数学物理方程.ppt

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1、数学物理方程现在学习的是第1页，共84页现在学习的是第2页，共84页)0,(2txuauxxtt xut0|xutt0|atxatx考虑代换利用复合函数求导法则得uuuuuxxx现在学习的是第3页，共84页22uuuuuxxx222222uuu 同理有:22tu2222222uuua 代入方程，得到 02u现在学习的是第4页，共84页在上式中对 积分,得 fu(是 的任意可微函数)f再将此式对 积分,2,fdftxu12fxatfxat其中 都是任意二次连续可微函数.12,ff现在学习的是第5页，共84页利用初始条件，确定两个函数的具体形式。由第二式得012|(0)(0)tufxafxa xx

2、afxaf21012|(0)(0)ttuafxaafxa xCdaxfxf0211 xxfxf21.12(0)(0)Cff其中现在学习的是第6页，共84页 xCdaxxf0122121 xCdaxxf0222121由由,xCdaxfxf0211 xxfxf21解得 atxatxdaatxatxtxu2121,代入通解表达式，得达朗贝尔达朗贝尔(DAlembert)(DAlembert)公式公式.现在学习的是第7页，共84页图 3-1 u2x2()fxaa t=0u2xa3au2x32a2a t=1/2u2x2at=1t=2考虑 的物理意义22()ufxat 随着时间t 的推移u2的图形以速度a

3、 向x轴正向移动.现在学习的是第8页，共84页物理意义物理意义:随着时间 t 的推移,的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动,也就是说,它表示一个以速度a 向x 轴正方向行进的波,称为.同样道理,以速度a 向x 轴负方向传播的行波,称为.atxfu22atxfu11现在学习的是第9页，共84页在 平面上斜率为 的两族直线 ,对一维波动方程的研究起到重要作用,称这两族直线为一维波动方程的,变换tx a1称为,行波法也叫.atx atx 常数xat现在学习的是第10页，共84页常数 atx 0222dtadx2ttxxua u的积分曲线,这个常微分方程称为它的.一维波动方程的两族特征线恰好是常微分

4、方程现在学习的是第11页，共84页,2GFuEuDuCuBuAuyxyyxyxx2220A dyBdxdyC dx一般的二阶线性偏微分方程它的特征方程为(*)这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的.220dydyABCdxdx2dyBBACdxA记2(,)x yBAC称其为二阶线性偏微分方程的判别式判别式0),(yx双曲型方程0),(yx椭圆型方程0),(yx抛物型方程现在学习的是第12页，共84页02u可以证明，当 时，有两条相异的实特征线因此特征线法对双曲型方程都是有效的，沿着特征线做自变量替换 总可以把双曲型方程化为(,)0 x y1122(,),(,)x ycx yc12(,)

5、,(,)x yx y从而得到方程的通解12()()uff现在学习的是第13页，共84页032yyxyxxuuu例 求下面问题的解:(3.1)解:特征方程 03222dxdxdydy两族积分曲线为 13Cyx2Cyx做特征变换 yxyx3203|xuy0|0yyu(3)0dydxdydx现在学习的是第14页，共84页3uuuuuxxx22(3)(3)uuuuuxxx2222296uuu 2(3)(3)uuuuux yyy 2222232uuu yxyx3现在学习的是第15页，共84页uuuuuyyy 22()()uuuuuyyy222222uuu 02u代入方程化简得:yxyx3现在学习的是第1

6、6页，共84页 21ffuyxfyxfyxu213,它的通解为1f2f其中 ,是两个二次连续可微函数.于是原方程的通解为 22133xxfxf 0321xfxf代入初始条件 ,，得 203|xuy0|0yyu第二式的两端得关于 积分得x 12121130033fxfxffC 解得 212213443344fxxCfxxC2222343341,yxyxyxyxu所求问题的解为 2193344fxxC现在学习的是第17页，共84页2222sincos0dyxdxdyx dx解 特征方程为特征曲线为 1cosCxxy2cosCxxy例 求方程22sincoscos0 xxxyyyyuxuxuxu的一

7、般解.sin1dyxdx 现在学习的是第18页，共84页xyxcosxyxcos所以，做变换则原方程可以变为 02u)cos(cos,21xyxfxyxfyxu其中 ,是任意的二次连续可微函数.1f2f于是，方程的通解为现在学习的是第19页，共84页现在学习的是第20页，共84页研究波在空间传播问题.200010(,0)(,)(,)(,)(,)tttttuaux y ztux y zx y zux y zx y z 三维波动方程的初值问题现在学习的是第21页，共84页一、球对称情形 cossinsincossinrzryrx2222222sin1)(sinsin1)(1 ururrurrru球

8、坐标系 若 仅是 r 的函数,则是r 和 t 的函数,此时称定解问题是球对称球对称的。),(),(zyxzyx );,(tzyxu现在学习的是第22页，共84页,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为直角坐标与球面坐标的关系直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),(r则0020r sincosxr坐标面分别为坐标面分别为常数r球面球面常数半平面半平面常数锥面锥面,rOM 令),(rMsinrsinsinyrcoszrcoszr现在学习的是第23页，共84页222222222rururzuyuxuu 球对称波动方程0222222 rururatu进一步有0)()(22222 rruat

9、ru对对球对称球对称问题现在学习的是第24页，共84页球对称情形下，三维波动方程边值问题可化为 2222200001()()0|0()|()()|()rttruruatrrururrrurrt这个问题我熟悉！现在学习的是第25页，共84页由达朗贝尔公式001001()()()()21(),02(,)()()()()21(),02r atr atat rat rratratratratrdrataru r tratratatratrrdratar 现在学习的是第26页，共84页二二.一般情况一般情况 dtudSturtruMMrSS 1),(41),(41),(2令 表示 在球面 上的平均值。)

10、,(tru),(tzyxuMrS cos,sinsin,cossinrzryrx 其中M=M(x,y,z),是球面 上的点,MrS现在学习的是第27页，共84页二二.一般情况一般情况 dtudSturtruMMrSS 1),(41),(41),(2令表示以 M 为中心的单位球面，MS1表示 上的面积元素，dSMrS drdS2 d dddsin 表示单位球面上的面积元素，现在学习的是第28页，共84页 dtrzryrxutruMS 1),cos,sinsin,cossin(41),(),(),0(tMutu 即而),(),(lim0tMutrur 以下推导 所满足方程及初始条件。),(tru现

11、在学习的是第29页，共84页222221414MrMrBBu dVrudVa rt高斯公式dSnurdnuduuuruMrMMSSS 24141cossinsincossin4111 现在学习的是第30页，共84页进一步有：dSudtdVtururaMrMrSrB 02222224 两边关于 r 求导，得 dSutrurarMrS 22224 得dSturtruMrS ),(41),(2 2222244turrurra 由现在学习的是第31页，共84页即22222turrurra 22222)(2rurrrurrurrurr 0)()(22222 ruratur可得：由22222)(turrt

12、ur 0)()(22222 ruratur现在学习的是第32页，共84页由初值条件和 的表达式，有：),(tru0001()()|,|ttrururrt其中 分别是函数 在 上的球平均值。01,01,MrS满足如下定解问题：ur2222200001()()00,0()|0()|()|rttruruarttrrururrurt 现在学习的是第33页，共84页22222()()0ruruatr方程的通解为12()()ruf ratf rat120121()()()()()()f rf rrrrfrfrra利用初始条件0001()()|,|ttrururrt有其中是两个二次连续可微的任意函数2,f

13、f现在学习的是第34页，共84页1010201011()()()211()()()2rrf rrrdCaf rrrdCa 所以001()()()()(,)21()2r atr atratratratratu r trdar 解方程组得现在学习的是第35页，共84页22212322212312311231(,)1(),(),(),)4(,)ur tu xryrzrt du xryrzrt d(,)(,)ur tu r t将 延拓到r0的范围内。并且(,)u r t同理 也是偶函数01(),()rr利用现在学习的是第36页，共84页所以 ratratatratratrdarrratratatrat

14、ratrdarratratratratrtru0)(212)()()()(0)(212)()()()(),(现在学习的是第37页，共84页由于 ，只考虑 的情形0r0 atr001()()()()1(,)()22at rat ratratrratratu r tdrar 001001lim(,)()()()1()()ru r tatatattatatattatat利用洛必达法则现在学习的是第38页，共84页20002212002(0,)1(sincos,sin sin,cos)4()sin d d(sincos,sin sin,cos)4()()sin d dutxatyatzatatatat

15、txatyatzatatat 011(,)4MMatatSSu M tdSdSatatat即简记成三维波动方程的泊松公式三维波动方程的泊松公式现在学习的是第39页，共84页三、泊松公式的物理意义 从泊松公式出发，解释波在三维空间的传播现象.设 且，3RT (,),x y z TzyxTzyxzyx),(0),(0),(1.在任一固定点 的振动情况),(000zyxM 设 ，由 沿以 M 为中心，at 为半径的球面的曲面积分所决定。TM ),(minQMdTQ ),(maxQMDTQ ),(tMu ,MatS现在学习的是第40页，共84页0),(tMuM 点处于静止状态，说明 T 的振动尚未达到

16、 M 点。当 时，为空集，所以 TSMat adtt 1 当 时，不为空集，aDttt 21TSMat 0),(tMu所以M点处于振动状态,表明 T 的振动已传到 M 点。当 时，为空集，说明振动已 传过 M 点，M 点仍回复到静止状态。aDtt 2TSMat 现在学习的是第41页，共84页2.在某固定时刻 ，初始时刻的振动所传播的范围 0tTP),(设 ，T 是半径为 R 的球体。由Poisson公式，只有与 M 相距为 的点上的初始扰动能够影响 的值，故 P 点的初始扰动，在时刻 只影响到以 P 为球心，以 为半径的球面 0at),(tMu0t0at22222)()()(:0tazyxSM

17、at 当 P 在 T 内移动时，球面族的包络面所围成的区域即为 T 内各点的振动在 时刻所传播的区域，称为 T 在时刻 的影响区域影响区域。0t0t现在学习的是第42页，共84页 总之，三维空间中有限区域 T上的初始振动，有着清晰的前阵面和后阵面，对空间的任一点，振动传过后，仍回复到平衡状态，这种只在有限时间内引起振动的现象称为 Huygens Huygens 原原 理理。在 足够大时，包络面以T 的心o(T)为心，分别以 和 为半径的球面所夹部分。故 时刻的影响区域为 的球壳，球面 是振动到来的前峰，称为波的 前前 阵阵 面面,球面 是振动传过后的后沿，称为波的后阵面后阵面。0tRat 0R

18、atrRat 000tRat 0)(0TORatS)(TORatS 现在学习的是第43页，共84页Rat 0Rat 0R现在学习的是第44页，共84页解 例.设已知三维波动问题中的初位移，初速度分别为：,求解相应的Cauchy问题。0,zyxzyxddatddatddzyxatta 200220022200cossin)(sin)cos(sin)(sin)(41 ddatatatzyxtausin)()cossinsincos(sin412200 现在学习的是第45页，共84页三.降维法及二维波动方程考虑二维波动方程的初值问题 20001()0,0(,),(,),ttxxyytt tua uu

19、x ytux yx yux yx y 设解为 ,令 ，则(,)u x y t(,)(,)u x y z tu x y t20001()0(,)(,)ttxxyyzztt tua uuuux yux y现在学习的是第46页，共84页由泊松公式 011(,)4MMatatSSu x y z tdSdSatatat222 2()()xya t球面 在平面 上投影 为 MatS0 MatC dcosddS设其上面积微元为 ，则由投影关系有：222()()()cosatxyzatat其中 v 表示 dS 的单位法向量与 之夹角，d又上、下两球面的投影有对称关系，故022212221(,)(,)2()()

20、()(,)()()()MatMatu x y z td da tatxyd datxy 柱面波现在学习的是第47页，共84页现在学习的是第48页，共84页 常见的两种积分变换常见的两种积分变换-傅立叶变换傅立叶变换-拉普拉斯变换拉普拉斯变换.现在学习的是第49页，共84页 ixFefx dx 12ixf xFed F如果 满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆变换为:()f x如果函数 在 上绝对可积，它的傅立叶变换定义如下(,)有时把 记为 。F Ff一.傅立叶变换反演公式反演公式现在学习的是第50页，共84页傅立叶变换的性质:1）线性性质线性性质 设 f,g 是绝对可积函数，是任 意复常数，

21、则 ,()()FfgF fF g Ffi Ff2）微分性质微分性质 设 f,绝对可积函数，则 f dF xfiF fd3）乘多项式乘多项式 设 f,x f 绝对可积，则 现在学习的是第51页，共84页4）伸缩性质伸缩性质 设 f(x)绝对可积，则 10()()()(),.|F f axF faaa 6）卷积性质卷积性质 设f,g 是绝对可积函数，令 fg xfxt g t dt FfgFf F g 则5）平移性质平移性质 设 f(x)绝对可积，则 ()(),.iyF f xyeF fyR 现在学习的是第52页，共84页 2200,uuxR ttxu xx 例例 用积分变换法解方程：解：作关于

22、x 的傅立叶变换,ixu x tUtu x t edx x 方程可变为 20,|tdUtUtdtUt 设现在学习的是第53页，共84页 2,tUte 可解得 由于221412xttFeet 22412xttFeet 即 22441122,xxttUtFeFFett 则现在学习的是第54页，共84页从而方程的解 241(,)2stu x txs edst 1,(,)u x tFUt 2141*2xtFFet 241*2xtet 2141()2xtFFFet 现在学习的是第55页，共84页 22(,),0,0uuf x txR ttxu xx 例例 用积分变换法解方程解：作关于 的傅立叶变换。设x

23、dxetxutUtxuxi,x方程变为 20,|tdUtUtFtdtUt ,f x tFt 22()0,(,).tttUteFed 用常数变易法可解得 22412xttFeet 而 224401212(),(,).()xtxttUtFetFFedt 则现在学习的是第56页，共84页 1,(,)u x tFUt 2214401212()(,)()xtxttFFetFFedt 利用反演公式有现在学习的是第57页，共84页2141*2xtFFet 214012()(,)*()xttFFf xedt 241*2xtet 24012()(,)*()xttf xedt 2()412xtedt 24012(

24、)()(,)xttfdedt 现在学习的是第58页，共84页例 用积分变换法求解初值问题：200(,)(,0)|()|()ttxxtt tua uf x txtuxux 解：作关于 x 的傅立叶变换。设,u x tUt()(),x()().x,f x tFt现在学习的是第59页，共84页于是原方程变为2222,d UtaUtFtdt 满足初始条件0,|,tUt 0,|tdUtdt 现在学习的是第60页，共84页 222200,|,|ttd UtaUtFtdtUtdUtdt 齐次方程的解齐次方程的解12(,)cossinUtCa tCa t设非齐次方程的解为设非齐次方程的解为12(,)()cos

25、()sinUtC ta tC ta t现在学习的是第61页，共84页1212(,)()-sin()sin()cos()cosUtC t aa tC t aa tC ta tC ta t令令12()cos()sin0C ta tC ta t12(,)()()sin()cosUtC taa tC t aa t12222212(,)()sin()cos()cos()sinUtC t aa tC t aa tC t aa tC t aa t 则则现在学习的是第62页，共84页代入方程代入方程122222122212()sin()cos()cos()sin()cos()sin)(,)C t aa tC

26、t aa tC t aa tC t aa taC ta tC ta tFt 得得12(,)()sin()cosFtC ta tC ta ta12()cos()sin0C ta tC ta t现在学习的是第63页，共84页12(,)()sin(,)()=cosFtC ta taFtC ta ta 积分12(,)()sin(,)()=cosFtC ta taFtC ta ta 方程通解为01(,)cossin(,)sin()tUtCa tDa tFatda 由初始条件0sin(,)()cos()1(,)sin()ta tUta taFatda 取傅立叶逆变换，得 12xatxat1()cos()(

27、)2iatiata tee其中的傅立叶变换.sina t1,()20,atatxatgx其它是而所以 取傅立叶逆变换，得(,)Ut现在学习的是第64页，共84页()0()1211,22x a tx attx atx a txatxats dsdf sdsaa()01,211()()tata tu x txatxatgxfgx daa现在学习的是第65页，共84页傅立叶逆变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方傅立叶逆变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方法法,但但1.傅立叶变换要求原象函数在傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积上绝对可积,大部分大部分函数不能作傅立叶变换函数不能作傅立叶变换2

28、.傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定义傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定义,研究混研究混合问题时失效合问题时失效.现在学习的是第66页，共84页二二.拉普拉斯变换拉普拉斯变换定义定义:f(t)定义在 上，若其满足下列条件f(t)分段光滑；存在常数 M 和 使得 则称f(t)为初始函数,称为f(t)的增长指数.0,)00s 0|()|s tf tMe0stee反例反例现在学习的是第67页，共84页定理定理:设f(t)是一以 为增长指数的初始函数,则经变换得到的函数F(p)是 上的解析函数.00s 0:ptL f tF pf t edt0(Re)ps上述变换称为拉普拉斯变换现在学习的是第68页，共

29、84页1!nnpnt,2,1,0n例例(Re0)p 000010111nptnptnptptnnptt edtt det eedtpppntedtp 22010(1)!nptptnnn ntedtpnnedtpp现在学习的是第69页，共84页22(2)cos,patpa(Re0)p 22(3)sinaatpa反演公式反演公式：在 f(t)的每一个连续点均有 ()1122s is itpts if tF p edF p e dpi 其中，0,.psiss1(1)a tepa(ReRe)pa现在学习的是第70页，共84页基本性质基本性质:1）线性性质 设 f,g 的拉普拉斯变换分别 为L(f),L

30、(g ),是任意复常数，则,()()LfgL fL g2）微分性质 假设 ,则 pFtfL:0:fppFtfL 00:2fpfpFptfL 000:111nnnnnffpfppFptfL现在学习的是第71页，共84页6）卷积性质 0 xfg xfxt g t dt定义4）延迟性质 pFestfLps1,0.pLf atFaaa5）伸缩性质 L fgL f L g则3）积分性质 01tLf s dsF pp现在学习的是第72页，共84页例 设 求解常微分方程的初值问题 tyy 1|,0|32 00tttyyeyyy解 对 进行拉普拉斯变换,设 ,则t pFty11pet )(0ppFyppFy

31、00 2ypypFpy 12pFp现在学习的是第73页，共84页于是原方程变为 11321)(2ppFppFpFp由上式得:318111411183ppppF对 进行拉普拉斯逆变换,得 pF 3311848ttty teee现在学习的是第74页，共84页0,0,222txxuatu0|0tu 0|xuf t解 问题归结为求解下列定解问题:例 一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0，求杆上温度分布规律。对 t 进行拉普拉斯变换怎么变换？为什么？知道 的值了0|tu现在学习的是第75页，共84页,ppxxaaU x pCeDe方程通解为 表示温度，当 时，一定有界，所以 亦有界，从而

32、 .txu,U x p0Dx txu,对 t 进行拉普拉斯变换，设pxUtxu,pFtf于是原问题变为dxpxUdapxpU,22 pFpxUx0|,现在学习的是第76页，共84页由边值条件可知 ，即 pFC xapepFpxU,xapeLpFLtxu11,xapeLtf1对 p 进行拉普拉斯逆变换，有现在学习的是第77页，共84页111ppxxaaLeLpep 00 g 1 0pxaL g tpegpxape于是查表得 21212pxyaxa tLeedyg tp而易证现在学习的是第78页，共84页 224()3/20,1()()2xtatu x tf tg txfedta所以 222143

33、221222pxaxya txa tLpeg tpdedyedtat于是现在学习的是第79页，共84页 例 设 求解下面定解问题1,0 xyyuxuyxyxuxycos|12022解 对 进行拉普拉斯变换,ypxUyxu,yxyux2则原方程 变为2221,pxxpxpUdxd322pxpxdxdU即现在学习的是第80页，共84页yuxcos|1211|,pppxUx由条件 得 ppppxpxppxU1311131,32233解得161cos61,2223yyxyxyxu对 取拉普拉斯逆变换，得 p现在学习的是第81页，共84页数学物理方程数学物理方程+定解条件定解条件解解常微分方程常微分方程

34、+定解条件定解条件解解积分变换积分变换逆变换逆变换现在学习的是第82页，共84页如何使用积分变换法求解定解问题：如何使用积分变换法求解定解问题：选取恰当的积分变换，对某个（某些）自变量作选取恰当的积分变换，对某个（某些）自变量作积分变换，得到象函数的含参变量的常微分方程积分变换，得到象函数的含参变量的常微分方程；2 2）对部分定解条件取相应的积分变换）对部分定解条件取相应的积分变换,导出象函数方导出象函数方程的定解条件；程的定解条件；3 3）解关于象函数的定解问题）解关于象函数的定解问题,求出象函数；求出象函数；4 4）将象函数取积分逆变换，即得原定解问题的解）将象函数取积分逆变换，即得原定解问题的解.现在学习的是第83页，共84页,01）傅立叶变换的取值范围是 ，拉普拉斯变换的取值范围是 。2）注意定解条件的形式。假如对 进行拉普拉斯变换，而原方程为 阶方程，则定解条件中应出现 xk0|,xu0|,xux101,|.kxkux需要注意需要注意现在学习的是第84页，共84页