截面积，S为活塞移动的距离，为活塞移动的距离，QSV）以以

21、 1S与与 2S表示活塞的初始与终止位置，于是得功为表示活塞的初始与终止位置，于是得功为 2121d1dSSSSSSCSFW21d1VVVVC.lnln1212VVCVCVV第三十三页，讲稿共四十七页哦(2)抽水做功 例例 3 3 一一个个底底半半径径为为 4 4 m m，高高为为 8 8 m m 的的倒倒立立圆圆锥锥形形容容器器，内内装装 6 6 m m 深深的的水水，现现要要把把容容器器内内的的水水全全部部抽抽完完，需需做做功功多多少少？解解 我我们们设设想想水水是是一一层层一一层层被被抽抽出出来来的的，由由于于水水位位不不断断下下降降，使使得得水水层层的的提提升升高高度度连连续续增增加加

22、，这这是是一一个个“变变距距离离”做做功功问问题题，亦亦可可用用定定积积分分来来解解决决.选选择择坐坐标标系系（见见下下页页图图），于于是是直直线线 AB方方程程为为421xy.在在 x的的变变化化区区间间 8,2内内取取微微小小区区间间 d,xxx，则则抽抽出出这这厚厚为为 xd的的一一薄薄层层水水所所需需做做功功的的近近似似值值为为 VxWdd（水水的的比比重重）2d.x yx 第三十四页，讲稿共四十七页哦于是功为 822dxxyW822d)24(xxx8232d)4416(xxxx28432)16348(xxx)(10638.93J (339.8 10 N/m).O x y x x d

23、x 2)4,0(B)0,8(A 第三十五页，讲稿共四十七页哦2.液体对平面薄板的压力 设设有有一一薄薄板板，垂垂直直放放在在比比重重为为 的的液液体体中中，求求液液体体对对薄薄板板的的压压力力.由物理学知道，在液体下面深度为由物理学知道，在液体下面深度为 h处，由液体重量所产处，由液体重量所产生的压强为生的压强为h，若有面积为，若有面积为 A的薄板水平放置在液深为的薄板水平放置在液深为 h处，这时薄板各处受力均匀，所受压力为处，这时薄板各处受力均匀，所受压力为PAh A，如今，如今薄板是垂直于液体中，薄板上在不同的深度处压强是不同的，薄板是垂直于液体中，薄板上在不同的深度处压强是不同的，因此整

24、个薄板所受的压力是非均匀分布的整体量因此整个薄板所受的压力是非均匀分布的整体量.下面结合具下面结合具体例子来说明如何用定积分来计算体例子来说明如何用定积分来计算.第三十六页，讲稿共四十七页哦例例 4 4 一个横放的半径为一个横放的半径为 R的圆柱形水桶，里面盛的圆柱形水桶，里面盛有半桶油，计算桶的一个端面所受的压力（设油有半桶油，计算桶的一个端面所受的压力（设油的的比重比重为为 ）.解解 桶的一端面是圆板，现在要计算当油面过圆心桶的一端面是圆板，现在要计算当油面过圆心时，垂直放置的一个半圆板的一侧所受的压力时，垂直放置的一个半圆板的一侧所受的压力.选选取取坐坐标标系系（如如下下页页图图）.圆圆

25、方方程程为为 222Ryx.取取 x为为积积分分变变量量，在在 x的的变变化化区区间间 ,0R内内取取微微小小区区间间 d,xxx，视视这这细细条条上上压压强强不不变变，所所受受的的压压力力的的近近似似值值，即即压压力力微微元元为为 22dd2d,Px Sx Rxx于是，端面所受的压力为 第三十七页，讲稿共四十七页哦2202dRPx Rxx1222220()d()RRxRx 32232022().33RRxR O y x x d x x R 第三十八页，讲稿共四十七页哦 3.转动惯量 在在刚刚体体力力学学中中转转动动惯惯量量是是一一个个重重要要的的物物理理量量，若若质质点点质质量量为为 m，到

26、到一一轴轴距距离离为为 r，则则该该质质点点绕绕轴轴的的转转动动惯惯量量为为 2.Imr现在考虑质量连续分布的物体绕轴的转动惯量问题，一般现在考虑质量连续分布的物体绕轴的转动惯量问题，一般地，如果物体形状对称，并且质量为均匀分布时，则可以用定地，如果物体形状对称，并且质量为均匀分布时，则可以用定积分来解决积分来解决.解解 选选择择坐坐标标系系（如如下下页页图图）.先求转动惯量微元先求转动惯量微元 Id，为此考虑细杆上，为此考虑细杆上 d,xxx一一段，它的质量为段，它的质量为 xlmd，把这一小段杆设想为位于，把这一小段杆设想为位于 x处的处的一个质点，它到转动轴距离为一个质点，它到转动轴距离

27、为 x，于是得微元为，于是得微元为 例例 5 5 一一均均匀匀细细杆杆长长为为 l，质质量量为为 m，试试计计算算细细杆杆绕绕过过它它的的中中点点且且垂垂直直于于杆杆的的轴轴的的转转动动惯惯量量.第三十九页，讲稿共四十七页哦.dd2xxlmI 沿沿细细杆杆从从2l到到 2l积积分分，得得整整个个细细杆杆转转动动惯惯量量为为 O y x x d x x 2l 2l32222221d.312llllmm xIxxmlll第四十页，讲稿共四十七页哦例例 6 6 计算质量为计算质量为 m，半径为，半径为 R的均匀薄板，绕过圆心与圆的均匀薄板，绕过圆心与圆板垂直的轴的转动惯量板垂直的轴的转动惯量.解解

28、选选择择坐坐标标系系（如如下下页页图图）.在区间在区间,0R上的上的 x处取一宽为处取一宽为xd的小窄圆环，因圆板的密的小窄圆环，因圆板的密度为度为2Rm，圆环面积近似于，圆环面积近似于xxd2，故其质量近似于，故其质量近似于 ,d2d222xxRmxxRm圆圆环环对对轴轴转转动动惯惯量量近近似似值值，即即转转动动惯惯量量微微元元为为 ,d2)d2(d3222xxRmxxxRmI第四十一页，讲稿共四十七页哦.242d20204232RRRmxRmxxRmIy x R x O dxx 沿沿x方方向向，从从 0积积到到 R，就就得得到到圆圆板板的的转转动动惯惯量量 第四十二页，讲稿共四十七页哦1已

29、知总产量的变化率求总产量.例例 7 7 设某产品在时刻设某产品在时刻 t总产量的变化率为总产量的变化率为 26.012100)(tttf（单单位位h）求求从从 2t到到 4t的的总总产产量量（t的的单单位位为为 h）.解解 设设总总产产量量为为)(tQ，由由已已知知条条件件)()(tft Q，则则知知总总产产量量)(tQ是是)(tf的的一一个个原原函函数数，所所以以有有 42422d)6.012100(d)(tttttf8.260)2.06100(4232ttt即即所所求求的的总总产产量量为为 2 26 60 0.8 8 单单位位.二、经济应用问题举例二、经济应用问题举例第四十三页，讲稿共四十

30、七页哦2、已知边际函数求总量函数.边边际际变变量量（成成本本、收收入入、利利润润）是是指指对对应应经经济济变变量量的的变变化化率率，如如果果已已知知边边际际成成本本求求总总成成本本，已已知知边边际际收收入入求求总总收收入入，已已知知边边际际利利润润求求总总利利润润，就就要要用用到到定定积积分分方方法法.例例 8 8 已已知知生生产产某某产产品品 x 单单位位（百百台台）的的边边际际成成本本和和边边际际收收入入分分别别为为 xxC313)(（万万元元/百百台台）xxR7)(（万万元元/百百台台）.（其其中中)(xC和和)(xR分分别别是是总总成成本本函函数数、总总收收入入函函数数）(1)(1)若

31、固定成本若固定成本1)0(C万元，求总成本函数、总收入函数和万元，求总成本函数、总收入函数和总利润函数；总利润函数；(2)产量为多少时，总利润最大？最大总利润是多少？产量为多少时，总利润最大？最大总利润是多少？第四十四页，讲稿共四十七页哦解解（1 1）总总成成本本为为固固定定成成本本与与可可变变成成本本之之和和，即即 xxxCxC0d)33()0()(这里，这里，x既是积分限，又是积分变量，容易混淆，故改写为既是积分限，又是积分变量，容易混淆，故改写为 ttCxCxd)33()0()(026131xx 总总收收入入函函数数为为 xxxttRxR02217d)7()0()(因为产量为零时，没有收入，所以因为产量为零时，没有收入，所以0)0(R）第四十五页，讲稿共四十七页哦总利润为总收入与总成本之差，故总利润总利润为总收入与总成本之差，故总利润L为为 )6131()217()()()(22xxxxxCxRxL.32412xx(2 2)由由于于xxL344)(，令令0344x，得得惟惟一一驻驻点点 3x.根根据据该该题题实实际际意意义义知知，当当 3x百百台台时时，)(xL有有最最大大值值，即即最最大大利利润润为为 5332341)3(2L（万万元元）.第四十六页，讲稿共四十七页哦感谢大家观看第四十七页，讲稿共四十七页哦