定积分在几何上的应用讲稿.ppt

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1、第一页，讲稿共二十七页哦表示为niiixfU10)(lim1)所求量 U 是与区间a,b上的某函数 f(x)有关的2)U 对区间 a,b 具有可加性,即可通过“分割分割,近似近似,求和求和,取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义一个整体量;第二页，讲稿共二十七页哦第一步第一步 利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法成为元素法元素法(或微元法微元法)近似值精确值第三页，讲稿共二十七页哦四、四、旋转体的侧面积旋转体的侧面积三、已知平行截面面积函数的三、已

2、知平行截面面积函数的 立体体积立体体积一、一、平面图形的面积平面图形的面积二、二、平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第四页，讲稿共二十七页哦1.直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(边梯形面积为 A,右图所示图形面积为 yobxa)(2xfy)(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd第五页，讲稿共二十七页哦xxy22oy4 xyxy22与直线的面积.解解:由xy224 xy得交点)4,8(,)2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图

3、形)2,2(221yy442361y为简便计算,选取 y 作积分变量,则有yyyd42A第六页，讲稿共二十七页哦abxoyx12222byax解解:利用对称性,xyAdd所围图形的面积.有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a=b 时得圆面积公式xxd第七页，讲稿共二十七页哦)cos1(,)sin(tayttax)0(a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.)cos1(tadA解解:ttad)cos1(ttad)cos1(2022ttad2sin42042)2(tu 令

4、uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Axyoa2第八页，讲稿共二十七页哦,0)(,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积.)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A 第九页，讲稿共二十七页哦对应 从 0 变解解:)0(aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a到 2 所围图形面积.第十页，讲稿共二十七页哦2coscos21)2cos1(21aa2oxyd)cos1(2122a与圆所围图形的面积.解解:利用对称性,)0()cos1(aa

5、r2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2第十一页，讲稿共二十七页哦定义定义:若在弧 AB 上任意作内接折线,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧 AB 的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.ni 10lims则称第十二页，讲稿共二十七页哦sdyxabo)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分):xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs第十三页，讲稿共二十七页

6、哦)()()(ttytx弧长元素(弧微分):因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs第十四页，讲稿共二十七页哦)()(rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分):第十五页，讲稿共二十七页哦ttyxdcos2解解:,0cos x22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4第十六页，讲稿共二十七页哦)cos1()sin(tayttax)0(a一拱)20(t的弧长.解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1

7、(22tata22sintdttad)cos1(2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2第十七页，讲稿共二十七页哦设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,第十八页，讲稿共二十七页哦xyoabxyoab)(xfy 2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时,有轴绕xbxaxfy)()(xdbxaV 当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddycV xxoy)(yxcdy第十九页，讲稿共二

8、十七页哦a2柱壳体积xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积xyxd2)cos1()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1(ta22td02第二十页，讲稿共二十七页哦并与底面交成 角,222Ryx解解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.oRxyx第二十一页，讲稿共二十七页哦xyoab设平面光滑曲线,)(1baCxfy求上的圆台的侧面积位于d,xxxsySd2d积分后

9、得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abx第二十二页，讲稿共二十七页哦xyo)(xfy abxsySd2d侧面积元素xyd2sddx2dy x的线性主部.若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的)(2ttttd)()(22S侧面积为第二十三页，讲稿共二十七页哦xRyo上绕在,21222RRxxxRyxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S.解解:对曲线弧,2122xxxxRy应用公式得212xxS22x

10、R 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高 h2R 时,得球的表面积公式24 RS1x2xozyx第二十四页，讲稿共二十七页哦一周所得的旋转体的表面积 S.解解:利用对称性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32绕 x 轴旋转 taytax33sin,cos第二十五页，讲稿共二十七页哦1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意:求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A第二十六页，讲稿共二十七页哦baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴:4.旋转体的侧面积sySd2d侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)yxxA2)(绕 y 轴:(柱壳法)(xyy,)(轴旋转绕xxyy 第二十七页，讲稿共二十七页哦