理论力学质点动力学的运动方程.ppt

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1、理论力学质点动力学的运理论力学质点动力学的运动方程动方程现在学习的是第1页，共48页l舰载飞机在发动机和弹射器推力舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞作用下从甲板上起飞现在学习的是第2页，共48页现在学习的是第3页，共48页Fv1v2现在学习的是第4页，共48页Av1Bv2现在学习的是第5页，共48页现在学习的是第6页，共48页现在学习的是第7页，共48页牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学。16

2、65-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。现在学习的是第8页，共48页 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著自然哲学之数学原理。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系

3、统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。现在学习的是第9页，共48页第十章质点动力学的基本方程现在学习的是第10页，共48页10.1 10.1 动力学的基本定律动力学的基本定律第一定律(惯性定律)不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。现在学习的是第11页，共48页第二定律(力与加速度关系定律)m aF在经典力学中质点的质量是守恒的质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导其它动力学方程的出发点，称为动力学基本方程。质点的质量与加速度的乘积，等于作用质

4、点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。d()dmtvF现在学习的是第12页，共48页mPgm Pg国际计量标准g9.80665 m/s2，一般取g9.8 m/s2在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量，它们的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。其它量均为导出量，它们的单位则是导出单位。在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作用。在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用 g 表示。由第二定律有或229.78049(10.0052884sin0.0000059sin 2)g为纬度现在学习的是第13页，共48页25111/110dyngcm sNdyn现在学习的是第14

5、页，共48页 必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。第三定律（作用与反作用定律）两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。现在学习的是第15页，共48页10.2 质点的运动微分方程质点的运动微分方程221ddniimmtraF2.质点运动微分方程在直角坐标轴上投影质点运动微分方程在直角坐标轴上投影222222111ddd,dddnnnxiyiziiiixyzmF

6、mFmFttt3.质点运动微分方程在自然轴上投影质点运动微分方程在自然轴上投影2tnb111d,0dnnniiiiiivvmFmFFt1.矢量形式的质点运动微分方程现在学习的是第16页，共48页第一类基本问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题现在学习的是第17页，共48页1.力是常数或是时间的简单函数00d()dvtvm vF tt00ddddd()dddddvxvxvvxvvmv vF xxtxt

7、x3.力是速度的简单函数，分离变量积分00dd()vtvmvtF v2.力是位置的简单函数,利用循环求导变换现在学习的是第18页，共48页例10-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转动,OA=r,AB=l,当 比较小时,以O 为坐标原点,滑块B 的运动方程可近似写为 lr/ttrlx2cos4cos412 如滑块的质量为m,忽略摩擦及连杆AB的质量,试求当,连杆AB所受的力.时和20t现在学习的是第19页，共48页解:研究滑块cosFmax其中ttrxax2coscos2 ,1rOArABlml常量。设已知:则ttrlx2cos4cos412求:?2,0FAB受力时杆现在学习的是第

8、20页，共48页lrlrax222cos,2且时当有lrlFmr222得2222rlmrF这属于动力学第一类问题。当,0,1,02且时rax得12mrF现在学习的是第21页，共48页求:质点的运动轨迹。FeE 例10-2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强度按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方向与电场强度垂直,如图所示。质点在电场中受力 作用。已知常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。已知:00,cos,mvEAkt vE,FeE 不计重力现在学习的是第22页，共48页求:质点的运动轨迹。已知:00,cos,mvEAkt vE,FeE 不计重力.解:kteAtvmty

9、mtvmtxmyxcosdddd,0dddd2222由,0,00yxvvvt时tvytktmeAvy00dcosd0ddvtxvx得ktmkeAtyvysindd0d0 xvvxv积分现在学习的是第23页，共48页积分时由,00yxt,dd000tvxxttytktmkeAy00dsind得运动方程1cos,20ktmkeAytvx消去t,得轨迹方程1cos02xvkmkeAy这是第二类基本问题。求:质点的运动轨迹。已知:00,cos,mvEAkt vE,FeE 不计重力现在学习的是第24页，共48页60例10-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另

10、一端系在固定点O,并与铅直线成 角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。已知:匀速60,3.0,1.0mkglm求:Fv,现在学习的是第25页，共48页已知:匀速060,m3.0,kg1.0lm求:Fv,研究小球，解:N96.1cosmgFsm1.2sin2mFlv这是混合问题。cos0Fmg2sinvmFRsinRl其中解得现在学习的是第26页，共48页已知:匀速转动 时小球掉下。0求:转速n.例10-4粉碎机滚筒半径为，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。0现在学习的是第

11、27页，共48页解：研究铁球cos2mgFRvmNRnv30其中解得时当,0,0NF0cos549.9Rgn 球不脱离筒壁。时当,549.9Rgn 已知:匀速转动。时小球掉下。求:转速n.0现在学习的是第28页，共48页例例10.1例1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方程为xa cos t，ya sin t，求作用在质点上的力F。ijvrF解：以质点M为研究对象。分析运动：由运动方程消去时间 t，得12222byax质点作椭圆运动。将运动方程对时间求两阶导数得：22cos,sinxatybt 代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：22cos,sinxyFmxma

12、t Fmymbt 22222cossin(cossin)()xyFFmatmbtmatbtmxym Fijijijijr力 F 与矢径 r 共线反向，其大小正比于矢径 r 的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有心力。yxxbaOM现在学习的是第29页，共48页例例10.2 例2 质量为1kg的小球M，用两绳系住，两绳的另一端分别连接在固定点A、B，如图。已知小球以速度v2.5 m/s在水平面内作匀速圆周运动，圆的半径r0.5 m,求两绳的拉力。解：以小球为研究对象，任一瞬时小球受力如图。220,12.5nvaam sr方向指向O点。MOrBA4560小球在水平面内作匀速圆周运动。B60ArOM

13、mgFBFAvan现在学习的是第30页，共48页 建立自然坐标系得：2sin45sin60(1)0cos45cos60(2)ABABvmFFrmgFF 解得：8.65 N,7.38 NABFF分析:由(1)、(2)式可得:2222(9.8 32),(29.8)3 131ABFvFv04.9 32.91m sAFv04.92.21m sBFv因此，只有当 时，两绳才同时受力。否则将只有其中一绳受力。2.21m/s2.91m/svB60ArOMmgFBFAvanbn现在学习的是第31页，共48页例例10.3 例3 从某处抛射一物体，已知初速度为v0，抛射角为a，如不计空气阻力，求物体在重力单独作用

14、下的运动规律。0vvmg解：研究抛射体,列直角坐标形式的质点运动微分方程2222dd0,ddxymmmgtt 积分后得xyM213241,2xC tCygtC tC初始条件为0000000:0,cos,sinxytxyvvvvaa现在学习的是第32页，共48页acos0tvx 2021gttvy 轨迹方程为：aa2202cos2vgxxtgy由此可见，物体的轨迹是一抛物线。于是物体的运动方程为：确定出积分常数为：102034cos,sin,0CvCvCCaa现在学习的是第33页，共48页例例10.6 例4 如图所示，一细长杆杆端有一小球M，其质量为m，另一端用光滑铰固定。杆长为l，质量不计，杆

15、在铅垂面内运动，开始时小球位于铅垂位置，突然给小球一水平初速度v0，求杆处于任一位置 时对球的约束力。解：以小球为研究对象，将其视为质点。建立图示的自然坐标。由运动学知：ls ddsvlttddvalt22nvallOlO1Sv0M(+)n现在学习的是第34页，共48页 dsindvmmgt 2cosTvmFmglsin(1)mlmg（1）式是一常系数二阶非线性微分方程，其解为椭圆积分，较为复杂。将其积分一次求出 ，代入（2）式即可求出FT。因为ddddddddttt所以dsin dgl 002d()sin d2gl OlO1Sv0mgFTM(+)n在任一位置质点受力如图。由自然坐标形式的质点

16、运动微分方程得2cos(2)mlTmg即现在学习的是第35页，共48页 得：)cos(cos2121002lg由初始条件：t0时，00，代入上式得lv0022022(cos1)(3)vgll将其代入（2）式，得22020cos2(cos1)cos(3cos2)(4)TFmlmgmvglmglmvmgl下面将计算结果作进一步的讨论：现在学习的是第36页，共48页 由(3)得)1(cos2202glvv此式表示杆在任意位置时球的速度。由此式可知:当时小球才能作圆周运动，否则球作摆动。glv40(4)式给出约束力FT随 角的变化规律。当0时，20maxTmvFmgl当 时，20min5TmvFmgl

17、 若令T=0，可由(4)式给出约束力为零时，杆的位置(设此时杆的位置用A表示)所满足的条件0)2cos3(20lmvmgA因此，要使T 0，必须满足 。glv50现在学习的是第37页，共48页即glvA332cos20若glvgl450则0cos1A因此，在区间 范围内，总存在确定的A值，使小球在这一点不受杆的作用。),2(当A时，FT0，即小球受压。现在学习的是第38页，共48页umg s例5：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为u,=0。求绳作用在小球上的力F(),并分析小球的运动。解：1、取研究对象画受力图 2、确定坐标系 3、建立微分方程 4、求解 5、分析小球

18、运动FngFamm:cossin2mgFmlmgml 运动微分方程积分上式可得：lummgF2)2cos3(现在学习的是第39页，共48页分析小球微幅摆动的运动规律0singl sin02)sin(tA0,luA运动特点：等时性（周期与初始条件无关）lg2初始条件：lu00,0 0 lg 微分方程的通解确定积分常数现在学习的是第40页，共48页解：1、取炮弹为研究对象,建立矢量方程Rga mm2、建立直角坐标形式的运动微分方程yxovmgR例6:建立抛体的运动微分方程。设空气阻力的大小与速度的平方成正比2222yxycmgymyxxcxm )(vgacvmm运动微分方程22yxv 现在学习的是

19、第41页，共48页炮弹运动轨迹图7.704.00m/s,0010,/m0.02Nsc10kg,022vm现在学习的是第42页，共48页 飞机空投物体速度大小随时间的变化m/s,200,/m0.02Nsckg,5022vm现在学习的是第43页，共48页例7:质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 f，圆柱半径为 r 为1m。（1）建立质点的运动微分方程；（2）分析其运动。rgmo 解：取质点为研究对象FNF nNFFga mm:)2(sin)1(cos2NFmgmrFmgmr NFfF 由（2）式解得：sin2mgmrFN代入（1）式得：)sin(cos2mgmrfmgmr 0当：同理，当：0)sin(cos2mgmrfmgmr 现在学习的是第44页，共48页数值方法给出质点位置、速度和切向加速度随时间的变化规律rgmo rad/s,0,rad000 t(s)1.0f)()()(ttt 现在学习的是第45页，共48页yxovmg思考题:给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。设空气阻力的大小与速度的平方成正比yxovmg2:Aycmgym 2:Bycmgym 2:Cycmgym 2:Dycmgym E:未给出正确答案 现在学习的是第46页，共48页作业：课后习题作业：课后习题10-310-3、10-410-4。现在学习的是第47页，共48页现在学习的是第48页，共48页