指数成长与衰减课件.ppt

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1、指数成长与衰减第1页，此课件共35页哦5.6 指數成長與衰減指數成長與衰減學習目標 以指數成長與衰減作為實際生活的模型。P.5-38第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第2页，此课件共35页哦指數成長與衰減指數成長與衰減 本節將學習如何去建立指數成長與衰減的模型。實際生活中牽涉到指數成長與衰減的狀況就是物質或人口數量，即在任一時間 t的變化率正比於當時的物質數量。譬如，放射性物質的衰減率是正比於當時放射性物質的數量。這種關係可以最簡單的形式來表示，如以下的方程式。P.5-38第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第3页，此课件共35页哦指數成長與衰減指數成長與衰減P.5-38第五章指數與

2、對數函數第五章指數與對數函數 在上式中 k 為常數，而 y 為 t 的函數，下面即為此方程式的解。第4页，此课件共35页哦指數成長與衰減指數成長與衰減（證明）（證明）P.5-38第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數 因為 y 的變化量與 y 成正比，所以顯然 y Cekt 為方程式的解，因為對 y 微分可得 dy/dt kCekt，再代入方程式也得dykydt()ktktdykCek Cekydt第5页，此课件共35页哦學習提示學習提示 在模型 y Cekt 中，C 稱為起始值，因為當 t 0 時，y Cek(0)C(1)C。P.5-38第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第6页，此课

3、件共35页哦應用應用 放射性物質的衰減是以半衰期半衰期(half-life)來測量，即放射性物質樣本中原子數減半所需的時間。常見放射性同位素的半衰期如下所列鈾(238 U)4,470,000,000 年鈽(239 Pu)24,100 年碳(14 C)5,715 年鐳(226 Ra)1,599 年鑀(254 Es)276 天鍩(257 No)25 秒P.5-39第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第7页，此课件共35页哦範例 1放射性物質衰減的模型 某樣本中有 1 公克的鐳，試問 1000 年後的鐳殘留物是否多於 0.5 公克？P.5-39第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第8页，此课

4、件共35页哦範例 1放射性物質衰減的模型（解）令 y 表示在樣本中的鐳物質(公克)。因為衰減率正比於 y，所以應用指數衰減律可知 y 的形式為 y Cekt，其中 t 為時間(年)。已知當 t 0 時 y 1，代入模型可得1 Cek(0)以 1 代入 y，0 代入 t因此 C 1。因為鐳的半衰期為 1599 年，所以當 t 1599 時y 1/2，再代入模型即可解得 k。P.5-39第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第9页，此课件共35页哦範例 1放射性物質衰減的模型（解）所以 k 0.0004335，故指數衰減模型為 y e0.0004335t。若要求1000 年後的鐳殘留量，將 t

5、1000 代入模型，經計算可得y e0.0004335(1000)0.648 公克即，1000 後仍有超過 0.5 公克的鐳，此模型的圖形如圖 5.18 所示。P.5-39第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數()1 211 1151599 9922 1/2 ln1599 ln 1 5991599 ktkyeekkyt指數衰減模型以代入，代入 等號兩邊取自然對數等號兩邊同除以 第10页，此课件共35页哦範例 1放射性物質衰減的模型（解）P.5-39 圖圖5.18第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第11页，此课件共35页哦檢查站檢查站 1 1 以範例 1 的模型來計算 1 公克樣本的鐳衰

6、減為 0.4 公克時所需的時間。P.5-39第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第12页，此课件共35页哦應用應用 請注意，不必像範例 1 使用近似的 k 值，直接在模型中代入 k的正確值可得這個公式清楚地顯示半衰期：當 t 1599，y 值為 1/2，當t 2(1599)，y 值為 ，以此類推。P.5-39第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數(/1599)(/1599)ln(1/2)12ttye14第13页，此课件共35页哦應用應用P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第14页，此课件共35页哦範例 2數量成長的模型 研究指出，果蠅數量的增加是服從指數成長模型。兩天後有

7、 100隻，四天後有 300 隻果蠅，則 5 天後有幾隻果蠅？P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第15页，此课件共35页哦範例 2數量成長的模型（解）令 y 為果蠅在時間 t 的數量。已知當 t 2 時，y 100 和當t 4 時，y 300，代入模型 y Cekt 得100 Ce2k和300 Ce4k若要解 k，先解出第一方程式中的 C，再代入第二方程式。P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第16页，此课件共35页哦範例 2數量成長的模型（解）P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數44222 300100 300 300 ln32 1ln3 1

8、00/10 20kkkkkCeeeeCkekk 第二方程式以代入等號兩邊同除以等號兩邊同取自然對數解第17页，此课件共35页哦範例 2數量成長的模型（解）因為 ，可得 C 100/e2(0.5493)33。即指數成長模型為y 33e0.5493t如圖 5.19 所示。所以，5 天後果蠅的數量有y 33e0.5493(5)514 隻P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數12ln30.5493k 第18页，此课件共35页哦範例 2數量成長的模型（解）P.5-40 圖圖5.19第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第19页，此课件共35页哦 範例 2 的計算過程可參考本章代數複習範例

9、 1(c)。P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數代數技巧第20页，此课件共35页哦檢查站檢查站 2 2 如果果蠅數量兩天後有 100隻，四天後有 400隻，求其指數成長模型。P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第21页，此课件共35页哦範例 3複利的模型 在以連續複利計算的銀行帳戶存入一筆錢，若帳戶餘額在 6 年後增值為兩倍，試問其年利率為何？P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第22页，此课件共35页哦範例 3複利的模型（解）以連續複利計算的銀行帳戶餘額 A 可表示為指數成長模型A Pert 指數成長模型指數成長模型其中 P 為原始存款值，r

10、為年利率(以小數表示)且t 為時間(年)。已知 t 6 時，A 2P，如圖 5.20 所示，即可解得 r。P.5-40第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第23页，此课件共35页哦範例 3複利的模型（解）P.5-40 圖圖5.20第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第24页，此课件共35页哦範例 3複利的模型（解）所以，年利率為或者大約 11.55%。P.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數()6 166 2 ln26 ln2 22 66 rtrtPPAAPeetPerPr 指數成長模型以代入，代入 等號兩邊同除以等號兩邊同取自然對數等號兩邊同除以16ln2 0.1155r

11、 第25页，此课件共35页哦檢查站檢查站 3 3 已知以連續複利計算的帳戶餘額在 8 年後恰增值為兩倍，求年利率。P.5-51第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第26页，此课件共35页哦應用應用 本節的例子都是使用以 e 為底數的指數成長模型，此模型其實可以任意數為底數。換言之，模型y Cabt也可以是指數成長模型(因為該模型可寫成 y Ce(ln a)bt)。在某些實際生活的例子，不以 e 為底數反而較方便。P.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第27页，此课件共35页哦應用應用 譬如在範例 1 中，因為鐳的半衰期是 1599 年，所以指數衰減模型可寫成根據此模型，樣本中

12、的鐳的同位素數量在 1000 年後剩下也吻合範例 1 的結果。/159912tyP.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數1000/159910.6482y公克第28页，此课件共35页哦學習提示學習提示 是否可立即看出範例 1 中放射性物質衰減的模型為？注意：當t 1599 時，y 值為 1/2，當t 3198 時，y 值為 1/4，以此類推。P.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數/159912ty第29页，此课件共35页哦範例 4銷售量模型化 在停止全國性電視廣告後的四個月，某製造商發現 MP3 的銷售量從100,000 台減為 80,000 台。若銷售量是以指數衰減

13、來變化，再過四個月後的銷售量為何？P.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第30页，此课件共35页哦範例 4銷售量模型化（解）令 y 為 MP3 的銷售量，t 為時間(月)，並考慮指數衰減模型y Cekt 指數衰減模型指數衰減模型從已知條件可知當 t 0 時，y 100,000，即100,000 Ce0P.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第31页，此课件共35页哦範例 4銷售量模型化（解）所以 C 100,000。若要解 k，則須利用當 t 4 時，y 80,000 的條件，所以P.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數(4)100,000100,000

14、0.8 ln0.84 1 ln0.8800,000800,000 4100,0004 4ktkyeeekykt 指數衰減模型以代入，代入等號兩邊同除以等號兩邊同取自然對數等號 兩邊同除以 第32页，此课件共35页哦範例 4銷售量模型化（解）則 ，所以此模型為y 100,000e0.0558t再過四個月(t 8)，銷售量將衰減為y 100,000e0.0558(8)64,000 台 MP3如圖 5.21 所示。P.5-41第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數14ln0.80.0558k 第33页，此课件共35页哦範例 4銷售量模型化（解）P.5-41 圖圖5.21第五章指數與對數函數第五章指數與對數函數第34页，此课件共35页哦檢查站檢查站 4 4 根據範例 4 的模型，請問 MP3 的銷售量何時會掉到 50,000 台？P.5-42第35页，此课件共35页哦