定积分应用讲稿.ppt

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1、定积分应用第一页，讲稿共四十七页哦如何应用定积分解决问题如何应用定积分解决问题?首先，首先，要在区间划分的基础上找出能够很大程度上取代局部部分量的线性近似值，即寻找微分表达式FdFxxfF使,d)(d然后，然后，求出整体量的Fxxfbad)(这种分析方法称为微元法微元法精确值第二节 目录 上页 下页 返回 结束 其次，其次，考虑f(x)选取的可靠性，即确保能够做到)()(dxxdxfF 通常情况下，“以直代曲”“以匀代非匀”“以常代变”或近似的将x,x+dx看成一点的乘积运算就能满足此要求第二页，讲稿共四十七页哦微元法的实施：微元法的实施：第一步第一步 求出局部量的微分表达式xxfFd)(d第

2、二步第二步 求出整体量的积分表达式Fxxfbad)(近似值精确值（被称为F的微元）第三页，讲稿共四十七页哦平面图形的面积问题平面图形的面积问题 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A,右下图所示图形面积为 yobxa)(2xfy)(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd第四页，讲稿共四十七页哦例例.计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围图形的面积.xxy 2oy2xy xxxd解解:由xy 22xy 得交点)1,1(

3、,)0,0()1,1(1xxxAdd22332x01331x3110A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五页，讲稿共四十七页哦xxy22oy4 xy例例.计算抛物线xy22与直线的面积.解解:由xy224 xy得交点)4,8(,)2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算,选取 y 作积分变量,则有yyyd42A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六页，讲稿共四十七页哦abxoyx例例.求椭圆12222byax解解:利用对称性,xyAdd所围图形的面积.有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用

4、定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a=b 时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxd第七页，讲稿共四十七页哦例例.求由摆线)cos1(,)sin(tayttax)0(a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.)cos1(tadA解解:ttad)cos1(ttad)cos1(2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20A机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoa2第八页，讲稿共四十七页哦极坐标情形极坐标情形,0)(,)(C设求由曲线)(r及,射

5、线围成的曲边扇形的面积.)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九页，讲稿共四十七页哦对应 从 0 变例例.计算阿基米德螺线解解:)0(aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 到 2 所围图形面积.第十页，讲稿共四十七页哦ttadcos82042例例.计算心形线所围图形的面积.解解:)0()cos1(aarxa2o dd)cos1(2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令

6、28a43212223a心形线 目录 上页 下页 返回 结束 第十一页，讲稿共四十七页哦2coscos21)2cos1(21aa2oxyd)cos1(2122a例例.计算心形线与圆所围图形的面积.解解:利用对称性,)0()cos1(aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二页，讲稿共四十七页哦a2sin2a例例.求双纽线所围图形面积.解解:利用对称性,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为42a思考思考:用定积分表示该双纽线与圆sin2a

7、r 所围公共部分的面积.2Adsin2026ad2cos21462a机动 目录 上页 下页 返回 结束 yox44答案答案:第十三页，讲稿共四十七页哦已知平行截面面积的立体体积问题已知平行截面面积的立体体积问题设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 xabxxxd)(xA上连续,第十四页，讲稿共四十七页哦例例.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成 角,222Ryx解解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为

8、tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.机动 目录 上页 下页 返回 结束 oRxyx第十五页，讲稿共四十七页哦oRxy思考思考:可否选择 y 作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十六页，讲稿共四十七页哦xyoabxyoab)(xfy 特别,当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时,有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当

9、考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十七页，讲稿共四十七页哦ayxb例例.计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积.解解:利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2机动 目录 上页 下页 返回 结束 x第十八页，讲稿共四十七页哦xyoa2例例.计算摆线)cos1()sin(tayttax)0(a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的

10、立体体积.解解:绕 x 轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称性利用对称性2022)cos1(tattad)cos1(ttad)cos1(2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay机动 目录 上页 下页 返回 结束)2(tu 令第十九页，讲稿共四十七页哦xyoa2a绕 y 轴旋转而成的体积为)cos1()sin(tayttax)0(aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限!2023dsin)sin(tttta336a注 目录

11、上页 下页 返回 结束)(1yxx 第二十页，讲稿共四十七页哦分部积分对称关于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)(tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin30dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226第二十一页，讲稿共四十七页哦a2柱壳体积xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积xyxd2)cos1()sin(tayttax机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyxVayd2202)sin(tta)cos1(ta22td02第二十二页，讲稿共四十七页哦偶函数yVttattad)cos1

12、()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函数336a机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十三页，讲稿共四十七页哦 变力沿直线作功问题变力沿直线作功问题设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功微元为xxFWd)(d因此变力F(x)在区间,ba上所作的功为baxxFWd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十四页，讲稿共四十七页哦例例.

13、一个单求电场力所作的功.qorabrrdr 11解解:当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为2rqkF 则功的微元为rrqkWdd2所求功为barrqkWd2rqk1ab)11(baqk说明说明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk机动 目录 上页 下页 返回 结束 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处(a b),在一个带+q 点电荷所产生的电场作用下,第二十五页，讲稿共四十七页哦S例例.体,求移动过程中气体压力所ox解解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处(如图),作的功.ab建立坐标系如图.xxdx由波义耳马略特定

14、律知压强 p 与体积 V 成反比,即,SxkVkp 功微元为WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功为baxxkWdbaxk lnabkln机动 目录 上页 下页 返回 结束 力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 第二十六页，讲稿共四十七页哦例例.试问要把桶中的水从顶部全部吸出需作多少功?解解:建立坐标系如图.oxm3xxxdm5在任一小区间d,xxx上的一薄层水的体积为dVxd32把这薄层水吸出桶外所作的功(功微元功微元)为Wdxxxgxdg9)0)(d9(故所求功为50Wxxdg9g922xg5.112设水的密度为机动 目录 上页 下页 返回 结束 05一蓄满水的圆柱

15、形水桶高为 5 m,底圆半径为3m,第二十七页，讲稿共四十七页哦面积为 A 的平板液体侧压力问题液体侧压力问题设液体密度为 深为 h 处的压强:hpgh当平板与水面平行时,ApP 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.机动 目录 上页 下页 返回 结束 平板一侧所受的压力为第二十八页，讲稿共四十七页哦小窄条上各点的压强xpg33g2R例例.的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解解:建立坐标系如图.所论半圆的22xRy)0(Rx 利用对称性,侧压力微元RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受侧压力为xd机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程为一水平横

16、放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 第二十九页，讲稿共四十七页哦0arcsin22g4222RRxRxRxR,d222xxR 说明说明:当桶内充满液体时,)(gxR 小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为RRxxRxRPd)(g222奇函数奇函数3gR)(gxR RxxRR022dg4tRxsin令机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyRxxxd第三十页，讲稿共四十七页哦 引力问题引力问题质量分别为21,mm的质点,相距 r,1m2mr二者间的引力:大小:221rmmkF 方向:沿两质点的连线若考虑物体物体对质点的引力,则需用积分解决.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十

17、一页，讲稿共四十七页哦例例.设有一长度为 l,线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,M该棒对质点的引力.解解:建立坐标系如图.y2l2l,dxxx细棒上小段对质点的引力大小为 dkF xm d22xa 故垂直分力元素为cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox机动 目录 上页 下页 返回 结束 在试计算FdxFdyFdxxd第三十二页，讲稿共四十七页哦利用对称性利用对称性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒对质点引力的水平分力.0 xF机动 目录 上页 下页 返回 结束

18、 22412llmkFaa故棒对质点的引力大小为2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒对质点的引力的垂直分力为 第三十三页，讲稿共四十七页哦y2l2laoxxxdx说明说明:amk22)若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1)当细棒很长时,可视 l 为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到 b(a b)处时克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有第三十四页，讲稿共四十七页哦loxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlx

19、xaxxmkF02223)(d引力大小为22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFd机动 目录 上页 下页 返回 结束 sindF注意正负号当质点位于棒的左端点垂线上时,第三十五页，讲稿共四十七页哦第三十六页，讲稿共四十七页哦摆线摆线)sin(ax)cos1(ay半径为 a 的圆周沿直线Moyxa无滑动地滚动时,其上定点 M 的轨迹即为摆线.轨迹:结束 第三十七页，讲稿共四十七页哦心形线心形线2222yxaxayx或)cos1(aroxy 尖点:(0,0)面积:223a 弧长:a8 轨迹:外摆线的一种 动圆直径=定圆直径=a 结束 第三十八页，讲稿共四十七页哦oxya心形线的另一种形

20、式心形线的另一种形式2222yxaxayx即)cos1(ar 尖点:(0,0)面积:223a 弧长:a8结束 第三十九页，讲稿共四十七页哦0a0a阿基米德螺线阿基米德螺线ar 物理意义:动点 M 以常速 v 沿一射线运动,该射线又 以定速 绕极点转动时,点M 的轨迹即为阿基米德螺线 结束 vr 第四十页，讲稿共四十七页哦对数螺线对数螺线aer xo的交角 都相等:a1tan(等角螺线等角螺线)等比性:过极点的射线与曲线交于,101AAA,101OAOAOA则各线段成等比级数,公比为ae2 弧长:)(121221rrLaaMM 曲率半径:raR21rLaaOM211M2MM曲线与所有过极点的射线

21、0A1A1A2A 等角性:结束 第四十一页，讲稿共四十七页哦oxya双曲螺线双曲螺线ar 1M 渐近点:2M极点 O)(渐近线:ay 曲率半径:312aR 扇形：的面积21MOM212112aS 曲线由两支组成,它们关于 y 轴对称结束 第四十二页，讲稿共四十七页哦tax3costay3sin323232ayx或4a星形线星形线(内摆线的一种内摆线的一种)弧 长:as6 所围面积:283aS 轨迹:半径为半径为 a 的定圆滚动时,其上定点 M 的轨迹即为星形线的动圆圆周沿a xoytM结束 第四十三页，讲稿共四十七页哦双纽线双纽线2cos22ar或)()(222222yxayx点击图中任意点动

22、画开始或暂停 结点(同拐点):)0,0(O在该点的切线斜率为1 顶 点:)0,(,aBA 极值点:a46a42 曲率半径:ra32 双纽面积:2a极 值:对应点:DDCC,xyoABCCDD结束 第四十四页，讲稿共四十七页哦伯努利双纽线的轨迹特点伯努利双纽线的轨迹特点xyo1F2F221aOFOF 双纽线上的点 M 满足:22121aMFMF 以1F为圆心,a21为半径作圆,自O 作射线交圆于P,Q 则双纽线右支上的点满足:PQOM MQP由对称性,左支也有类似结果结束 第四十五页，讲稿共四十七页哦2,0,3cos ar2,0,3sin ar三叶玫瑰线三叶玫瑰线aa结束 第四十六页，讲稿共四十七页哦2,0,4cos ar2,0,4sin araa四叶玫瑰线四叶玫瑰线结束 第四十七页，讲稿共四十七页哦