概率论第三讲.ppt

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1、概率论第三讲现在学习的是第1页，共38页一、一、测度及其性质测度及其性质n 若对每一若对每一A A A，(A)都取有限值，则称都取有限值，则称 为为A A上的上的有限集函数；有限集函数；1,2,n,A，AAn1nn则称为A上的-有限集函数。n若对每一A A，存在一集合序列An A，使：若A为集代数，则An还可以是两两不交的。现在学习的是第2页，共38页n若集函数为有限可加且只取非负值，则称为有限可加测若集函数为有限可加且只取非负值，则称为有限可加测度；度；n若集函数为若集函数为-可加可加且只取非负值，则称为且只取非负值，则称为测度测度，用，用 或或 表示；表示；n具有性质具有性质 A A 且且

2、()=1 的测度，称为概率测度或概的测度，称为概率测度或概率，用率，用P表示。表示。一、一、测度及其性质测度及其性质现在学习的是第3页，共38页一、一、测度及其性质测度及其性质定理定理1.2.1 设设 为为A A上的集函数上的集函数 若若 是有限可加或是有限可加或-可加的，且可加的，且A A，则，则 ()=0；2.若若A A为集代数，为集代数，有限可加或有限可加或-可加测度可加测度(或非负的或非负的)，A，B A A，且且 A B，则：，则：3.(半可加性半可加性)A A为集代数，为集代数，是有限可加测度，是有限可加测度，Ai A A niiAA1 AB ：，AAA,An,1,2,in1ii则

3、则现在学习的是第4页，共38页一、测度及其性质4.（次可加性）A为集代数，是测度，Ai A 1iiAA：，则则A AA A1iiAA,A,1,2,i现在学习的是第5页，共38页定义定义1.2.2 设设 是定义在集合类是定义在集合类A A上的集函数，若对上的集函数，若对A A 中任意满足条中任意满足条件件An，且，且 1limnknkAA 则称在A处下连续。1nnAAA 的集合序列An，有：一、一、测度及其性质测度及其性质若对若对A A 中任意满足条件中任意满足条件An ，,且至少存在一且至少存在一m使使1nnAAA A()mnAA 的的，都都有有 1limnknkAA 则称在A处上连续。现在学

4、习的是第6页，共38页一、一、测度及其性质测度及其性质定理定理1.2.2 设设 是集代数是集代数A A上的上的-可加集函可加集函数（或测度），则数（或测度），则 有限可加且连续有限可加且连续。即集代数上的测度是连续的。定理定理1.2.3 设设 是集代数是集代数A A上的上的有限有限可加集函数（或有可加集函数（或有限可加测度），若限可加测度），若 满足下列条件之一：满足下列条件之一：（1）是下连续的；是下连续的；（2）有限，且在有限，且在处连续，处连续，则则 是是-可加集函数（或测度）。可加集函数（或测度）。现在学习的是第7页，共38页 有了定义在集代数有了定义在集代数A A上的测度上的测度，我

5、们考虑如何，我们考虑如何产生测度产生测度 在在-代数代数(A A)上的扩张？最后得到上的扩张？最后得到 “测测度扩张定理度扩张定理”。首先必须明白什么叫首先必须明白什么叫“扩张扩张”？定义定义1.2.3 A A1，A A2是是 上的两个非空集合类，且上的两个非空集合类，且A A1 A A2，i是是A Ai的测度的测度(i=1,2)，若对若对 A A A1,有有 1(A)=2(A)，则称则称 2是是 1在在A A2上的扩张上的扩张(1是是 2在在A A1上的限制上的限制)。二、测度的扩张定理现在学习的是第8页，共38页以下讨论的前提是以下讨论的前提是A A是是 上上的集代数，的集代数，是是A A

6、上上的测度的测度称F上的v*是由A上的v所引出的外测度。(所有的A的覆盖的测度和的下确界，即为A的外测度。)注意：这里可列多个集合的并也包括有限个集合并的情况。外测度不见得是测度！1、F上的外测度*(A)12111.A,AAAinfAnnnnn*：A A对任意A F，定义SA现在学习的是第9页，共38页下确界：n对于给定的数集对于给定的数集S=x，若数，若数 满足条件满足条件：(1)是是S的下界，即对的下界，即对 x S，有，有 x;(2)对任何大于对任何大于 的数的数，一定存在，一定存在S中某个中某个 数数x0，使得使得x00,x0 S,使得使得 x00，存在A 中集序列An，n=1,2,使

7、得*11nnnnDADA，且这是因为若A A*，则(A)A*,*是A*上的测度，则是(A)上的测度，且对于是*是 在(A)上的扩张。AAA*，A A现在学习的是第28页，共38页*11nnnnA AA AADAD由*是A上的测度，且11nnnnADA A ADA A，*1111*nnnnnnnnDA AA AA AA A，则：，是集代数，因此由A AA AAAAAAnn*DADAD由的任意性，则有：即：AA*，则A A*现在学习的是第29页，共38页(1)首先证明：首先证明：若若 1，2是是 在在(A A)上的任意两个扩上的任意两个扩张，证明对张，证明对 A (A A)及任意的正整数及任意的正

8、整数n，有：，有：1(ADn)=2(ADn)（1.2.8），使得：，jiDD,nDjin21A A第二部分：第二部分：唯一性唯一性 A A是集代数，是集代数，是是A A上的上的-有限测度，则存在：有限测度，则存在：,nDDnnn211，且(2)再证明对A(A)，有1(A)=2(A)现在学习的是第30页，共38页(1)对给定的对给定的n，令：，令：=A：A (A A)，1(ADn)=2(ADn)下证：下证：=(A A)显然显然A A ，且，且 (A A)。（A A A，因，因A A 为集代数，则：为集代数，则：ADn A A，必有：必有：(ADn)=1(ADn)=2(ADn)，则，则A ）若能证

9、明若能证明 为单调类为单调类，则，则(A A)另：另：A A为集代数，则：为集代数，则：(A A)=(A A)所以：所以：(A A)，即：，即：=(A A)，结论得证。，结论得证。现在学习的是第31页，共38页下面证明下面证明 为单调类：为单调类：Ak ，Ak ，则：1(Ak Dn)=2(Ak Dn)2(Dn)=(Dn)+，k=1,2,根据测度的连续性，有：11122111limlimknknkkknknkkkkkkkkADA DA DADAAAA ，故故：同同理理：，有有：现在学习的是第32页，共38页 一性得证。原本就是同一测度，唯在，即：，有：，对式及测度的完全可加性利用A AA A21

10、212111111821AADADDAAAA.nnnnnn(2):现在学习的是第33页，共38页 三、测度的完全化三、测度的完全化 初等概率中我们遇到这样的问题：考虑某一集合初等概率中我们遇到这样的问题：考虑某一集合B A A A，且，且P(A)=0，但，但B未必属于未必属于A A，即，即B未必是事件，未必未必是事件，未必有概率。即零测集的子集未必有概率。为了克服这个问有概率。即零测集的子集未必有概率。为了克服这个问题，必须将题，必须将A A上的测度完全化。上的测度完全化。定义定义1.2.4 设设 是是-代数代数F F(或集代数或集代数A A)上的测度上的测度,如果如果A A A，(A)=0，

11、B A，则，则B F F(或或 A A)，因而必有，因而必有(B)=0，则，则称称 为为F F (或或A A )上的完全测度。上的完全测度。以下介绍如何将以下介绍如何将-代代数数F F上的测度上的测度 完全化？完全化？现在学习的是第34页，共38页定理定理1.2.5（测度的完全化）（测度的完全化）设设 是是-代数代数F F上的测度，上的测度，记：记：上定义：代数。若在是则：F FF F A NA F FF FF F0A NANBBB ：，且且的定义是合理的。则AAF FNANANAA的完全测度，其中是且：F F现在学习的是第35页，共38页主要证明思路：主要证明思路：上的完全测度。是）最后证明（上的测度；是）再证明（）是合理的；（）其次证明（代数；为）首先证明（AAF FF FF FF F4321具体证明过程略现在学习的是第36页，共38页 ;A NANANANA BB ANA NA BB A N 由由如如下下重重要要等等式式：0BBNB,A，且，证明：若F F FFFFFF0ANANBBB：，且且有：现在学习的是第37页，共38页测度的完全化测度的完全化n测度完全化的好处在于：假设某个依赖于w的性质在某个零测集N之外成立，则使此性质不成立的w的集就是N的一个子集，一般来说，它不一定属于F，但它属于 ，且它的 测度为零。F F 现在学习的是第38页，共38页