概率论与数理统计第三章方差.ppt

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1、概率论与数理统计第三章方差现在学习的是第1页，共39页 前面说到评判一批水泥板的质量问题若它们平均承受力较前面说到评判一批水泥板的质量问题若它们平均承受力较大，比如大，比如1000kg，但其中可能有一部分水泥板的承受力在，但其中可能有一部分水泥板的承受力在1800kg以上，而另一部分的承受力不足以上，而另一部分的承受力不足200kg这批水泥板的这批水泥板的承受力与平均值承受力与平均值1000kg的偏离程度较大，质量不稳定、较差，的偏离程度较大，质量不稳定、较差，不能被用于建造房屋，否则会发生事故那么，我们该用什么不能被用于建造房屋，否则会发生事故那么，我们该用什么量去衡量这个偏离程度呢？对于随

2、机变量量去衡量这个偏离程度呢？对于随机变量X，虽然量，虽然量E|X E(X)|能度量能度量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度，但它带有的偏离程度，但它带有绝对值，运算不方便为了运算方便，通常使用量绝对值，运算不方便为了运算方便，通常使用量 2)(XEXE来度量来度量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度 现在学习的是第2页，共39页引例引例 甲、乙两射手各打了甲、乙两射手各打了6 发子弹发子弹,每发每发子弹击中的环数分别为：子弹击中的环数分别为：甲甲 10,7,9,8,10,6,乙乙 8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？问哪一个射手的技术较好？解解 首先比较平均环数首先

3、比较平均环数E(甲甲)=8.3,E(乙乙)=8.3有有五五个个不不同同数数有有四四个个不不同同数数现在学习的是第3页，共39页再比较稳定程度再比较稳定程度34.13)3.86()3.87()3.88()3.89()3.810(222222甲甲：乙乙：34.5)3.87()3.88(3)3.89()3.810(2222乙比甲技术稳定，故乙技术较好乙比甲技术稳定，故乙技术较好.现在学习的是第4页，共39页进一步比较进一步比较平均平均偏离平均值的程度偏离平均值的程度甲)3.86()3.87()3.88()3.89()3.810(26122222乙)3.87()3.88(3)3.89()3.810(6

4、1222222.26/34.1389.06/34.5512)(kkkpXEx412)(kkkpXEx E X-E(X)2现在学习的是第5页，共39页定义定义 设设X是随机变量，是随机变量，若若E X E(X)2 存在存在,则称其为则称其为 X 的的方差方差,记为记为Var(X)或或 Var(X)(deviation variance)称称()Var X为为 X 的的均方差均方差或或标准差标准差.方差概念方差概念 即即 Var(X)=E X E(X)2 两者量纲相同两者量纲相同 Var(X)描述描述 r.v.X 的取值偏离平均值的取值偏离平均值 的平均偏离程度的平均偏离程度 数值数值现在学习的是

5、第6页，共39页,2,1,)(kpxXPkk若若 X 为离散型为离散型 r.v.，分布律为，分布律为21()()kkkVar XxE Xp若若 X 为连续型为连续型r.v.，概率密度为，概率密度为 f(x)2()()()Var XxE Xf x dx现在学习的是第7页，共39页例例1 1 设设 X 的概率密度如下，的概率密度如下，求求 Var(X),01,1(),1,20,.xxf xxex其他解解 2()()Var XE XE X2()()xE Xf x dx由方差的定义知由方差的定义知1220111()()226eE Xxf x dxx dxdx2122011()16126()26236e

6、xeexxdxdxx现在学习的是第8页，共39页例例2 2 设设 X N(,2),求求 Var(X)解解 由方差的定义知由方差的定义知2()()Var XE XE X22 221()2tVar Xtedt222()221()2xxedx令令Xt那么那么现在学习的是第9页，共39页 方差的计算方差的计算计算方差的常用公式：计算方差的常用公式：22()()()Var XE XEX证明：因为证明：因为Var(X)=E X E(X)2 (由由r.v.函数的数学期望函数的数学期望)=E X2 2E(X)X+E(X)2 =E(X2)2E(X)E(X)+E(X)2 =E(X2)E(X)2现在学习的是第10页

7、，共39页例例3设随机变量设随机变量X具有期望具有期望E(X)=，标准差，标准差(X)=，记，记XX*求证求证 E(X*)=0,Var(X)=1.0)(1)(*XEXEXE证明证明 由数学期望的性质，得由数学期望的性质，得*Var()X 222 *2*0)()(XEXEXE1)(12222XE现在学习的是第11页，共39页标准化变量标准化变量设随机变量设随机变量 X 的期望的期望E(X)、方差、方差Var(X)都存在都存在,且且Var(X)0,则称则称()()XE XXVar X为为 X 的的标准化变量标准化变量.那么那么()0,()1E XVar X现在学习的是第12页，共39页例例4 设设

8、X P(),求求Var(X).解一解一0!)(kkkekXE11)!1(kkke)()1()(2XEXXEXE!)1()1(0kekkXXEkk2222)!2(kkke22)(XE22()()()Var XE XEX现在学习的是第13页，共39页)(2XE0 1 12)!1(!kkkkkkekekxkkkxe1 )!1(xkkkxxe1 1)!1()()(eeexeexx2解二解二22()()()Var XE XEX所以所以现在学习的是第14页，共39页例例5 5 设设X U(a,b)，求，求Var(X).解解 Var(X)=E(X2)E2(X)=22()2baxabdxba3221()32b

9、aabba2()12ba现在学习的是第15页，共39页例例6 6 设设X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布，求，求Var(X).解解 因为因为E(X)=1/.E2(X)=1/2故故22()()()Var XE XE X 0 222221121 dxexx现在学习的是第16页，共39页常见随机变量的方差常见随机变量的方差分布分布方差方差概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pXPpXP1)0()1(p(1 p)B(n,p)nkppCkXPknkkn,2,1,0)1()(np(1 p)P(),2,1,0!)(kkekXPk 现在学习的是第17页，共39页分布分布方差方差概率密

10、度概率密度区间区间(a,b)上上的均匀分布的均匀分布其它,0,1)(bxaabxf12)(2abExp()其它,0,0,)(xexfx21N(,2)222)(21)(xexf2现在学习的是第18页，共39页1.Var(C)=02.Var(aX)=a2Var(X)Var(aX+b)=a2Var(X)方差的性质方差的性质3.对任意常数对任意常数C,Var(X)E(X C)2,当且仅当当且仅当 C=E(X)时等号成立时等号成立4.Var(X)=0 P X=E(X)=1称为称为X 依概率依概率 1 等于常数等于常数 E(X)现在学习的是第19页，共39页性质性质 1 的证明：的证明：2()()0Var

11、 CE CE C性质性质 2 的证明：的证明：2()()()Var aXbE aXbE aXb2)()(bEbXEXaE22)(XEXaE2()a Var X现在学习的是第20页，共39页22)()(XECXEXECXE性质 3 的证明：22)()(XECXEXE当C=E(X)时，显然等号成立；当C E(X)时，0)(2XEC)(2XDCXE2()()Var XCE X现在学习的是第21页，共39页例例6 设随机变量设随机变量X具有概率密度函数具有概率密度函数 其他 0,ex1 ,2x11 x0 ,)(xxf 求求E(6X 2)和和 Var(6X 2)0 1 e 2 0 1 1()()d0d0

12、d226exeE Xx f xxdxx dxxxx解：首先计算解：首先计算X的数学期望的数学期望33261262)(6)26(eeXEXE于是于是现在学习的是第22页，共39页又 1 0 e 1 23 22 2xxf(x)dxx)(dxdxxXE241e从而 2261()()()36eVar XE XE X16361636)(36)26(eeXVarXVar利用方差的性质，得现在学习的是第23页，共39页仅知仅知 r.v.r.v.的期望与方差并不能确定其分布的期望与方差并不能确定其分布XP 1 0 1 0.1 0.8 0.1YP 2 0 20.025 0.95 0.025与()0,()0.2E

13、 XVar X()0,()0.2E YVar Y有相同的期望方差但是分布却不相同例如例如现在学习的是第24页，共39页例例7 7 已知 X 服从正态分布,E(X)=1.7,Var(X)=3,Y=1 2 X,求Y 的密度函数.解解 ()1 2 1.72.4,()4 312E YVar Y yeyfyY,621)(24)4.2(2 在已知某些分布类型时在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差若知道其期望和方差,便便常能确定分布常能确定分布.现在学习的是第25页，共39页现在学习的是第26页，共39页现在学习的是第27页，共39页3.3分位数分位数现在学习的是第28页，共39页定义定义3.3.1设设

14、X是连续随机变量，是连续随机变量，0p1若实数若实数 xp满足满足 F(xp)=PX xp=p则称则称xp是是X（或（或X服从的分布）的服从的分布）的p分位数分位数或或p分位点当分位点当 p=0.5时时，称，称x0.5为为X的的中位数中位数若用若用X的概率密度函数的概率密度函数f(x)来表达，则有来表达，则有pxppdxxfxF )()(现在学习的是第29页，共39页若若XN(,2)，如图下所示，阴影部分面积为，如图下所示，阴影部分面积为 f(x)xppxO O现在学习的是第30页，共39页例例3.3.1设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 31,0()3 0,0 xexf

15、xx求求X的的0.90分位数分位数 x0.90解解X的分布函数的分布函数 3 1,0,()()d 0,0.xxexF xf ttx 90.01)(390.090.0 xexF由由解得解得 x0.90=3ln0.10=3ln10=6.9078 现在学习的是第31页，共39页对于标准正态分布对于标准正态分布XN(0,1)，常用，常用up表示其表示其p分位数根据其概分位数根据其概率密度函数的对称性易知率密度函数的对称性易知 up=u1 p，见下图，见下图 x(x)Ou1 puppp标准正态分布的分位数标准正态分布的分位数up和和u1 p现在学习的是第32页，共39页下面列出了几个常用的标准正态分布的

16、下面列出了几个常用的标准正态分布的p分位数分位数up的值的值 它的中它的中位数是位数是0p0.0010.0050.0100.0250.0500.1000.500up 3.090 2.576 2.326 1.960 1.645 1.2820p0.9000.9250.9500.9750.9900.9950.999up1.2821.4391.6451.9602.3262.5763.090标准正态分布的标准正态分布的p分位数分位数 p分位数表是分位数表是教材中给出标准正态分布表的逆运算教材中给出标准正态分布表的逆运算。现在学习的是第33页，共39页分位数在实际问题中是常用的例如，旅客在机场排队分位数在

17、实际问题中是常用的例如，旅客在机场排队领取登机牌，若要求领取登机牌，若要求95%的旅客能在的旅客能在15分钟内领到，分钟内领到，那么，那么，15就是旅客排队时间（单位为分钟）这一随机就是旅客排队时间（单位为分钟）这一随机变量变量X的的0.95分位数分位数x0.95；又如，在生产车间机器设备发生故障需要维修，若要又如，在生产车间机器设备发生故障需要维修，若要求求90%的故障在的故障在30分钟内完成维修，那么，分钟内完成维修，那么，30就是就是维修时间（单位为分钟）这一随机变量维修时间（单位为分钟）这一随机变量X的的0.90分位分位数数x0.90 现在学习的是第34页，共39页 与数学期望一样，中

18、位数也是描述随机变量的与数学期望一样，中位数也是描述随机变量的位置特征在实际中，中位数也常用例如，假位置特征在实际中，中位数也常用例如，假设某一年上海市就业的大学毕业生当年的月薪金设某一年上海市就业的大学毕业生当年的月薪金的中位数是的中位数是2100元，这表明上海市该年大学毕业元，这表明上海市该年大学毕业生中有将近半数人月薪金不高于生中有将近半数人月薪金不高于2100元，另外将元，另外将近半数人月薪金则不低于近半数人月薪金则不低于2100元元 与数学期望相比，中位数总存在，但数学期望不与数学期望相比，中位数总存在，但数学期望不一定存在这是它的优点中位数的缺点是，它没一定存在这是它的优点中位数的

19、缺点是，它没有象数学期望那样好的运算性质有象数学期望那样好的运算性质现在学习的是第35页，共39页众数众数定义定义 设离散随机变量设离散随机变量X 的分布律为的分布律为PX=xk=pk,k=1,2,3,.若存在实数若存在实数x*,使得对每个使得对每个k=1,2,3,有有PX=x P X=xk,则称则称x*为为X(或或X 服从的分布服从的分布)的众数的众数.(2)设连续随机变量设连续随机变量X 的概率密度函数为的概率密度函数为f(x),若存在实数若存在实数x*,使使得对一切得对一切xR 有有f(x*)f(x),则称则称x*为为X(或或X 服从的分布服从的分布)的众数的众数.现在学习的是第36页，

20、共39页作业 P82 习题3.2 1，2，3，4现在学习的是第37页，共39页例例5 5 设设X B(n,p)，求，求Var(X).解一解一 仿照上例求仿照上例求Var(X)=E(X2)E2(X)=np(1 p).解二解二 引入随机变量引入随机变量nXXX,21发生次试验事件第发生次试验事件第AiAiXi,0,1nXXX,21相互独立，相互独立，ni,2,1()(1)iVar XppniiXX1故故1()()(1)niiVar XVar Xnpp现在学习的是第38页，共39页例例5 5 已知已知X,Y 相互独立相互独立,且都服从且都服从 N(0,0.5),求求 E(|X Y|).解解)5.0,0(),5.0,0(NYNX()0,Var()1E XYXY故故)1,0(NYX dzezYXEz2221|)(|222202dzezz现在学习的是第39页，共39页