排队论基础及模型 (2)课件.ppt

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1、排队论基础及模型排队论基础及模型1第1页，此课件共82页哦学习内容学习内容大纲内容知识要点基本概念排队系统泊松分布、负指数分布排队系统排队系统的一般指标排队模型的运用M/M/1、M/M/C排队问题的仿真Excel 仿真第2页，此课件共82页哦引导案例引导案例-1 银行排队系统银行排队系统第3页，此课件共82页哦引导案例引导案例-2 医院排队系统医院排队系统第4页，此课件共82页哦形形色色的排队系统形形色色的排队系统达到的顾客要求服务的内容服务的机构出故障的机器修理技工病人电话呼叫进港货船入水库河水达到机场上空的飞机刑事案件达到路口的车辆来犯敌机修理领取修配零件诊断（或治疗）通话装（卸）货放水、

2、调整水位降落侦破通过路口截击修理技工发放修配零件的管理员医生（或治疗设备）交换台装（卸）货码头（泊位）水闸、管理员跑道刑侦部门交通信号灯我防空部队第5页，此课件共82页哦为什么会出现排队现象？为什么会出现排队现象？假定每小时平均有假定每小时平均有4位顾客到达，服务人员为每位顾客的平均位顾客到达，服务人员为每位顾客的平均服务时间为服务时间为15分钟。如果顾客到达的间隔时间正好是分钟。如果顾客到达的间隔时间正好是15分钟，而服务分钟，而服务人员为每位顾客的服务时间也正好是人员为每位顾客的服务时间也正好是15分钟，那么，就只需要一名服务分钟，那么，就只需要一名服务人员，顾客也根本用不着等待。人员，顾

3、客也根本用不着等待。在以下情况将出现排队现象：在以下情况将出现排队现象：平均到达率高于平均服务率平均到达率高于平均服务率 顾客到达的间隔时间不一样（随机）顾客到达的间隔时间不一样（随机）服务时间不一样（随机）服务时间不一样（随机）顾客离开顾客顾客排队服务设施第6页，此课件共82页哦到达数量时 间普通能力排队问题并不是系统的固定状态，它与系统设计与管理的控制有很大关系。如快餐店只允许很短的队长，也可为特定的顾客留出特定的时间段；也可以通过使用更快的服务人员、机器或采用不同的设施布局和政策来影响顾客的到达时间和服务时间。第7页，此课件共82页哦1 排队论的基本问题排队论的基本问题1.1 排队论的主

4、要研究内容排队论的主要研究内容 数量指标数量指标u研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统的基本运行特征。特征，了解系统的基本运行特征。统计推断统计推断u检验系统是否达到平稳状态；检验顾客达到间隔的独立检验系统是否达到平稳状态；检验顾客达到间隔的独立性；确定服务时间分布及参数。性；确定服务时间分布及参数。系统优化系统优化u系统的最优设计和最优运营问题。系统的最优设计和最优运营问题。第8页，此课件共82页哦1.2 排队论的经济含义排队论的经济含义 排队问题的核心问题实际上就是对不排队问题的核心问题实际上就是对不同因素做

5、权衡决策。管理者必须衡量同因素做权衡决策。管理者必须衡量为提供更快捷的服务（如更多的车道、为提供更快捷的服务（如更多的车道、额外的降落跑道、更多的收银台）而额外的降落跑道、更多的收银台）而增加的成本和相应的等待造成的费用增加的成本和相应的等待造成的费用之间的关系。之间的关系。第9页，此课件共82页哦服务成本与等待成本的权衡（成本效益平衡）服务成本与等待成本的权衡（成本效益平衡）总成本成本最佳能力等待成本服务成本最小值排队分析的目的是使顾客等待成本与服务能力成本这两项成本之和最小第10页，此课件共82页哦2 排队论概述排队论概述2.1 基本概念基本概念 概念概念u在队列中，等待服务的顾客（在队列

6、中，等待服务的顾客（customer）和服务台（）和服务台（server）就构成了一个排队系统（就构成了一个排队系统（queuing system）。）。本质本质u研究服务台与顾客之间服务与接收服务的效率问题。研究服务台与顾客之间服务与接收服务的效率问题。总体目标总体目标u以最少的服务台满足最多的客户需求。以最少的服务台满足最多的客户需求。第11页，此课件共82页哦2.2 排队系统的一般形式排队系统的一般形式 排队可以是有形的队列，也可以是无形的队列。排队可以是人，也可以是物。顾客源排队结构服务机构顾客到来排队规则服务规则顾客离去服务系统第12页，此课件共82页哦3 排队问题的特征排队问题的特

7、征 总体来源总体来源 到达与服务模式到达与服务模式 排队纪律（服务顺序）排队纪律（服务顺序）服务员数量（通道）服务员数量（通道）第13页，此课件共82页哦有限顾客源例如：公司只有三台机器时，需要维修的数量潜在顾客数量无限顾客源例如：排队等候公共汽车的乘客人数3.1 总体来源总体来源 分析排队问题所用方法取决于潜在顾分析排队问题所用方法取决于潜在顾客数量是否有限。客数量是否有限。本章讨论的重点第14页，此课件共82页哦3.2 顾客到达与服务模式顾客到达与服务模式 常用的模型常用的模型假定假定顾客到达速度服从顾客到达速度服从泊泊松分布松分布，服务时间服从，服务时间服从指数分布指数分布。第15页，此

8、课件共82页哦3.2.1 泊松分布泊松分布 定义：设定义：设 N（t）为时间）为时间 0，t 内达到系统的顾内达到系统的顾客数，如果满足下面三个条件：客数，如果满足下面三个条件：u平稳性：在平稳性：在 t，t+t 内有一个顾客达到的概率与内有一个顾客达到的概率与t无关；无关；u独立性：在任意两个不相交时间区间内顾客达到相互独立；独立性：在任意两个不相交时间区间内顾客达到相互独立；u普通性：在普通性：在 t，t+t内多于一个顾客达到的概率极小，为内多于一个顾客达到的概率极小，为 (t)，可以忽略。，可以忽略。则称则称 N（t），），t 0 为为Poisson 过程，其对应的过程，其对应的分布为泊

9、松分布（分布为泊松分布（Poisson 分布）。分布）。第16页，此课件共82页哦泊松分布的形式泊松分布的形式相对频度0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.200.180.160.140.120.100.080.060.040.020.00泊松分布（比率）每单位时间顾客数图 泊松分布第17页，此课件共82页哦泊松分布的概率密度函数泊松分布的概率密度函数()()!nTTT eP nnTn：单位时间段；:到达率：单位时间段内到达的人数 如果一个系统的平均到达率是每分钟有3个顾客到达（=3），求1分钟内有5个人到达的概率(5,1)nT53 15331(3 1)3(5)2.025

10、0.1015!120eePe 第18页，此课件共82页哦3.2.2 指数分布指数分布 当顾客以完全随机的方式到达服务实当顾客以完全随机的方式到达服务实施时，相邻到达间隔时间服从指数分施时，相邻到达间隔时间服从指数分布，但布，但平均到达率不变平均到达率不变；随机服务时间服从指数分布，但随机服务时间服从指数分布，但平均平均服务率不变服务率不变；第19页，此课件共82页哦（负）指数分布的形式（负）指数分布的形式图 负指数分布指数分布（时间）相对频率0时间第20页，此课件共82页哦（负）指数分布的概率密度函数（负）指数分布的概率密度函数tf(t)et：单位时间段内到达的顾客数量：时间间隔第21页，此课

11、件共82页哦（1）（2）（3）t（分钟）下一个顾客在大于等于t分钟内到达的概率下一个顾客在小于等于t分钟内到达的概率01.0000.50.610.391.00.370.631.50.220.782.00.140.861备注：设 表 下一个到达的顾客的时间间隔的概率第22页，此课件共82页哦3.2.3 泊松分布和指数分布的关系泊松分布和指数分布的关系 泊松分布与指数分布可以互相推导得泊松分布与指数分布可以互相推导得到。泊松分布的期望值和方差相等，到。泊松分布的期望值和方差相等，都为都为；指数分布期望值为；指数分布期望值为1/,方差方差为为1/2。相邻顾客到达相邻顾客到达时间间隔时间间隔服从指数分

12、布，服从指数分布，单位单位时间段内时间段内到达的顾客数服从泊松到达的顾客数服从泊松分布。分布。第23页，此课件共82页哦3.3 排队纪律排队纪律/排队规则排队规则/服务顺序服务顺序 排队规则的排队规则的3种类型种类型 损失制 等待制排队规则混合制第24页，此课件共82页哦等待制的四种类型等待制的四种类型最短处理时间SPT随机服务RS后到先服务LCFS先到先服务FCFS第25页，此课件共82页哦3.4 服务员数量服务员数量 排队系统中的常见变形排队系统中的常见变形Title in here多通道单阶段Title in here单通道多阶段Title in here单通道单阶段Title in h

13、ere多通道多阶段排队系统第26页，此课件共82页哦排队系统的四种变形排队系统的四种变形-1单通道多阶段 服务台单通道，单阶段 排队单通道、单阶段排队系统单通道、多阶段排队系统 排队 服务台 服务台第27页，此课件共82页哦多通道单阶段多通道多阶段多通道、单阶段排队系统多通道、多阶段排队系统排队系统的四种变形排队系统的四种变形-2第28页，此课件共82页哦4 排队模型排队模型4.1 排队问题的一般表达方式排队问题的一般表达方式 一般形式：一般形式：X/Y/CuX 顾客相继达到顾客相继达到时间间隔时间间隔的概率分布；的概率分布；uY 服务时间的概率分布；服务时间的概率分布；uC服务台的个数；服务

14、台的个数；第29页，此课件共82页哦4.2 一些特殊排队模型一些特殊排队模型模型分布服务阶段顾客源到达分布排队规则服务时间分布队列长度典型例子模型表示1单通道 单一无限泊松 FCFS指数无限只有一个出口的收费桥M/M/12单通道 单一无限泊松 FCFS常数无限游乐园的过山车M/G/13多通道 单一无限泊松 FCFS指数无限银行柜台服务M/M/C4多通道 单一有限泊松 FCFS指数无限工厂里故障机器的维修指数分布常数分布第30页，此课件共82页哦4.3 模型符号定义（无限顾客源）模型符号定义（无限顾客源）符号代表顾客到达速度（到达率）；1/代表相邻到达平均时间间隔,u服务速度（服务率）；1/代表

15、平均服务时间系统利用率，即到达率与服务率的比值Lq等候服务的顾客平均数Ls系统中的顾客平均数（正在等候的正在接受服务的）Wq顾客排队等候的平均时间Ws顾客在系统中花费的平均时间（排队等候时间服务时间）r正在接受服务的顾客平均数n系统中的平均顾客数C服务台（通道）数量P0系统0个顾客概率Pn系统有n个顾客的概率Lmax队列中等候的最大期望值第31页，此课件共82页哦 系统利用率系统利用率 正在接受服务的顾客平均数正在接受服务的顾客平均数 系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数系统中等待的平均顾客数系统中等待的平均顾客数 顾客平均逗留时间顾客平均逗留时间顾客平均等待时间顾客平均等待时间rssLWuq

16、sqsLLWLr1LqWqWsu1LsWsu4.4 模型参数计算模型参数计算-1（M/M/1）01P(1)(1)nnPn 第32页，此课件共82页哦三种重要的关系三种重要的关系“管道原理管道原理”:u稳定系统中平均输出稳定系统中平均输出=平均输入（率）平均输入（率）=时间的可加性时间的可加性u在系统中逗留的时间等于服务时间加排队在系统中逗留的时间等于服务时间加排队 利特尔法则利特尔法则1WsWqussLWqqLWLW第33页，此课件共82页哦4.4 模型参数计算模型参数计算-2（M/G/1）系统利用率系统利用率 正在接受服务的顾客平均数正在接受服务的顾客平均数 系统中等待的平均顾客数系统中等待

17、的平均顾客数 系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数 顾客平均逗留时间顾客平均逗留时间 顾客平均等待时间顾客平均等待时间1CC，L sL qr22()qLu uLqWqLsWsr常数服务时间能将系统的平均顾客数砍掉一半第34页，此课件共82页哦4.4 模型参数计算模型参数计算-3（M/M/C）-1 系统利用率系统利用率 正在接受服务的顾客平均数正在接受服务的顾客平均数 系统中等待的平均顾客数系统中等待的平均顾客数 系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数 顾客平均逗留时间顾客平均逗留时间 顾客平均等待时间顾客平均等待时间CL sL qr02!(1)cqrLpcLqWqLsWsr第35页，此课件共82

18、页哦4.4 模型参数计算模型参数计算-3（M/M/C）-21100!(1)nccnrrPncnP 0!nrpn(0)nc01!nncr pccg()nc第36页，此课件共82页哦例例1 一个码头，设待卸货船到达时间间隔服从负一个码头，设待卸货船到达时间间隔服从负指数分布，平均到达指数分布，平均到达 2 艘艘/小时；服务台是小时；服务台是1台台吊车，卸货时间服从负指数分布，平均每吊车，卸货时间服从负指数分布，平均每 20 分分钟可卸一艘货船，当被占用时，新到货船只钟可卸一艘货船，当被占用时，新到货船只能停在码头等待。求在平稳状态下码头上货能停在码头等待。求在平稳状态下码头上货船的平均数；等待卸货

19、船只的平均数；每艘船的平均数；等待卸货船只的平均数；每艘货船在码头的平均停留时间；货船平均需等货船在码头的平均停留时间；货船平均需等待多长时间可以开始卸货。待多长时间可以开始卸货。第37页，此课件共82页哦解：解：这是一个典型的这是一个典型的M/M/1排队排队问题问题213r260320u 22()3 2sLu艘24233qsLLr(艘)423()23LqWq小时21()2LsWs小时第38页，此课件共82页哦例例2 某医院手术室根据病人就诊和完成手某医院手术室根据病人就诊和完成手术时间的记录，任意抽查术时间的记录，任意抽查100个工作个工作小时，每小时来就诊的病人数小时，每小时来就诊的病人数

20、n的出的出现次数如表现次数如表6所示。又任意抽查了所示。又任意抽查了100个完成手术的病例，所用时间个完成手术的病例，所用时间t出现出现的次数如下表所示。试分别用公式、的次数如下表所示。试分别用公式、excel和仿真求解：和仿真求解：第39页，此课件共82页哦 到达病人数 n出现次数 f n0101282293164105661合计100到达病人数为病人完成手术时间t/小时出现次数 ft 0.00.2380.20.4250.40.6170.6 1.890.81.061.01.251.20合计100手术时间第40页，此课件共82页哦解：解：这也是一个这也是一个M/M/1排队排队问题问题（1）计算

21、平均到达率）计算平均到达率2.1(/)100nnf人 时 平均手术时间0.4()100ttfT 时/人 平均服务率12.5()0.4u 人/时第41页，此课件共82页哦（2）取）取=2.1，=2.5，通过统计检验方法认为病，通过统计检验方法认为病人到达数服从参数为人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手术时的泊松分布，手术时间服从参数为间服从参数为2.5的指数分布。的指数分布。（3）服务设备利用率2.10.842.5 这说明服务机构（手术室）有84%的时间是繁忙的（被利用），有16%的时间是空闲的。第42页，此课件共82页哦0.84ru2.12.5u 2.15.25()2.5 2.1sLu人5.

22、250.844.41qsLLr(人)4.412.1()2.1LqWq小时5.252.5()2.1LsWs小时（4）依次带入公式，算出各指标得：第43页，此课件共82页哦单通道仿真视频单通道仿真视频第44页，此课件共82页哦排队系统仿真软件排队系统仿真软件Flexsim-1 Flexsim是建立在系统理论、控制理是建立在系统理论、控制理论、数理统计、信息技术和计算机技论、数理统计、信息技术和计算机技术等理论基础之上的仿真软件，它是术等理论基础之上的仿真软件，它是系统模型规范化和数字化相结合的过系统模型规范化和数字化相结合的过程。程。第45页，此课件共82页哦排队系统仿真软件排队系统仿真软件Fle

23、xsim-2 Flexsim在排队系统中的应用主要是利用仿真模型在排队系统中的应用主要是利用仿真模型来研究排队系统，首先通过仿真模型的运行，便来研究排队系统，首先通过仿真模型的运行，便于更好的观测排队系统过程中出现的一系列复杂于更好的观测排队系统过程中出现的一系列复杂变化和动态过程；其次通过仿真模型稳定后的相变化和动态过程；其次通过仿真模型稳定后的相关值与排队系统理论值的比较，得出他们的值正关值与排队系统理论值的比较，得出他们的值正好相等。好相等。Flexsim在排队系统中的应用有助于我们进一步在排队系统中的应用有助于我们进一步理解排队系统的相关概念和加深对排队系统的理解排队系统的相关概念和加

24、深对排队系统的全面认识，从而对改进排队系统做出正确的举全面认识，从而对改进排队系统做出正确的举措。措。第46页，此课件共82页哦单通道单通道Excel求解求解第47页，此课件共82页哦例例3-1 Robot公司在全美经营把加油和汽车冲洗合并在一公司在全美经营把加油和汽车冲洗合并在一起的业务。起的业务。Robot公司对加满油的车辆提供免费冲公司对加满油的车辆提供免费冲洗，对于不加油只冲洗的车收费洗，对于不加油只冲洗的车收费0.5美元。以往的经验美元。以往的经验表明：加油并且洗车的顾客数和单独洗车的顾客数大致相表明：加油并且洗车的顾客数和单独洗车的顾客数大致相等。平均加一次油可盈利等。平均加一次油

25、可盈利0.7美元，洗一次车的成本是美元，洗一次车的成本是0.1美元，公司每天营业美元，公司每天营业14小时。小时。Robot有三档功率和清洗组合不同的设备。选择有三档功率和清洗组合不同的设备。选择I档功率档功率时，可以每时，可以每5分钟洗分钟洗1辆车，每天的成本是辆车，每天的成本是12美元。美元。II档功率高于档功率高于I档，每档，每4分钟洗分钟洗1辆车，但每天的成本是辆车，但每天的成本是16美元；选择美元；选择III档功率时，每洗档功率时，每洗1辆车需辆车需3分钟，但每天分钟，但每天的成本是的成本是22美元。美元。第48页，此课件共82页哦例例3-2 Robot公司估计，每个顾客洗公司估计，

26、每个顾客洗1辆车不辆车不愿等待的时间不超过愿等待的时间不超过5分钟，若等待分钟，若等待的时间过长，公司将失去顾客。的时间过长，公司将失去顾客。若估计每小时有若估计每小时有10名顾客前来洗车，名顾客前来洗车，那么该选择哪档功率的设备？那么该选择哪档功率的设备？第49页，此课件共82页哦解：解：这是一个典型的这是一个典型的M/G/1排队排队问题问题（1）选择功率）选择功率I时时22102.08333(2()2 12(12 10)qLu u小时)10112r1012u 顾客平均等待时间2.083330.208()10LqWq小时，即12.5(分钟)第50页，此课件共82页哦（2）选择功率）选择功率I

27、I时时22100.667(2()2 12(15 10)qLu u小时)10115r1015u 顾客平均等待时间0.6670.0667()10LqWq小时，即4(分钟)如果等待时间是唯一标准，则应选择功率II的设备，但在我们做出最后结论之前，还必须看一下二者的利润差异。第51页，此课件共82页哦(3)对于功率对于功率I，由于等待时间为，由于等待时间为12.5分钟，部分分钟，部分顾客会放弃接受服务。尽管这将使数学分析顾客会放弃接受服务。尽管这将使数学分析复杂化，我们仍可以估计出选择功率复杂化，我们仍可以估计出选择功率I时营时营业额的减少量。我们可以通过假设业额的减少量。我们可以通过假设Wq=5分分

28、钟（钟（1/12小时），并从中解得小时），并从中解得 ，这将是最有，这将是最有效的顾客到达率。效的顾客到达率。2/2()2()Lqu uWqu u2212()(12)2128(/)11212()(12)12qqW uW u人 小时第52页，此课件共82页哦 因此，既然 的最初估计是10人/小时，则每小时将失去2名顾客。每天的损失(S)：12 14(0.70.4)15.4(/)2S 美元 天 而选择功率II，成本只增加了4美元/天，显然，相比较于损失的15.4美元，我们都会选择功率II设备。功率II能满足最初设定的5分钟等待最大限度，因而功率III可不予考虑，除非 变大。第53页，此课件共82页

29、哦例例4 Disneyland乐园中的排队乐园中的排队在游乐园中的频频排队会极为扫兴，在游乐园中的频频排队会极为扫兴，Disneyland中中的的FastPass(QuickPass)系统就是想解决这个问题系统就是想解决这个问题的。其工作原理如下：的。其工作原理如下：u 到达的顾客将自己的票插入到达的顾客将自己的票插入FastPass的的slot中；中；u FastPass计算出建议顾客返回的时间间隔或时间点或时计算出建议顾客返回的时间间隔或时间点或时间窗；间窗；顾客无需排队，在指定的时间返回就可持票进入。顾客无需排队，在指定的时间返回就可持票进入。第54页，此课件共82页哦思考思考Quick

30、Pass对排队系统的那些特征参对排队系统的那些特征参数做了改变？数做了改变？改变顾客到达模式，是如何影响系改变顾客到达模式，是如何影响系统绩效？统绩效？第55页，此课件共82页哦解：解：泊松分布到达常数分布到达平均达到率11人/分钟11人/分钟平均服务率12人/分钟12人/分钟排队长度5.040系统队长5.960平均排队时间0.460系统利用率91.70%91.70%第56页，此课件共82页哦Disneyland问题解决了吗？问题解决了吗？如果游客不按时间返回？如果游客不按时间返回？是否让游客等待时间太久了？是否让游客等待时间太久了？过山车是按时间开还是人数一够就开？过山车是按时间开还是人数一

31、够就开？http:/www.stanford.edu/yaoxie/Pubs_2.htm第57页，此课件共82页哦例例5 某售票所有三个窗口，顾客的到达服从泊松某售票所有三个窗口，顾客的到达服从泊松分布，平均到达速率分布，平均到达速率 =0.9人人/min；售票时间；售票时间服从负指数分布，平均服务速率服从负指数分布，平均服务速率=0.4人人/min。现设顾客到达后排成一队，依次向空闲的窗现设顾客到达后排成一队，依次向空闲的窗口购票，如图所示。试分别用公式、口购票，如图所示。试分别用公式、excel和和仿真求解：仿真求解：u(1)整个售票所空闲概率整个售票所空闲概率u(2)平均队列长和平均队长

32、平均队列长和平均队长u(3)平均等待时间和逗留时间平均等待时间和逗留时间u(4)顾客到达后必须等待的概率（顾客到达后必须等待的概率（n3)第58页，此课件共82页哦顾客到达和服务图顾客到达和服务图第59页，此课件共82页哦解：解：这是一个典型的这是一个典型的M/M/C 排队排队问题问题0.90.7513 0.4C0.90.4u(1)整个售票所空闲概率0.92.250.4r1100!(1)nccnrrPnc012312.252.252.252.2510!1!2!3!10.750.0748第60页，此课件共82页哦(2)平均排队长度和平均队列长02!(1)cqrLpc322.250.750.074

33、81.703!(10.75)1.702.253.95sqLLr(3)平均等待时间和逗留时间1.701.890.9qqLW111.894.390.4sqWWu第61页，此课件共82页哦(4)顾客到达后必须等待的概率（n3)331nnPP nP 0!nrpn(0)nc01!nncr pccg()nc00.0748P 230(1)(12.252.531)0.07480.4322nrPrP31 0.4320.568nP 第62页，此课件共82页哦M/M/3仿真视频仿真视频第63页，此课件共82页哦M/M/3 Excel求解求解第64页，此课件共82页哦例例6 银行取号系统有用吗？银行取号系统有用吗？就

34、例就例5，如果其他条件不变，顾客到达后在每，如果其他条件不变，顾客到达后在每个窗口前各排一队，且进入队列后坚持不换，个窗口前各排一队，且进入队列后坚持不换，就形成就形成3个队列，如下图所示。试分别用公式、个队列，如下图所示。试分别用公式、excel求解：求解：u(1)整个售票所空闲概率整个售票所空闲概率u(2)平均队列长度和平均队长平均队列长度和平均队长u(3)平均等待时间和逗留时间平均等待时间和逗留时间u(4)顾客到达后必须等待的概率（顾客到达后必须等待的概率（n3)第65页，此课件共82页哦顾客到达和服务图顾客到达和服务图第66页，此课件共82页哦解：解：这是这是3个个M/M/1同时服务的

35、同时服务的排队排队问题问题0.30.7510.4r0.30.4u(1)整个售票所空闲概率(每个窗口空闲)011 0.750.25p (4)顾客到达必须等待的概率（每个窗口n1)1011 0.250.75npP 第67页，此课件共82页哦(2)平均排队长度和平均队列长0.30.752.250.40.3qLu2.250.753sqLLr(3)平均等待时间和逗留时间2.257.50.3qqLW3100.3ssLW3 3 9 系统（3个窗口）队长第68页，此课件共82页哦3个个M/M/1 Excel求解求解第69页，此课件共82页哦结论：银行取号系统是有效的结论：银行取号系统是有效的指标数值排队长度1

36、.70系统队长3.95平均排队时间1.89服务台空闲概率0.075顾客必须等待的概率0.57指标数值排队长度2.25系统队长9平均排队时间7.5服务台空闲概率0.25顾客必须等待的概率0.75第70页，此课件共82页哦结论：银行取号系统是有效的结论：银行取号系统是有效的 从这两个系统的主要指标比较可以看从这两个系统的主要指标比较可以看出出混合排队比独立排队具有显著的优混合排队比独立排队具有显著的优越性越性，这一点是在排队系统的排队方，这一点是在排队系统的排队方式的设计时应该注意的。式的设计时应该注意的。第71页，此课件共82页哦普遍结论：集中使用优于分散使用普遍结论：集中使用优于分散使用 将资

37、源组合在一起为所有的顾客提供服务，可以在将资源组合在一起为所有的顾客提供服务，可以在等待时间不变的条件下，减少所需要的资源总量。等待时间不变的条件下，减少所需要的资源总量。如果是两列独立排队，那么客户可能要等那位指定如果是两列独立排队，那么客户可能要等那位指定的服务人员提供服务，这位服务人员可能当时正忙的服务人员提供服务，这位服务人员可能当时正忙得抽不开身，而另一位服务人员却闲着没事干。在得抽不开身，而另一位服务人员却闲着没事干。在集中使用的系统中就不会出现这种现象。集中使用的系统中就不会出现这种现象。大规模制造或服务设施的规模经济学大规模制造或服务设施的规模经济学u在保持同样利用率的情况下减

38、少平均等待时间在保持同样利用率的情况下减少平均等待时间 u在保持同样平均等待时间的情况下提高利用率在保持同样平均等待时间的情况下提高利用率第72页，此课件共82页哦5 排队系统最优设计排队系统最优设计成本分析成本分析5.1 概述概述 排队系统的最优设计和最优控制，即排队系统的最优设计和最优控制，即排队系统的最优化问题，其目的在于排队系统的最优化问题，其目的在于使排队系统达到使排队系统达到最大效益最大效益或者说在一或者说在一定指标下使排队系统定指标下使排队系统最为经济最为经济。第73页，此课件共82页哦服务成本与等待成本的权衡（成本效益平衡）服务成本与等待成本的权衡（成本效益平衡）总成本成本最佳

39、能力等待成本服务成本最小值排队分析的目的是使顾客等待成本与服务能力成本这两项成本之和最小第74页，此课件共82页哦5.2 M/M/1模型中的最优服务率模型中的最优服务率u -1 最佳服务能力是使总成本最小化：总成本=顾客等候成本+服务能力成本1wswssCuC uC LCz为时服务机构单位时间的费用为每个顾客在系统中逗即：留时间的费用/1SM MLu模型中 swzC uCu所以：第75页，此课件共82页哦5.2 M/M/1模型中的最优服务率模型中的最优服务率u -2swzC uCu0dzdu令20()swCCu即：所以M/M/1模型的最优服务率为：wsCuC第76页，此课件共82页哦例例7 设

40、某服务机构，单服务台，顾客到达设某服务机构，单服务台，顾客到达率为每小时率为每小时12位顾客。假定每位接受位顾客。假定每位接受顾客的顾客其等待费用为每小时顾客的顾客其等待费用为每小时5元，元，服务成本为每位顾客服务成本为每位顾客2元，欲使总平元，欲使总平均费用最小，服务率应为多少？均费用最小，服务率应为多少？第77页，此课件共82页哦解：解：这是一个标准的这是一个标准的M/M/1排队排队问题问题2sC 元12/h人5wC 元因而swSzC uC L最小总费用5 121217.5(/h)2wsCuC最优服务率 人122.1817.5 12sLu*2 17.55 2.1846Z 120.68617

41、.5u最优系统利用率第78页，此课件共82页哦5.3、Lq、Ls三者的关系三者的关系-1 当系统利用率增加时，队列平均等候当系统利用率增加时，队列平均等候数与顾客排队等候的平均时间呈指数数与顾客排队等候的平均时间呈指数增长。增长。第79页，此课件共82页哦队列中平均等 侯数100%系统利用率 05.3、Lq、Ls三者的关系-2qqLWqW./1exMM 第80页，此课件共82页哦5.3、Lq、Ls三者的关系三者的关系-3 平均队长（和平均等待时间）与服务平均队长（和平均等待时间）与服务台利用率之间的关系不是线性的关系。台利用率之间的关系不是线性的关系。资产利用率太高会造成服务质量急速资产利用率太高会造成服务质量急速下降，因而要权衡利弊。下降，因而要权衡利弊。要保证服务要保证服务质量，就必须保持质量，就必须保持“过剩的过剩的”生产或生产或服务能力。服务能力。第81页，此课件共82页哦6 解决排队问题的方法解决排队问题的方法6.1 理论方法理论方法 减少平均服务时间减少平均服务时间 减少服务时间的可变性减少服务时间的可变性 增加服务人员增加服务人员 减少平均到达人数减少平均到达人数 通过顾客预约等办法来减少到达的可变性通过顾客预约等办法来减少到达的可变性 集中使用服务资源集中使用服务资源 更好地计划和调度更好地计划和调度第82页，此课件共82页哦